2023年浙江省金衢山五校联考中考数学三检试卷（含解析）

2023年浙江省金衢山五校联考中考数学三检试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  从年月日国新办举行第六届数字中国建设峰会新闻发布会获悉，我国数字经济规模稳居世界第二数字经济已成为推动我国经济增长的主要引擎之一，截至年底，累计建设开通基站个，干兆光网具备覆盖超过亿户家庭的能力数据可用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示的钢块零件的俯视图为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  今年是我国现行宪法公布施行周年为贯彻党的二十大精神，强化宪法意识，弘扬宪法精神，推动宪法实施，某学校开展法律知识竞赛活动，全校一共名学生参与其中，得分情况如下表，则分数的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  如图，，，分别平分，，，于点，，的面积为，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  某公司去年月份的营业额为万元，后来公司改变营销策略，月份的营业额达到万元，已知月份的增长率是月份的倍，求月份的增长率，设月份的增长率为，根据题意，可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上运动．当线段最短时，求点的坐标(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在矩形中，，点、分别在边、上，且，，将矩形沿折叠后，点、分别落在、处，延长交于点当、、三点共线时，的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，若为轴上的一个动点，连接，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  把因式分解的结果是______ ．

12.  一个布袋中装有除颜色外都相同的个球，其中个红球，个白球从中任意摸出一球后，从剩余的球中再摸出一球，则两次摸出的球均为白球的概率为______ ．

13.  如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是______ 结果不取近似值
 

14.  如图，直线的图象与反比侧函数的图象交于第一象限的点，与轴交于点，轴于点，平移直线的图象，使其经过点，且与函数的图象交于点，若，则的值为______ ．

15.  已知是方程的解，则代数式的值为______．

16.  如图，在矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折得，点落在四边形内，点是线段上的动点，过点作，垂足为，连接，则的最小值为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解不等式组：．

18.  本小题分
如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上．

将平移后得到，图中标出了点的对应点，请补全；
连接、，则这两条线段之间的关系是______ ；
点为格点，且点与点不重合，满足这样条件的点有______ 个
 

19.  本小题分
如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分两个正方形和两个长方形，请认真观察图形，解答下列问题：
请用两种方法表示该图形阴影部的面积用含、的代数式表示：
方法一：______ ；方法二：______ ；
若图中、满足，，求阴影部分正方形的边长；
若，求的值．

20.  本小题分
公司生产、两种型号的洗碗机，为了解它们的用水量，工作人员从某月生产的、型洗碗机中各随机抽取台，保证洗碗数、脏污度等相同的情况下，记录下它们的用水量的数据单位：，并进行整理、描述和分析用水量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀，下面给出了部分信息：
台型洗碗机的用水量：，，，，，，，，，．
台型洗碗机中“良好”等级包含的所有数据为：，，，，．
抽取的、型洗碗机用水量统计表

根据以上信息，解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
这个月公司预计销售型洗碗机台，估计该月型洗碗机“合格”等级的台数；
根据以上数据，请你为该公司接下来的生产计划提出一条建议，并说明理由．

21.  本小题分
如图，我边防雷达站处的工作人员测得在北偏东方向的点处有一艘可疑船只，该船正在以每小时海里的速度向正东方向航行，点到点的距离为海里，此时，我方一艘军舰在距离点的正东方向海里的点处．
求点到点之间的距离结果保留根号；
当发现可疑船只后，我方军舰立即沿着与正东方向成夹角的方向前往拦截，军舰航行的速度为每小时海里，请通过计算说明我方军舰能否在可疑船只的正前方的点处成功拦截？参考数据：，，，
 

22.  本小题分
某欧洲客商准备采购一批特色商品，下面是一段对话：

根据对话信息，求一件，型商品的进价分别为多少元；
若该欧洲客商购进，型商品共件进行试销，其中型商品的件数不大于型商品的件数，且不小于件，已知型商品的售价为元件，型商品的售价为元件，且全部售出，则共有哪几种进货方式？
在第问的条件下，哪种进货方式利润最大，并求出最大利润．

23.  本小题分
如图，半圆的直径，点在半圆上，，，垂足为点，点是弧上一点．
若点是弧的中点，求的值；
连接交半径于点，交于点，设．
用含的代数式表示线段的长；
分别以点为圆心为半径、点为圆心为半径作圆，当这两个圆相交时，求取值范围．

24.  本小题分
如图，在正方形中，是对角线延长线上的一点，线段绕点顺时针旋转至，连接．
求证：；
连接交于点，并延长与的延长线相交于点．
如图，若，求的值；
如图，与相交于点，若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是；
故选：．
根据互为相反数的两数之和为和只有符号不同的两个数是相反数进行判断即可．
本题考查相反数．熟练掌握相反数的定义，是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：原式不合，错误；
原式，正确；
原式，错误．
选C．
式用底数的除法合并同类项则，幂的乘方与积的乘方运算法计得到结果，即可出判断．
此考查了同底幂的乘除法合同项，以及幂的乘方积的乘方，熟练握运算法则是解本关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：从上面看是：
．
故选：．
根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的视图是俯视图是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第、个数的平均数，
所以全班名同学的成绩的中位数是：；
出现了次，出现的次数最多，则众数是，
所以这些成绩的中位数和众数分别是，．
故选：．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
此题考查了中位数和众数．解题的关键是掌握求中位数和众数的方法，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

6.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

平分，，，
，
平分，，，
，
的面积的面积的面积的面积
，
，
即的周长为．
故选：．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设月份的增长率为，则月份的增长率是，故月份的营业额为，月份的营业额为，
依题意可列方程为：．
故选：．
设月份的增长率为，则月份的增长率是，故月份的营业额为，月份的营业额为，根据月份的营业额达到万元，即可列方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：当线段最短时，，
直线为，
设直线的解析式为：，
点的坐标为，
，
，
直线的解析式为
解，得，

故选：．
当线段最短时，，求出直线的解析式为：，联立方程组求出点的坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，垂线段最短，解方程组求直线的交点坐标，关键是明确线段最短时，是垂直于．
 

9.【答案】 

【解析】解：设交于，如图：

，，
，
矩形沿折叠后，点、分别落在、处，、、三点共线，
，，，，
，
，
，
，即，
，
，
设，则，
，
，即，
，
，
，
，即，
解得，
，
故选：．
设交于，由，，矩形沿折叠后，点、分别落在、处，、、三点共线，可得，，，，用勾股定理可得，而，有，，，设，则，，证明，即得，即可解得答案．
本题考查矩形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质，熟练应用勾股定理列方程．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，

作射线，作于，作于，交轴于，
抛物线的对称轴为直线，
，
当时，，
，
当时，，
，，
，
，
，
，
，
，当点在时，最小，最下值等于，
在中，，，
，
，
故选：．
作射线，作于，作于，交轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果．
本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造．
 

11.【答案】． 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】
解：

．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：设个红球分别用、、表示，个白球分别用、表示，列表如下：

由表格可知一共有种等可能性的结果数，其中两次摸出的球均为白球的结果数有种，
两次摸出的球均为白球的概率为，
故答案为：．
先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到两次摸出的球均为白球的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：图中阴影部分的面积

．
故答案为：．
根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算．
本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或其中为扇形的弧长．
 

14.【答案】 

【解析】解：作轴于，
由直线可知，

设，
，，
，
由题意可知，∽，
，即，
，，
，
，
反比侧函数的图象过点、点，
，
解得负数舍去，
，
故答案为：．
设，通过∽表示出的坐标，由得到，即可求得的值．
本题是反比例函数与一次函数的解析式，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，由列出关于的方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：是方程的解，
，


，
故答案为：．
根据二元一次方程解的定义可得，再将化成，整体代入计算即可．
本题考查二元一次方程解，理解二元一次方程解的定义是正确解答的前提．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于点，交于，过作于，交于，如图：

，点是边的中点，
，
四边形是矩形，
，
沿翻折得，
，，，，
，
，
∽，
，
，，
设，，则，，
，，
，
解得，
，
，
当，，共线时，最小，即最小，此时与重合，与重合，最小值为的长度，
，，，
≌，
，
最小值为的长度，
故答案为：．
过点作于点，交于，过作于，交于，证明∽，得，设，，可得，即得，而，故当，，共线时，最小，即最小，此时与重合，与重合，最小值为的长度，由≌，得，从而最小值为的长度．
本题考查矩形中的翻折问题，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握翻折的性质，作出辅助线，构造相似三角形．
 

17.【答案】解：原式
；
由得：，
由得，
则不等式组的解集为． 

【解析】先计算算术平方根、零指数幂和负整数指数幂，再计算加减即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】，   

【解析】解：如图所示，即为所求．


根据平移的特点，可知，；

故答案为：，；
如图，符合题意的点有个，

故答案为：．
根据题意找到平移后点，的对应点，，顺次连接即可求解；
根据平移的性质即可求解；
根据网格的特点，找到过点与平行的直线，根据平行线间的距离相等，可得等底同高的三角形面积相等，据此即可求解．
本题考查了平移作图，平移的性质，三角形的面积公式，平行线间的距离，掌握平移的性质是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：该图形阴影部分的面积为；该图形阴影部分的面积为
故答案为：；

，
负值舍去
答：阴影部分正方形的边长是；
设，，
则，，
，


．
．
依据正方形和长方形的面积公式，即可得到该图形阴影部分的面积；
由可得：，即可得出阴影面积
设，，则，，再根据，可求出的值即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
 

20.【答案】     

【解析】解：，
将型洗碗机中“良好”等级包含的所有数据从小到大排序为：，，，，，
中位数为；
由扇形统计图可得，台型洗碗机中“良好”等级的占，“优秀”等级的占，
，
故答案为：；；；
台，
答：该月型洗碗机“合格”等级的台数为台；
可以加大型洗碗机的生产量，因为其平均用水量较低，同时方差较小，说明用水量比较稳定．答案不唯一
根据算术平均数的意义求，根据中位数的计算求解，根据扇形统计图中各部分所占的百分比求解即可；
用乘以台型洗碗机“合格”等级所占的百分比求解即可；
根据表格数据进行分析，即可得出答案．
本题考查了数据的整理和扇形统计图，涉及中位数，平均数，方差等，掌握数据收集整理的相关概念是关键．
 

21.【答案】解：过作于，
由题意，海里，海里，，
海里，则海里，
海里，
海里，
即点到点之间的距离为海里；
如图，过作于，过作于，则海里，四边形是矩形，
海里，
在中，，，
解得海里，海里，
我方军舰到达的时间为小时；
在中，海里，
则海里，
可疑船只到达点的时间为小时，
，
我方军舰能在可疑船只的正前方的点处成功拦截． 

【解析】过作于，利用含度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
过作于，过作于，则，四边形是矩形，可得到，分别在和中解直角三角形分别求得海里，海里，进而分别求得我方军舰和可疑船只到达的时间，比较可得出结论．
本题考查解直角三角形的应用，涉及锐角三角函数、含度角的直角三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，理解题意，添加合适的辅助线是解答的关键．
 

22.【答案】解：设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
．
答：一件型商品的进价为元，一件型商品的进价为元．
设购进型商品件，则购进型商品件．
根据题意，得，
解得，
因为为整数，所以可以为，，；
所以共有种进货方式：购进型商品件，型商品件；购进型商品件，型商品件；购进型商品件，型商品件．
方式获得的利润为 元；
方式获得的利润为 元；
方式获得的利润为 元．
因为   ，
所以购进型商品件，型商品件获得利润最大，最大利润为 元． 

【解析】设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元，由数量关系列出方程，即可求解；
设购进型商品件，则购进型商品件．由型商品的件数不大于型商品的件数，且不小于件，列出不等式，即可求解；
分别求出三种方案的利润，即可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找出正确的数量关系是解题的关键．
 

23.【答案】解：连接，
点是弧的中点，是直径，
．
，，
，
过点作，垂足为点．
由垂径定理，．
在中，，，，
，．
在中，，
，，
；
作交于点．
得，．
又
，
所以，
．
设，
由知，．
当两圆内切时，．
由于，，
所以两圆不可能内切．
当两圆外切时，．
解得．
所以当两圆相交时，． 

【解析】连接，证出，过点作，垂足为点解直角三角形可得出答案；
作交于点由平行线分线段成比例定理可得出答案；
分两种情况，当两圆内切时，当两圆外切时，列出不等式或方程可得出答案．
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，两圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，需要利用参数解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】证明：如图，由旋转的性质，得，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：由旋转的性质可得，，
是等腰直角三角形，
，
，
在正方形中，，
，，
，
∽，
，
即，
由证得，
又，
，
，
设，，则，
，
整理得，
，
解得，
即，
，
；
如图，由得≌，
．
又，
，
，
，
平分，
，
，
又，
即．
，
∽，
，
，
设，则，，
舍负，
，
又，，
，
∽，
，
在中，． 

【解析】利用证明≌，即可得出结论；
根据正方形的性质，证明∽，得，设，，则，根据，列出方程，解得，进而解决问题；
说明∽，得 ，即 ，设，则，，从而得出的长，再利用，进而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．综合性较强，属于中考压轴题．