压轴题13以三角形为背景的几何类比探究压轴问题-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

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2023年中考数学压轴题专项训练
压轴题13以三角形为背景的几何类比探究压轴问题

例1．（2023•济阳区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AB的中点，连接CD，CD＝6，以点D为顶点作△DEF，使∠EDF＝90°，DE＝DF＝10．
（1）连接BF，CE．线段BF和线段CE的数量关系为 　BF＝CE　，直线BF和直线CE的位置关系为 　BF⊥CE　；
（2）如图2，当EC∥AB时，设AC与DE交于点G，求DG的长度；
（3）当E，C，B在同一条直线上时，请直接写出EC的长度．
【分析】（1）延长EC交BF于点H，可证明△BDF≌△CDE，得BF＝CE，∠BFD＝∠CED，即可推导出∠EFH+∠FEH＝∠FEH+∠BFD+∠DFE＝∠FEH+∠CED+∠DFE＝90°，则∠EHF＝90°，所以BF⊥CE，于是得到问题的答案；
（2）由EC∥AB，得∠DCE＝∠CDB＝90°，则CE=DE2-CD2=8，由△CGE∽△AGD，得EGDG=CEAD=43，则DG=37DE=307；
（3）分两种情况，一是点E，C，B在同一条直线上，且点E在BC的延长线上，由勾股定理得EF2＝DE2+DF2＝200，BC＝62，所以EC2+（EC+62）2＝200；二是点E，C，B在同一条直线上，且点E在CB的延长线上，则EC2+（EC﹣62）2＝200，解方程求出符合题意的EC的值即可．
【解答】解：（1）如图1，延长EC交BF于点H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AB的中点，
∴CD＝AD＝BD=12AB＝6，CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，DE＝DF＝10，
∴∠BDF＝∠CDE＝90°﹣∠CDF，
在△BDF和△CDE中，
BD=CD∠BDF=∠CDEDF=DE，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴BF＝CE，∠BFD＝∠CED，
∴∠EFH+∠FEH＝∠FEH+∠BFD+∠DFE＝∠FEH+∠CED+∠DFE＝∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠EHF＝90°，
∴BF⊥CE，
故答案为：BF＝CE，BF⊥CE．
（2）∵EC∥AB，
∴∠DCE＝∠CDB＝90°，
∴CE=DE2-CD2=102-62=8，
∵△CGE∽△AGD，
∴EGDG=CEAD=86=43，
∴DG=33+4DE=37×10=307，
∴DG的长度是307．
（3）如图3，E，C，B在同一条直线上，且点E在BC的延长线上，
由（1）得BF＝EC，BF⊥CE，
∴∠EBF＝90°，
∵∠EDF＝90°，DE＝DF＝10，∠CDB＝90°，CD＝BD＝6，
∴EF2＝DE2+DF2＝102+102＝200，BC=CD2+BD2=62+62=62，
∵BF2+BE2＝EF2，BE＝EC+62，
∴EC2+（EC+62）2＝200，
解得EC=82-32或EC=-82-32（不符合题意，舍去）；
如图4，E，C，B在同一条直线上，且点E在CB的延长线上，
∵BF2+BE2＝EF2，BE＝EC﹣62，
∴EC2+（EC﹣62）2＝200，
解得EC=82+32或EC=-82+32（不符合题意，舍去），
综上所述，EC的长为82-32或82+32．



【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
例2．（2023•龙港区模拟）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在直线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接AE，CE．

（1）当点D与点B重合时，如图1，请直接写出线段EC和线段AC的数量关系；
（2）点D在线段BC上（不与点B，C重合）时，请写出线段AC，DC，EC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB＝42，CD＝1，请直接写出△DCE的面积．
【分析】（1）由旋转得ED＝AD，∠ADE＝90°，当点D与点B重合时，则EB＝AB，∠ABE＝90°，而∠BAC＝90°，AB＝AC，则∠BAC+∠ABE＝180°，所以AC∥BE，AC＝EB，即可证明四边形ABEC是正方形，则EC＝AC；
（2）作DF⊥BC交AC于点F，由∠BAC＝90°，AB＝AC，得∠ACB＝∠ABC＝45°，则∠DFC＝∠DCF＝45°，所以DF＝DC，而∠ADF＝∠EDC＝90°﹣∠EDF，AD＝ED，即可证明△ADF≌△EDC，得AF＝EC，所以AC﹣EC＝AC﹣AF＝FC=2DC；
（3）分两种情况，一是点D在线段BC上，作DF⊥BC交AC于点F，EG⊥BC交BC的延长线于点G，则∠ECD＝∠AFD＝135°，所以∠GCE＝45°，因为EC＝AC-2DC＝32，∠CGE＝90°，所以EG＝EC•sin45°＝3，则S△DCE=12CD•EG=32；二是点D在线段BC的延长线上，作DF⊥BC交AC的延长线于点F，EG⊥BC交BC的延长线于点G，可证明△ADF≌△EDC，得EC＝AF，∠DCE＝∠F＝45°，则FC=2DC，EC＝AC+CF＝52，EG＝EC•sin45°＝5，则S△DCE=12CD•EG=52．
【解答】解：（1）EC＝AC，理由如下：
由旋转得ED＝AD，∠ADE＝90°，
当点D与点B重合时，则EB＝AB，∠ABE＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BAC+∠ABE＝180°，
∴AC∥BE，AC＝EB，
∴四边形ABEC是正方形，
∴EC＝AC．
（2）AC﹣EC=2DC，理由如下：
如图2，作DF⊥BC交AC于点F，则∠CDF＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠DFC＝∠DCF＝45°，
∴DF＝DC，
∵∠ADF＝∠EDC＝90°﹣∠EDF，AD＝ED，
∴△ADF≌△EDC（SAS），
∴AF＝EC，
∴AC﹣EC＝AC﹣AF＝FC，
∵FC=DF2+DC2=2DC2=2DC，
∴AC﹣EC=2DC.
（3）如图3，点D在线段BC上，作DF⊥BC交AC于点F，EG⊥BC交BC的延长线于点G，
由（2）得∠DFC＝45°，△ADF≌△EDC，AC﹣EC=2CD，
∴∠ECD＝∠AFD＝180°﹣∠DFC＝135°，
∴∠GCE＝180°﹣∠ECD＝45°，
∵AB＝AC＝42，CD＝1，
∴EC＝AC-2DC＝42-2×1＝32，
∵∠CGE＝90°，
∴EG＝EC•sin∠GCE＝EC•sin45°＝32×22=3，
∴S△DCE=12CD•EG=12×1×3=32；
如图4，点D在线段BC的延长线上，作DF⊥BC交AC的延长线于点F，EG⊥BC交BC的延长线于点G，
∵∠CDF＝90°，∠DCF＝∠ACB＝45°，
∴∠F＝∠DCF＝45°，
∴FD＝CD，
∵∠ADF＝∠EDC＝90°+∠ADC，AD＝ED，
∴△ADF≌△EDC（SAS），
∴EC＝AF，∠DCE＝∠F＝45°，
∵FC=DF2+DC2=2DC2=2DC，
∴EC＝AF＝AC+CF＝42+2×1＝52，
∵∠CGE＝90°，
∴EG＝EC•sin∠GCE＝EC•sin45°＝52×22=5，
∴S△DCE=12CD•EG=12×1×5=52，
综上所述，△DCE的面为32或52．



【点评】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
例3．（2023•铁西区模拟）（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，探究AD与BC的关系，并证明．
（2）如图2，△ABC是等腰直角三角形，点D在AC的延长线上，连接BD，将线段BD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接BE，过点E作EF∥AB交AC延长线于点F．求证：AF＝2CD．
（3）如图3，△ABC中，若AB＝8，AC＝33，若将CB绕点C逆时针旋转120°，得到CD，连接AD，直接写出AD的取值范围．

【分析】（1）设AD与BC交于点I，可证明△AOD≌△BOC，得AD＝BC，∠OAD＝∠OBC，可推导出∠DAB+∠CBA＝∠OAB+∠OBA＝90°，则∠AIB＝90°，所以AD⊥BC；
（2）作EG⊥AD于点G，可证明△DEG≌△BDC，则DG＝BC＝AC，EG＝DC，由EF∥AB，得∠GFE＝∠A＝45°，则∠GEF＝∠GFE＝45°，所以FG＝EG＝DC，则DF＝CG，所以DF+AC＝DG+CG＝CD，即可证明AF＝DF+AC+CD＝2CD；
（3）将AB绕点A逆时针旋转120°，得到AH，连接BH、DH，作CL⊥BD于点L，由旋转得CD＝CB，∠BCD＝120°，则BL＝DL，∠BCL＝∠DCL＝60°，∠CBD＝∠CDB＝30°，所以BL＝CB•sin60°=32CB，则DB＝2BL=3CB，同理∠ABH＝∠AHB＝30°，HB=3AB，所以DBCB=HBAB=3，∠HBD＝∠ABC＝30°+∠CBH，则△HBD∽△ABC，得HDAC=DBCB=3，所以HD=3AC＝9，即可由三角形的三边关系及两点之间线段最短求得AD的取值范围是1≤AD≤17．
【解答】（1）解：AD＝BC，AD⊥BC，
证明：如图1，设AD与BC交于点I，
∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴OA＝OB，∠AOD＝∠BOC＝90°+∠AOC，OD＝OC，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD＝BC，∠OAD＝∠OBC，
∴∠DAB+∠CBA＝∠OAB+∠OAD+∠CBA＝∠OAB+∠OBC+∠CBA＝∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠AIB＝90°，
∴AD⊥BC．
（2）证明：如图2，作EG⊥AD于点G，则∠DGE＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，∠BCD＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠DGE＝∠BCD，∠A＝∠CBA＝45°，
由旋转得ED＝BD，∠BDE＝90°，
∴∠DEG＝∠BDC＝90°﹣∠GDE，
∴△DEG≌△BDC（AAS），
∴DG＝BC＝AC，EG＝DC，
∵EF∥AB，
∴∠GFE＝∠A＝45°，
∴∠GEF＝∠GFE＝45°，
∴FG＝EG＝DC，
∴FG﹣DG＝DC﹣DG，
∴DF＝CG，
∴DF+AC＝DG+CG＝CD，
∴AF＝DF+AC+CD＝2CD．
（3）如图3，将AB绕点A逆时针旋转120°，得到AH，连接BH、DH，作CL⊥BD于点L，
∵将CB绕点C逆时针旋转120°，得到CD，
∴CD＝CB，∠BCD＝120°，
∴BL＝DL，∠BCL＝∠DCL=12∠BCD＝60°，∠CBD＝∠CDB＝30°，
∵∠BLC＝90°，
∴BL＝CB•sin60°=32CB，
∴DB＝2BL＝2×32CB=3CB，
同理∠ABH＝∠AHB＝30°，HB=3AB，
∴DBCB=HBAB=3，∠HBD＝∠ABC＝30°+∠CBH，
∴△HBD∽△ABC，
∴HDAC=DBCB=3，
∵AB＝8，AC＝33，
∴HD=3AC=3×33=9，
∵HD﹣AH≤AD≤HD+AH，且AH＝AB＝8，
∴9﹣8≤AD≤9+8，
∴1≤AD≤17，
∴AD的取值范围是1≤AD≤17．



【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系、两点之间线段最短等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
例4．（2023•怀远县校级模拟）在△ABC和△EDC中，∠ACB＝∠ECD＝90°，BC＝k•AC，CD＝k•CE．
（1）如图1，当k＝1时，探索AE与BD的关系；
（2）如图2，当k≠1时，请探索AE与BD的关系，并证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，分别在BD、AE上取点M、N，使得BD＝m•MD，AE＝m•NE，试探索CN与CM的关系，并证明．

【分析】（1）取k＝1时，BC＝AC，CD＝CE．由∠BCD+∠BCE＝∠ACE+∠BCE＝90°，得知∠BCD＝∠ACE，从而证明△ACE≌△BCD（SAS）；然后根据全等三角形的对应变相等，对应角相等求得AE＝BD，∠CAE＝∠CBD；最后延长AE交BD于点G构建三角形ABG，根据三角形的内角和求得∠AGB＝90°，即AE⊥BD；
（2）当k≠1时，BC＝k•AC，CD＝k•CE．求得BCAC=CDCE=k，由∠BCD+∠BCE＝∠ACE+∠BCE＝90°，得知∠BCD＝∠ACE，从而证明△ACE∽△BCD；然后根据相似三角形的对应变相等，对应角相等求得AE＝BD，∠CAE＝∠CBD；最后延长AE交BD于点G构建三角形ABG，根据三角形的内角和求得∠AGB＝90°，即AE⊥BD；
（3）在（2）的基础上，求得△ACE∽△BCD，又BD＝m•MD，AE＝m•NE，所以CECD=NEMD，∠CDB＝∠CEA，从而证明△CNE∽△CMD，然后根据相似三角形的对应角相等求得∠BCM＝∠ACN，所以∠NCM＝∠BCN+∠ACE＝∠ACB＝90°，即∠NCM＝90°．
【解答】解：（1）当k＝1时，结论：AG⊥BD，即AE⊥BD．
理由：∵∠BCD+∠BCE＝∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
CA=CB∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
∴AE＝BD（对应边相等），
∠CAE＝∠CBD（对应角相等）；
如图1中，延长AE交BD于点G．

∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°；
在△ABG中，
∠ABG+∠BAG＝∠ABC+∠BAG+∠CBD＝∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AE⊥BD；

（2）当k≠1时，结论：AG⊥BD，即AE⊥BD．
理由：∵BC＝k•AC，CD＝k•CE，
∴BCAC=CDCE=k，
在△ACE与△BCD中，
∠BCD+∠BCE＝∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△ACE∽△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD（对应角相等）；
如图2中，延长AE交BD于点G．

∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°；
在△ABG中，
∠ABG+∠BAG＝∠ABC+∠BAG+∠CBD＝∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AE⊥BD；

（3）结论：CN⊥CM．
理由：如图3中，∵△ACE∽△BCD（SAS），
∴∠CDB＝∠CEA（相似三角形的对应角相等），
∴CECD=AEBD（相似三角形的对应边成比例）；
又∵BD＝m•MD，AE＝m•NE，
∴AEBD=NEMD，
∴CECD=NEMD；
在△CNE和△CMD中，
CECD=NEMD，∠CDB＝∠CEA，
∴△CNE∽△CMD，
∴∠MCD＝∠NCE；
∴∠BCM＝∠ACN，
∴∠NCM＝∠BCN+∠ACE＝∠ACB＝90°，即∠NCM＝90°，
∴CN⊥CM．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．解答此题时，关键是根据全等三角形或相似三角形的对应角相等求得∠AGB＝90°，∠NCM＝90°．从而证明AE⊥BD，CN⊥CM．

1．（2023•蚌山区校级二模）在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE．

（1）如图1，若点D在BC边上，AC，BE相交于F点．
①求证：BD＝CE；
②若AF＝DF，AB＝5，BC＝6，求BD的长．
（2）如图2，若∠BAC＝90°，M为BE的中点，连接AM，求证：AM⊥CD．
【分析】（1）①利用“SAS”证明△DAB≌△EAC，由全等三角形的性质即可证明BD＝CE；
②设BD＝x，则CD＝AD＝6﹣x，证明△ABD∽△DCF，列比例式，表示DF和CF的长，根据AC＝5，列方程可解答；
（2）如图2，将△ACD绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，延长DC交EF于点G，DG，AE交于点H，则△ADC≌△AEF，再根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】（1）①证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE；
②解：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠B＝∠ADE，
∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵∠B＝∠DCF，
∴△ABD∽△DCF，
∵AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAF，
∵∠ADF＝∠B＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠DAF，
∴AD＝CD，
设BD＝x，则CD＝AD＝6﹣x，
∵△ABD∽△DCF，
∴BDCF=ABDC=ADDF，即xCF=56-x=6-xDF，
∴CF=x(6-x)5，DF=(6-x)25，
∵DF+CF＝AC＝AB＝5，
∴x(6-x)5+(6-x)25=5，
解得：x=116，
∴BD=116；
（2）证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
如图2，将△ACD绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，延长DC交EF于点G，DG，AE交于点H，

∴△ADC≌△AEF，
∴∠ADC＝∠AEF，即∠ADH＝∠AEF，
∵∠GHE＝∠AHD，
∴∠HGE＝∠DAE＝90°，
∴CD⊥EF，
∵M是BE的中点，AF＝AC＝AB，
∴AM∥EF，
∴AM⊥CD．
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，旋转的性质，直角三角形两锐角互余等知识，解题关键是证明△DAB≌△EAC，熟练运用全等三角形的性质解决问题．
2．（2023•徐州模拟）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC．连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．连接MP，PN，MN．

（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 　PM=3PN　，位置关系是：　PM⊥PN　；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，证明：（1）中的结论仍然成立；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝2，AB＝6．求△PMN面积的最大值．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=12CE，PN=12BD，由BD＝CE，可得出PM=3PN，再根据三角形的中位线知PM∥CE，PN∥BD，得到∠DPN＝∠ADC，∠DPM＝∠DCA，由∠BAC＝90°，从而得出∠ADC+∠ACD＝90°，即可得到结论．
（2）先判断出△ABD∽△ACE，得出∠ABD=∠ACE，CE=3BD，同（1）类似方法即可得出结论；
（3）先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝8，即可得出结论．
【解答】解：（1）结论：PM=3PN，PM⊥PN．
理由：∵点P，N是CD，BC的中点，
∴PN∥BD，PN=12BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM=12CE，
在△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，DE∥BC，
∴∠AED＝30°，
∴AC=3AB，AE=3AD，
∴AC-AE=3(AB-AD)，
即CE=3BD，
∴PM=3PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，即PM⊥PN，
故答案为：PM=3PN，PM⊥PN；
（2）（1）中的结论仍然成立；理由如下：
由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AC=3AB，AE=3AD，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，CE=3BD，
∵点P，N是CD，BC的中点，
∴PN∥BD，PN=12BD，∠PNC＝∠DBC，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM=12CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
∵CE=3BD，
∴PM=3PN，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴PM=3PN，PM⊥PN；
（3）由（2）知，△PMN是直角三角形，PM=3PN=32BD，
当BD最大时，PM，PN取得最大值，
∴当点D在BA的延长线上，△PMN面积最大，
∴BD＝AB+AD＝8，
∴PN=12BD=4，PM=32PN=23，
∴S△PMN的最大值=12PM×PN=12×4×23=43．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和质，熟练掌握这些性质和判定是解此题的关键．
3．（2023•重庆模拟）已知△ABC为等边三角形，D是边AB上一点，连接CD，点E为CD上一点，连接BE．
（1）如图1，延长BE交AC于点F，若∠ABF＝15°，BF=6，求AF的长；
（2）如图2，将△BEC绕点C顺时针旋转60°到△AGC，延长BC至点H，使得CH＝BD，连接AH交CG于点N，猜想线段CE，GN，DE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，AB＝8，点H是BC上一点，且BD＝2CH，连接DH，点K是AC上一点，CK＝AD，连接DK，BK，将△BKD沿BK翻折到△BKQ，连接CQ，当△ADK的周长最小时，直接写出△CKQ的面积．

【分析】（1）如图1，过点F作FJ⊥BC于点J，利用等腰直角三角形的性质求得BJ＝FJ=3，再解直角三角形求解即可；
（2）如图2，延长CG到I，使GI＝DE，连接AI，过点H作HM∥AG，交CG于点M，先后证明△BCD≌△ACI（SAS），△IAN≌△CHN（AAS），△AGN≌△HMN（ASA），△HCM≌△BDE（ASA），利用全等三角形的性质及线段的和差求解即可；
（3）如图3，过D、H分别作BC的垂线，分别交AC于点G，交BC于点F，作∠KDE＝60°，交BC于点E，证明△GCH≌△DBF，推出DF＝GH，BF＝CH，BD＝AK，再证明△BDE≌△AKD，推出BE＝AD＝CK，设BF＝CH＝a，推出DE=12(a-2)2+16，得到当△ADK的周长最小时，DE的值最小，据此求解即可．
【解答】解：（1）如图1，过点F作FJ⊥BC于点J，

∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠ABF＝15°，
∴∠JBF＝45°，
∵FJ⊥BC，
∴∠FJB＝90°，
∴∠BFJ＝45°＝∠JBF，
∴BJ＝FJ，
∵BF=6，
∴BJ＝FJ=22×6=3，
∵tan∠ACB=FJJC=3，
∴JC＝1，
∴CF＝2JC＝2，
∴AF＝AC﹣CF＝BJ+JC﹣CF=3+1﹣2=3-1；
（2）CE＝DE+2GN，理由如下：
如图2，延长CG到I，使GI＝DE，连接AI，过点H作HM∥AG，交CG于点M，

∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
由旋转的性质得，∠BCD＝∠ACI，CE＝CG，BE＝AG，∠CBE＝∠CAG，
∴CD＝CI，
∴△BCD≌△ACI（SAS），
∴BD＝AI，∠IAC＝∠ABC＝60°，
∴AI∥BC，
∴∠IAN＝∠CHN，
∵CH＝BD，
∴CH＝AI，
又∵∠INA＝∠CNH，
∴△IAN≌△CHN（AAS），
∴AN＝HN，
∵HM∥AG，
∴∠GAN＝∠MHN，
又∵∠ANG＝∠HNM，AN＝HN，
∴△AGN≌△HMN（ASA），
∴AG＝MH，GN＝MN，
同理，△HCM≌△BDE，
∴CM＝DE，
∴CE＝CG＝CM+MN+GN＝DE+2GN；
（3）如图3，过D、H分别作BC的垂线，分别交AC于点G，交BC于点F，作∠KDE＝60°，交BC于点E，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠GCH＝∠DBF＝60°，
∵GH⊥BC，
∴∠HGC＝30°，
∴CG＝2CH，
∵BD＝2CH，
∴BD＝CG，
又∠DFB＝∠GHC＝90°，
∴△GCH≌△DBF（AAS），
∴DF＝GH，BF＝CH，
∵CK＝AD，
∴BD＝AK，
∵∠KDE＝60°，
∴∠BDK＝∠BDE+60°＝60°+∠AKD，
∴∠BDE＝∠AKD，
∴△BDE≌△AKD（ASA），
∴BE＝AD＝CK，
设BF＝CH＝a，则CG＝AK＝BD＝2a，
∴HG＝DF=3a，BE＝AD＝CK＝8﹣2a，
∴EF＝|BF﹣BE|＝|a﹣（8﹣2a）|＝|3a﹣8|，
∴DE=DF2+EF2=(3a)2+(3a-8)2=12(a-2)2+16，
∴△ADK的周长＝AD+AK+DK＝AB+DE＝8+DE，
当△ADK的周长最小时，DE的值最小，
∴当a＝2时，DE的值最小，此时，CG＝AK＝BD=16=4，即点G、K重合，如图4，

∴△CKQ的面积＝2S△CGH＝2×12×2×23=43．
【点评】此题是三角形综合题，考查了解直角三角形、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、求二次函数的最值等知识，作出合理的辅助线，学会利用参数构建二次函数解决问题是解题的关键．
4．（2023•大连一模）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题，如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，连接AD，∠ADB＝60°，点E在线段AD上，且DE＝CD，连接CE．求证∠ACE＝∠BAD．独立思考：

（1）请解答王老师提出的问题．实践探究；
（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答：“如图2，连接BE，以B为圆心，BE长为半径画弧，交AE于点F，连接BF，探究线段AF与DE，之间的数量关系，并证明．”
问题解决：（3）数学活动小组对上述问题进行特殊化研究之后，提出下面的问题，请你解答：“如图3，在（2）条件下，过E作EK⊥AC于K，若DE＝2，BC＝3EF，求EK的长．”
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理证明即可；
（2）结论AF＝2DE．如图2中，延长DB到J，使得DJ＝DA，在AD上取一点Q，使得DQ＝DB．利用全等三角形的性质证明BJ＝CD，DE＝QF，可得结论；
（3）如图3中，延长DB到J，使得DJ＝DA，在AD上取一点Q，使得DQ＝DB．过点C作CT⊥AD于点T．想办法求出EF，AC，再利用面积法求解．
【解答】（1）证明：如图1中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵DE＝DC，∠D＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠ECD＝60°，
∵∠B+∠D+∠BAD＝180°，∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°，
∴∠ACE＝∠BAD；

（2）解：结论：AF＝2DE．
理由：如图2中，延长DB到J，使得DJ＝DA，在AD上取一点Q，使得DQ＝DB．

∵DA＝DJ，DQ＝DB，∠D＝60°，
∴△ADJ，△BDQ都是等边三角形，
∴∠J＝∠D＝60°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABJ＝∠ACD，
∴△ABJ≌△ACD（AAS），
∴BJ＝CD，
∵DC＝DE，
∴BJ＝DE，
∵BE＝BF，
同法可证FQ＝DE，
∴BJ＝FQ，
∵DJ＝DA，DB＝DQ，
∴BJ＝AQ＝QF＝DE，
∴AF＝2AQ＝2DE；

（3）解：如图3中，延长DB到J，使得DJ＝DA，在AD上取一点Q，使得DQ＝DB．过点C作CT⊥AD于点T．

由（2）可知AQ＝QF＝DE＝CD＝2，
设EF＝x，则BC＝﹣3x，
∵BD＝DQ，
∴3x+2＝2+x+2，
∴x＝1，
∴EF＝1，
∵CE＝CD＝DE＝2，CT⊥DE，
∴ET＝DT＝1，
∴CT=EC2-ET2=22-12=3，
∵AT＝AE+ET＝2+2+1+1＝6，
∴AC=CT2+AT2=(3)2+62=39，
∵EK⊥AC，
∴S△ACE=12•AC•EK=12•AE•CT，
∴EK=5×339=51313．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
5．（2023•前郭县一模）如图，已知∠ABC＝90°，P是射线BC上一动点，连接AP，D是AP的中点，连接BD，作点B关于AP的对称点B′，连接B′D，B′P．
（1）当B′P∥BD时，判断△B'DP的形状，并说明理由；
（2）当B′P∥AB时，△B'DP的形状是 　等腰直角三角形　；
（3）当B′D∥AB时，若AB＝2，则△B'DP的面积是 　3　．
​
【分析】（1）结论：△B'DP 是等边三角形．证明三边相等可得结论；
（2）结论：△B'DP是等腰直角三角形．证明∠B′＝∠DPB′＝45°，可得结论；
（3）证明△ABD是等边三角形，可得结论．
【解答】解：（1）结论：△B'DP 是等边三角形．
理由：如图1中，

∵点B关于AP的对称点为点B′，
∴∠BDP＝∠B'DP，BD＝B'D，
在Rt△ABP中，D是AP的中点，
∴BD＝DP，
∴B'D＝DP，
∵B′P∥BD，
∴∠BDP＝∠B'PD，
∴∠B'DP＝∠B'PD，
∴B'D＝B′P，
∴B'D＝DP＝B'D，
∴△B'DP 是等边三角形；
（2）结论：△B'DP是等腰直角三角形．
理由：如图，

∵PB′∥AB，
∴∠ABP+∠BPB′＝180°，
∵∠ABP＝90°，
∴∠BPB′＝45°，
∴∠A＝90°﹣45°＝45°＝∠BPA，
∴BA＝BP，
∵AD＝DP，
∴∠DBP＝∠ABD＝45°，
∵∠B′＝∠PBD＝45°，∠DPB′＝∠BPD＝45°，
∴∠PDB′＝90°，
∵∠B′＝∠DPB′＝45°，
∴DP＝DB′，
∴△PDB′是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形；
（3）如图3中，

∵DB′∥AB，
∴∠A＝∠ADB′，
∵∠ADB＝∠ADB′，
∴∠A＝∠ADB，
∴AB＝BD，
∵∠ABP＝90°，AD＝DP，
∴AD＝DB，
∴AB＝AD＝DB＝2，
∴△B'DP的面积＝△BDP的面积＝△ABD的面积=34×22=3．
故答案为：3．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2023•海曙区一模）已知E在△ABC内部（如图①），等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC．
（1）求证：AE＝DC；
（2）当AE⊥BD时，求CD的长；
（3）将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点（如图②），求旋转过程中EF的取值范围．

【分析】（1）证明△ABE≌△CBD（SAS），可得AE＝CD；
（2）延长AE交BD于点J．解直角三角形求出AJ，EJ，可得AE的长，即可解决问题；
（3）延长DE到P，使得EP＝DE＝4，连接BP，CP．求出PC的取值范围吗，再利用三角形中位线定理，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴BA＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
BA=BC∠ABE=∠CBDBE=BD，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；

（2）解：延长AE交BD于点J．

∵EJ⊥BD，EB＝ED，
∴BJ＝JD＝2，
∴EJ=EB2-BJ2=42-22=23，AJ=AB2-BJ2=62-22=42，
∴AE＝AJ﹣EJ＝42-23，
由（1）可知CD＝AE，
∴CD＝42-23；

（3）解：延长DE到P，使得EP＝DE＝4，连接BP，CP．

∵PE＝DE，DF＝CF，
∴EF=12PC，
∵BE＝DE＝PE，
∴∠DBP＝90°，
∴BP=DP2-BD2=82-42=43，
∵BC＝6，
∴43-6≤PC≤43+6，
∴23-3≤EF≤23+3．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
7．（2023•邗江区一模）翻开数学发展史，我们就知道数学不仅是抽象、严谨的，还有另外一面．人类从结绳计数开始就在进行着数学实验，并且通过实验不断发展数学．可见，数学实验不仅是数学家研究数学的方式，也是学生学习数学的一种重要方式．在某次数学社团活动中，几位同学利用三角板进行了如下的实数学验，请大家在这一数学实验的基础上思考并回答相关问题：
几位同学把两块完全相同的等腰直角三角板按图1方式摆放，已知△ABC≌△DEF，∠ABC＝∠DEF＝45°，BC⊥AC，EF⊥DF，AC＝DF＝8cm，线段AC在直线MN上，点F在线段AB上，点A与点D重合．
（1）∠CAE＝　90°　，BF＝　（82-8）　cm；
（2）将三角板DEF的直角顶点F沿FA方向滑动，同时顶点D沿AN方向在射线AN上滑动，如图2．
①当点F恰好是线段AB中点时，求∠AFD的度数；
②当点F从初始位置滑动到点A处时，请直接写出点E所经过的路径长；
（3）在（2）的条件下，过点D，F分别作AN，AB的垂线，两条垂线相交于点P，连接AP，线段AP的长度是否为定值？如果是，请求出结果；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求解可得结论；
（2）①如图2中，过点F作FH⊥CD于点H．利用三角形中位线定理，证明FH=12DF，推出∠FDH＝30°，可得结论；
②如图2﹣1中，作射线AE．证明AE⊥AC，求出AE′，AE″，可得结论；
（3）结论：AP＝82，是定值．如图3中，连接AE．说明A，F，E，P，D五点共圆，由∠ADP＝∠DFE＝90°，推出AP，AE都是直径，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝8cm，∠CAB＝∠EDF＝45°，
∴∠CAE＝∠CAB+∠EDF＝90°，
∵AB=2AC＝82（cm），AF＝8cm，
∴BF＝AB﹣AF＝（82-8）cm．
故答案为：90°，（82-8）；

（2）①如图2中，过点F作FH⊥CD于点H．

∵FH∥BC，BF＝FA，
∴CH＝AH，
∴FH=12BC，
∵BC＝DF，
∴FH=12DF，
∴∠FDH＝30°，
∵∠FAH＝∠AFD+∠ADF＝45°，
∴∠AFD＝45°﹣30°＝15°；

②如图2﹣1中，作射线AE．

∵∠CAB＝∠DEF＝45°，
∴A，F，E，D四点共圆，
∴∠EAD＝∠EFD＝90°，
∴AE⊥AC，
当点D′与A重合时，AE′=2DF＝82（cm），
当点F与A重合时，AE″＝8cm，
∴点E的运动路径的长＝（82-8）cm；

（3）结论：AP＝82，是定值．
理由：如图3中，连接AE．

∵PF⊥AB，PD⊥CD，
∴∠PFA＝∠PDA＝90°，
∴A，F，P，D四点共圆，
∵A，F，E，D四点共圆，
∴A，F，E，P，D五点共圆，
∵∠ADP＝∠DFE＝90°，
∴AP，AE都是直径，
∴AP＝AE＝82（cm）．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形性质，特殊角三角函数值，圆内接四边形的判定和性质，垂径定理等，第（2）②关键是判断点E的运动路径，第（3）关键是利用辅助圆解题．
8．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，将△ABC的边AB绕点A逆时针旋转得到线段AD，连接BD．
（1）如图1，连接CD，若∠BAD＝90°，∠ADC+∠ABC＝180°，AC＝72，BC＝4，求CD的长；
（2）如图2，点E在BD上，且满足BC＝DE，连接AE，点F为AB上一点，连接DF交AE于点M，若∠BDF＝∠BCA，∠ADB+∠ABC＝180°，求证AM＝EM；
（3）如图3，若∠BAD＝120°，∠ACB＝60°，AB＝9，点P在直线AC上且满足AP=23BC，将△ABP沿虚线GH折叠使得点P的对应点P落在AB上，连接PP'；与折痕GH交于点O，请直接写出BP最小时，点O到AB的距离．

【分析】（1）延长CD至E，使DE＝BC，连接AE，△ABC≌△ADE，从而∠DAE＝∠BAC，AC＝AE，进而得出△ACE是等腰直角三角形，进一步得出结果；
（2）延长BC至G，使BG＝DE，连接AG，可证得△ABG≌△ADE，从而∠G＝∠AED，AG＝AE，进而得出△ACG∽△MDE，进一步得出结论；
（3）作AI⊥AD，交BD于I，可得点C在以I为圆心，33为半径的圆上运动，设⊙I交BD于T，连接AT，在AT上截取AJ＝23，连接PJ，可证得△AJP∽△BIC，从而得出PJIC=APBC=23，从而PJ=23IC＝23，可得点P在以J为圆心，23为半径的圆上运动，连接BJ，交⊙J于点P，此时BP最小，进一步得出结果．
【解答】解：（1）如图1，

延长CD至E，使DE＝BC，连接AE，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵AB＝AD，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠BAC，AC＝AE，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，
∴∠CAE＝90°，
∴CE=2AC=2×72=14，
∴BC＝DE＝CE﹣CD＝14﹣4＝10；
（2）证明：如图2，

延长BC至G，使BG＝DE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADE＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，
∴∠ABG＝∠ADE，
∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴∠G＝∠AED，AG＝AE，
∵∠C＝∠BDF，
∴△ACG∽△MDE，
∴EMAG=DECG=12，
∴EM=12AG=12AE，
∴AM＝EM；
（3）解：如图3，

作AI⊥AD，交BD于I，
∵AD＝AB＝9，∠BAD＝120°，
∴∠ABD＝∠D＝30°，∠BAI＝∠BAD﹣∠DAI＝30°，
∴∠AIB＝∠DAI+∠D＝120°，∠ABD＝∠BAI，
∴BI＝AI＝AD•tanD＝33，
可得点C在以I为圆心，33为半径的圆上运动，
设⊙I交BD于T，连接AT，在AT上截取AJ＝23，连接PJ，
∵∠CAT＝∠CBT，APBC=AJBI=23，
∴△AJP∽△BIC，
∴PJIC=APBC=23，
∴PJ=23IC＝23，
∴点P在以J为圆心，23为半径的圆上运动，连接BJ，交⊙J于点P，此时BP最小，
如图4，

作PQ⊥AB于Q，
∵GH⊥PP′，OP=12PP′，
∴点O在平行于AB的△ABP的中位线上运动，
在Rt△ABJ中，
BJ=AB2+AJ2=92+(23)2=93，
∴BP＝BJ﹣PJ=93-23，
∵sin∠ABJ=PQBP=AJBJ，
∴PQ93-23=2393，
∴PQ=623-49331，
∴点O到AB的距离为：12PQ=313-29331．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
9．（2023•河北区一模）将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B(2，23)，∠OAB＝90°，以点A为中心顺时针旋转△AOB，得到△ACD，点O，B的对应点分别是C，D，记旋转角为α（0°≤α≤180°）．
（Ⅰ）如图①，当点C落在OB边上时，求点C的坐标；
（Ⅱ）如图②，连接OC，BD，点E，F分别是线段OC，BD的中点，连接AE，AF，EF，若线段OC的长为t，试用含t的式子表示线段AE的长度，并写出t的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若△AEF的面积是S，当60°≤α≤120°时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

【分析】（Ⅰ）如图①中，过点C作CG⊥OA于点G．证明△AOC是等边三角形，可得结论；
（Ⅱ）利用等腰三角形的性质，勾股定理求解，可得结论；
（Ⅲ）首先证明△AEF是特殊直角三角形，推出S=12•AE•AF=32•AE2，判断出AE的最大值，最小值，可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点C作CG⊥OA于点G．

∵A（2，0），B（2，23），
∴AB⊥OA，OA＝2，AB＝23，
∴tan∠AOB=ABAO=232=3，
∴∠AOB＝60°，
∵AO＝AC，
∴△AOC是等边三角形，
∵CG⊥OA，
∴OG＝GA＝1，CG=3OC=3，
∴C（1，3）；
（Ⅱ）由旋转的性质可知AC＝AO＝2，
∵E是OC的中点，
∴AE⊥OC，
∴AE=AC2-EC2=22-(12t)2=16-t22（0≤t≤4）；
（Ⅲ）如图②中，

∵AO＝AC，AB＝AD，OE＝EC，BF＝DF，
∴AE⊥OC，AF⊥DB，∠OAE＝∠CAE，∠DAF＝∠BAF，
∵∠OAC＝∠BAD，
∴∠OAE＝∠DAF，
∵∠AEO＝∠AFD＝90°，
∴△AEO∽△AFD，
∴AEAF=OAAD=13，
∴AF=3AE，
∵∠OAE＝∠BAF，
∴∠EAF＝∠OAB＝90°，
∴S=12•AE•AF=32•AE2，
∵60°≤α≤120°，
∴当α＝60°时，AE的值最大，最大值为3，
当α＝120°时，AE的值最小，最小值为1，
∴32≤S≤332．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2023•福田区二模）【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率（scop）．如图1，在△XYZ中，XY＝XZ，顶角X的张率记作scop∠X=底边腰=YZXY．容易知道一个角的大小与这个角的张率也是相互唯一确定的，所以，类比三角函数，我们可按上述方式定义∠α（0°＜∠α＜180°） 的张率，例如，scop60°＝1，scop90°=2，请根据材料，完成以下问题：
如图2，P是线段AB上的一动点（不与点A，B重合），点C，D分别是线段AP，BP的中点，以AC，CD，DB为边分别在AB的同侧作等边三角形△ACE，△CDF，△DBG，连接PE和PG．

（1）【理解应用】
①若等边三角形△ACE，△CDF，△DBG的边长分别为a，b，c，则a，b，c三者之间的关系为 　b＝a+c　；
②scop∠EPG＝　3　；
（2）【猜想证明】如图3，连接EF，FG，猜想scop∠EFG的值是多少，并说明理由；
（3）【拓展延伸】如图4，连接EF，EG，若AB＝12，EF=27，则△EPG的周长是多少？此时AP的长为多少？（可直接写出上述两个结果）
【分析】（1）①利用中点的定义，证明CD＝AC+BD，可得结论；
②证明∠EPG＝120°，可得结论；
（2）猜想：scop∠EPG=3．如图3中，连接PF．证明∠EFG＝2∠CFD＝120°，可得结论；
（3）证明EP+PG=3（a+c）=32AB＝63，可得EG+EP+PG＝221+63．如图4中，过点F作FH⊥CE交CE的延长线于点H．求出AP的值，再利用对称性解决问题即可．
【解答】解：（1）①∵点C，D分别是线段AP，BP的中点，
∴AC＝CP，BD＝PD，
∵AC＝a，BD＝c，
∴CD＝CP+PD＝a+c，
即b＝a+c，
故答案为：b＝a+c；
②由题意得，EC＝CP，∠ECP＝120°，
∴∠EPC=12×（180°﹣120°）＝30°，
同理，∠GPD＝30°，
∴∠EPG＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴scop∠EPG＝scop120°=3．
故答案为：b＝a+c，3；

（2）猜想：scop∠EPG=3．
理由：如图3中，连接PF．

∵点C是AP的中点，△ACE，△CDF都是等边三角形，
∴CP＝CE，∠ECF＝∠PCF＝60°，
∵CF＝CF，
∴△ECF≌△PCF（SAS），
∴∠EFC＝∠PFC，
同理可得，∠GFD＝∠PFD，
∴∠EFG＝2∠CFD＝120°，
∴scop∠EPG＝scop120°=3；

（3）∵△ECF≌△PCF，
∴EF＝PF，
同理可证：GF＝PF，
∴EF＝GF，
∵∠EFG＝120°，EF＝27，
∴EG=3EF＝221，
∵点C，D分别是线段AP，BP的中点，等边三角形△ACE，△CDF，△DBG的边长分别为a，b，c，
∴PC＝AC＝CE＝a，PD＝BD＝DG＝c，∠ECP＝∠PDG＝120°，
∴EP=3PC=3a，PG=3PD=3c，
∴EP+PG=3（a+c）=32AB＝63，
∴EG+EP+PG＝221+63．
如图4中，过点F作FH⊥CE交CE的延长线于点H．

∵CF＝CD＝b=12AB＝6，∠ECF＝60°，
∴FH＝CF•sin60°＝33，CH＝CF•cos60°＝3，
在Rt△EFH中，HE=EF2-FH2=(27)2-(33)2=1，
∴CE＝CH﹣HE＝3﹣1＝2，
∴AP＝2CE＝4，
由对称性可知，AP＝12﹣4＝8，
综上所述，AP的值为4或8．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
11．（2023•莱芜区一模）如图1，△ACB是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D在△ACB的内部，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接DE、BD、AE．
（1）判断线段AE与BD的数量关系并给出证明；
（2）如图2，当B、D、E三点在同一条直线上时，写出线段BE、CE、AE的数量关系为 　BE=2CE+AE　；
（3）如图3，若AC＝2，DC＝1.2，点F为线段AB中点，当E、D、F三点在同一条直线上时，连接BD，求BD的长度．
​
【分析】（1）根据旋转的性质得出∠ECD＝90°＝∠ACB，CE＝CD，进而推出∠ACE＝∠BCD，结合等腰直角三角形的性质利用SAS证明△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据勾股定理求出DE=2CE，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可；
（3）连接CF，根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质推出A、E、C、F四点共圆，B、C、D、F四点共圆，CF⊥AB，结合三角形内角和定理求出∠CDB＝90°，根据勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）AE＝BD，理由如下：
根据旋转的性质得，∠ECD＝90°＝∠ACB，CE＝CD，
∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
（2）在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CE＝CD，
∴DE=CE2+CD2=2CE，
∵AE＝BD，BE＝DE+BD，
∴BE=2CE+AE，
故答案为：BE=2CE+AE；
（3）如图3，连接CF，

∵△ACB、△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CED＝45°＝∠CAB，
∴A、E、C、F四点共圆，
∴∠EAC＝∠EFC，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC＝∠DBC，
∴∠EFC＝∠DBC，
∴B、C、D、F四点共圆，
∴∠DCF＝∠DBF，
∵点F为线段AB中点，
∴CF⊥AB，
∴∠CFB＝90°，
∴∠FCB+∠DBC+∠DBF＝90°，
∴∠FCB+∠DBC+∠DCF＝90°，
∴∠CDB＝180°﹣90°＝90°，
∵BC＝AC＝2，DC＝1.2，
∴BD=BC2-CD2=22-1．22=1.6．
【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
12．（2023•甘井子区模拟）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足为E．求证：∠ABE＝∠CAD．

独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，将线段BE绕点E逆时针旋转，点B的对应点F在AD的延长线上，连接BF，过点C作CG∥BF，交AD于点G．猜想AE与FG的数量关系，并证明．”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当点E与点G重合，过点E作EH⊥CE，交AC于点H时，若给出AB的边长，则图3中所有已经同字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）的条件下，若点E与点G重合，过点E作EH⊥CE，交AC于点H，AB＝5，求AH的长．”

【分析】独立思考：根据垂直的定义及直角三角形的性质求解即可；
实践探究：如图2，过点C作CM⊥AF于点M，结合独立思考推出△ABE≌△CAM（AAS），根据全等三角形的性质得出AE＝CM，BE＝AM，由旋转的性质及平行线的性质得，BE＝FE，∠BEF＝90°，进而得到GM＝CM＝AE，根据线段的和差等量代换即可得解；
问题解决：如图3，过点C作CM⊥AF于点M，过点A作AN⊥EH交EH的延长线于点N，由实践探究知，△EMC是等腰直角三角形，CM＝AE，进而推出CE=2CM=2AE，∠CEM＝45°，∠AEN＝45°，则△ANE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出AE=2AN，等量代换得到CE＝2AN，根据∠ANH＝∠CEH＝90°，∠AHN＝∠CHE，即可判定△AHN∽△CHE，根据相似三角形的性质即可得解．
【解答】独立思考：
证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°，
∵BE⊥AD，
∴∠BEA＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAD；
实践探究：
解：FG＝2AE，理由如下：
如图2，过点C作CM⊥AF于点M，

由独立思考知，∠ABE＝∠CAD，
又∠AEB＝∠CMA＝90°，AB＝AC，
∴△ABE≌△CAM（AAS），
∴AE＝CM，BE＝AM，
由旋转的性质得，BE＝FE，∠BEF＝90°，
∴∠EBF＝∠F＝45°，
∵CG∥BF，
∴∠CGM＝∠F＝45°，
∴∠GCM＝45°，
∴GM＝CM＝AE，
∵BE＝AM，BE＝FE，
∴AM＝EF，
∴EF﹣EM＝AM﹣EM，
即MF＝AE，
∴FG＝GM+MF＝CM+AE＝AE+AE＝2AE；
问题解决：
解：如图3，过点C作CM⊥AF于点M，过点A作AN⊥EH交EH的延长线于点N，

由实践探究知，△EMC是等腰直角三角形，CM＝AE，
∴CE=2CM=2AE，∠CEM＝45°，
∵EH⊥CE，
∴∠HEC＝90°，
∴∠AEN＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∵AN⊥EH，
∴△ANE是等腰直角三角形，
∴AE=2AN，
∴CE＝2AN，
∵∠ANH＝∠CEH＝90°，∠AHN＝∠CHE，
∴△AHN∽△CHE，
∴AHCH=ANCE=12，
∴AH=12CH，
∴AH=13AC，
∵AC＝AB＝5，
∴AH=53．
【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
13．（2023•武汉模拟）【问题提出】如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上，探究DE与EB的数量关系．
【问题探究】
（1）先将问题特殊化如图1，当点E在边BC上时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；
（2）再探究一般情形．如图2，当点E在△ABC内部时，证明（1）中的结论仍然成立．
【问题拓展】
如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG＝5CG，BH＝3．直接写出CG的长 　2　．

【分析】【问题探究】
（1）根据等边三角形的性质、三角形的外角的性质得到∠EDB＝∠B，根据等腰三角形的判定定理证明；
（2）取AB的中点O，连接CO、EO，分别证明△ACD≌△OCE和△COE≌△BOE，根据全等三角形的性质证明；
【问题拓展】
取AB的中点O，连接CO、EO、EB，根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质推出△CEG≌△DCO，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：【问题探究】（1）ED＝EB，理由如下：
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CED＝60°，
∵∠ABC＝30°，∠CED＝∠B+∠EDB，
∴∠EDB＝60°﹣∠B＝30°，
∴∠EDB＝∠B，
∴DE＝EB；
（2）如图2，取AB的中点O，连接CO、EO，

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，OC＝OA，
∴△ACO为等边三角形，
∴CA＝CO，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°＝∠ACO，
∴∠ACD＝∠OCE，
在△ACD和△OCE中，
AC=OC∠ACD=∠OCECD=CE，
∴△ACD≌△OCE（SAS），
∴∠COE＝∠A＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
在△COE和△BOE中，
OC=OB∠COE=∠BOEOE=OE，
∴△COE≌△BOE（SAS），
∴EC＝EB，
∴ED＝EB；
【问题拓展】
如图3，取AB的中点O，连接CO、EO、EB，

与（2）同理，△ACD≌△OCE，△OAC是为等边三角形，
∴∠COE＝∠A＝60°，
∴∠BOE＝60°＝∠COE，
又∵OC＝OB，OE＝OE，
∴△COE≌△BOE（SAS），
∴EC＝EB，
∴ED＝EB，
∵EH⊥AB，
∴DH＝BH＝3，
∵GE∥AB，
∴∠G＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠GCD＝∠GCE+60°＝∠CDA+60°，
∴∠GCE＝∠CDA，
在△CEG和△DCO中，
∠G=∠COD∠ECG=∠ODCCE=CD，
∴△CEG≌△DCO（AAS），
∴CG＝OD，
设CG＝a，则AG＝5a，OD＝a，
∴AC＝OC＝4a，
∵OC＝OB，
∴4a＝a+3+3，
解得，a＝2，
即CG＝2，
故答案为：2．
【点评】本题是三角形综合题，考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
14．（2023•临潼区二模）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，将线段CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ，连接QB．
（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；
（2）如图2，当点P，B在AC同侧，连接PB并延长，与CQ交于点D，若AP＝AC，求证：线段PD垂直平分CQ；
（3）如图3，某地河堤路l旁有一边长为4的等边三角形花圃ABC，且AC边垂直于路l，市政部门计划在河堤路另一侧修建一个三角形的观景平台APQ，要求点P，B分别位于AC边的异侧，连接CP，将线段CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ，再连接AQ和PQ，若三角形观景平台APQ的面积等于34，求此时AP的长度．


【分析】（1）由“SAS”证得△ACP≌△BCQ（SAS）可得AP＝BQ；
（2）由“SAS”证得△ACP≌△BCQ（SAS）可得BQ＝AP＝AC＝BC，由“等边对等角”可得∠ABP＝∠APB＝75°，则∠CBP＝∠ABC+∠ABP＝135°，所以∠CBD＝∠QBD＝45°，则BD是△BCQ的平分线，又BC＝BQ，则PB垂直平分CQ；
（3）设AP的长度，根据△APQ的面积等于34建立等式，可求出AP的长．
【解答】（1）解：在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ；
（2）证明：在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°；
∴BQ＝AP＝AC＝BC，
∵AP＝AC，∠CAP＝90°，
∴∠BAP＝30°，∠ABP＝∠APB＝75°，
∴∠CBP＝∠ABC+∠ABP＝135°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠QBD＝45°，
∴∠CBD＝∠QBD，即BD平分∠CBQ，
∴BD⊥CQ且点D是CQ的中点，
即直线PB垂直平分线段CQ；
（3）如图所示，设BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，

由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，
∵∠CAB＝∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABE＝30°，
∴∠BEF＝120°，∠QEF＝60°，
∵AB＝AC＝4，
∴AE＝BE=433，
设AP＝m，则BQ＝m，
∴EQ＝m-433，
在Rt△EFQ中，QF=32EQ=32（m-433），
∴S△APQ=12AP•QF=34，即12•m•32（m-433）=34，
解得m=23+213（m=23-213负值舍去）．
∴AP的值为23+213．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
15．（2023•九龙坡区校级模拟）如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量、探究，得出以下几组数据：
变量a（cm）
0
0.5
1
1.5
2
2.5
n
3.5
4
变量h（cm）
0
0.5
1
m
2
1.5
1
0.5
0
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2﹣1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2﹣2．

根据探究的结果，解答下列问题：
①上表中m＝　1.5　；n＝　3　；
②将图2﹣1，图2﹣2中描出的点顺次连接起来；
③根据②中的连线，判断下列说法正确的是 　A　（填“A”或B”）；
A．变量h是以a为自变量的函数B．变量a是以h为自变量的函数
（2）如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（cm2）为S．
①直接写出S关于a的函数表达式，并写出自变量a的取值范围：并在所给的平面直角坐标系中画出其函数图象．
②写出该函数的两条性质．
性质一：　当x＝2时S有最大值2（答案不唯一）　；
性质二：　当0≤x≤2时，S随x的增大而增大（答案不唯一）　．
【分析】（1）①由已知可得DE＝AD，故m＝1.5时，h＝1.5；当a＞2时，a＝4﹣h，故n＝4﹣1＝3；
②按要求连接所描点即可；
③根据函数的定义可得答案；
（2）①当0≤a≤2时，S△ADE=12AD•DE=12a2；当2＜a≤4时，DE＝AB﹣AD＝4﹣a，故S=12BD•DE=12（4﹣a）2；再描点画出图象即可；
②根据函数图象可得答案．
【解答】解：（1）①从表格和图1可知，当a＜2时，△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD，
∴m＝1.5时，h＝1.5；
从表格和图3可知，当a＞2时，△BDE是等腰直角三角形，
∴DE＝BD＝AB﹣AD＝4﹣a，即h＝4﹣a，
∴a＝4﹣h，
∴n＝4﹣1＝3，
故答案为：1.5；3；
②如图，

③当自变量a变化时，h随之变化，当a确定时，h有唯一一个值与之对应，所以h是a的函数；
当自变量h确定时，a有两个值与之对应，所以a不是h的函数，
故答案为：A；
（2）①当0≤a≤2时，DE＝AD＝a，
S△ADE=12AD•DE=12a2；
当2＜a≤4时，DE＝AB﹣AD＝4﹣a，
∴S=12BD•DE=12（4﹣a）2，
∴S=12a2(0≤a≤2)12(4-a)2(2＜a≤4)；
由S与a关系式可知，函数图象过（0，0），（1，0.5），（2，2），（3，0.5），（4，0），画出图象如下：

②由函数图象可知，性质一：当x＝2时S有最大值2；
性质二：当0≤x≤2时，S随x的增大而增大（答案不唯一）．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及函数的图象与定义，二次函数等知识，解题的关键是数形结合思想的应用．
16．（2023•青岛一模）【阅读理解】
三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于 180°．
如图②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C＝180°，点D是AB延长线上一点．由平角的定义可得∠ABC+∠CBD＝180°，所以∠CBD＝∠A+∠C．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

【初步应用】
如图③，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，
（1）若∠A＝60°，∠CBD＝110°，则∠ACB＝　50　°；
（2）若∠A＝60°，∠CBD＝110°，则∠CBD+∠BCE＝　240　°；
（3）若∠A＝m°，则∠CBD+∠BCE＝　（180+m）　°．
【拓展延伸】
如图④，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，
（4）若∠A＝60°，分别做∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，则∠BOC＝　60　°；
（5）若∠A＝60°，分别做∠CBD和∠BCE的三等分线交于点O，且∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13∠BCE，则∠BOC＝　100　°；
（6）若∠A＝m°，分别做∠CBD和∠BCE的n等分线交于点O，且∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n∠BCE，则∠BOC＝　（180n-180-mn）　°．
【分析】（1）由三角形的外角性质即可得出结论；
（2）同（1）得∠ACB＝50°，再求出∠BCE＝180°﹣∠ACB＝130°，即可得出结论；
（3）由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，再由平角的定义即可得出结论；
（4）同（3）得∠CBD+∠BCE＝240°，再由角平分线定义求出∠CBO+∠BCO＝120°，然后由三角形内角和定理即可得出结论；
（5）同（3）得∠CBD+∠BCE＝240°，再求出∠CBO+∠BCO＝80°，然后由三角形内角和定理即可得出结论；
（6）同（3）得∠CBD+∠BCE＝（180+m）°，再求出∠CBO+∠BCO＝（180+mn）°，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠CBD＝∠A+∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠A＝110°﹣60°＝50°，
故答案为：50；
（2）同（1）得：∠ACB＝50°，
∴∠BCE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∴∠CBD+∠BCE＝110°+130°＝240°；
故答案为：240；
（3）∵∠A＝m°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣m°，
∴∠CBD+∠BCE＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣（180°﹣m°）＝（180+m）°，
故答案为：（180+m）；
（4）∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，
同（3）得：∠CBD+∠BCE＝240°，
∵∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，
∴∠CBO=12∠CBD，∠BCO=12∠BCE，
∴∠CBO+∠BCO=12（∠CBD+∠BCE）=12×240°＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣120°＝60°，
故答案为：60；
（5）同（3）得：∠CBD+∠BCE＝240°，
∵∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13∠BCE，
∴∠CBO+∠BCO=13（∠CBD+∠BCE）=13×240°＝80°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100；
（6）同（3）得：∠CBD+∠BCE＝（180+m）°，
∵∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n∠BCE，
∴∠CBO+∠BCO=1n（∠CBD+∠BCE）=1n×（180+m）°＝（180+mn）°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣（180+mn）°＝（180n-180-mn）°，
故答案为：（180n-180-mn）．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义以及整体思想等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义是解题的关键，属于中考常考题型．
17．（2023•驿城区校级二模）在综合实践课上，辅导老师要求同学操作探究学具中蕴含的数学知识（△ABC的三个角为45°、45°、90°；△DEF的三个角为30°，60°，90°，EF＝43cm）．
（1）如图1，将一副三角尺按图摆放，等腰直角三角尺的直角边BC恰好垂直平分EF，且BC与DE相交于点P，求DP的长；
（2）如图2，在（1）的基础上，将△ACB绕点C顺时针旋转，使直角边BC经过点D，另一直角边AC与DE相交于点Q，求DQ的长；
（3）在（2）的条件下，将△ABC在边EF上平移，如图3，当点C是EF的三等分点时，直角边AC与DE相交于点G，请直接写出DG的长．

【分析】（1）解直角三角形求出DE，PE，可得结论；
（2）证明∠CDQ＝30°，求出CD，可得结论；
（3）如图3中，设EF的中点为T，AC交DT于点K．解直角三角形求出TK，DK，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，在Rt△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝30°，EF＝43，
∴DE＝EF•cos30°＝6，
∵BC垂直平分线线段EF，
∴EC＝CF＝23，
∴PE=ECcos30°=2332=4，
∴PD＝DE﹣PE＝6﹣4＝2；
（2）如图2中，

∵∠EDF＝90°，EC＝CF，EF＝43，
∴CD＝EC＝CF=12EF＝23，
∴∠E＝∠CDQ＝30°，
∴DQ=CDcos30°=2332=4；
（3）如图3中，设EF的中点为T，AC交DT于点K．

∵CF=13EF=433，ET＝TC＝23，
∴CT＝FT﹣CF＝23-433=233，
∵∠CTK＝∠TED+∠TDE＝60°，∠CKT＝90°，
∴KT＝CT•cos60°=33，
∵DT=12EF＝23，
∴DK＝DT﹣TK＝23-33=533，
∴DG=DKcos30°=53332=103．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了特殊三角形端点性质，直角三角形斜边中线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2023•九龙坡区校级模拟）已知，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为线段AB上一点，连接CD，过点C作CF⊥CD，CF＝CD，连接DF，延长CA到点E，连接BE，使得∠ABE+∠BCD＝45°．

（1）如图1，若BE=10，求DF的长；
（2）如图2，点G是线段DF上一点，连接CG，过点G作GH⊥CG，过点D作DH⊥CD，交GH于点H，求证：DH+BE=2FG；
（3）如图3，点M为BC上一点，连接DM，若AD=1，EC=3+3，请直接写出DM+12CM的最小值．
【分析】（1）证明△BAE≌△CAD（ASA），推出BE＝CD=10，可得结论；
（2）过点C作CJ⊥DF于点J，过点H作HK⊥FD交FD的延长线于点K，连接CH．证明DH=2GJ，BE＝CD＝CF=2JF，可得结论；
（3）如图3中，在CB的下方作∠BCT＝30°，过点M作MK⊥CT于点K，过点D作DH⊥CT于点H，在AC上取一点Q，使得∠AQD＝30°．证明MK=12CM，推出DM+12CM＝DM+MK≥DH，推出DM+12CM的最小值是线段DH的长．
【解答】（1）解：如图1中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ACD+∠BCD＝45°，
∵∠ABE+∠BCD＝45°，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴△BAE≌△CAD（ASA），
∴BE＝CD=10，
∵CF⊥CD，CF＝CD，
∴DF=2CD＝25；
（2）证明：过点C作CJ⊥DF于点J，过点H作HK⊥FD交FD的延长线于点K，连接CH．

∵CD＝CF，∠DCF＝90°，
∴∠CDF＝∠F＝45°，
∵DH⊥CD，GH⊥CG，
∴∠CDH＝∠CGH＝90°，
∴∠GDC＝∠GHC＝45°，
∴∠GCH＝∠GHC＝45°，
∴GH＝GC，
∵∠CGJ+∠HGK＝90°，∠CGJ+∠GCJ＝90°，
∴∠HGK＝∠GCJ，
∵∠HKJ＝∠CJG＝90°，
∴△HKG≌△GJC（AAS），
∴GK＝CJ，HK＝GJ，
∵∠HDK＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∠K＝90°，
∴∠KHD＝∠HDK＝45°，
∴DK＝KH，
∴DH=2DK=2GJ，
∵BE＝CD＝CF=2JF，
∴BE+DH=2JF+2GJ=2（JF+GJ）=2FG．
（3）解：如图3中，在CB的下方作∠BCT＝30°，过点M作MK⊥CT于点K，过点D作DH⊥CT于点H，在AC上取一点Q，使得∠AQD＝30°．

∵MK⊥CT，∠BCT＝30°，
∴MK=12CM，
∴DM+12CM＝DM+MK≥DH，
∴DM+12CM的最小值是线段DH的长，
∴△BAE≌△CAD（ASA），
∴AD＝AE＝1，
∵EC＝3+3，
∴AC＝2+3，
∴CD=AD2+AC2=12+(2+3)2=2+6，
∵AD＝1，∠DAQ＝90°，∠AQD＝30°，
∴DQ＝2AD＝2，AQ=3AD=3，
∴CQ＝AC﹣AQ＝2+3-3=2，
∴QD＝QC，
∴∠QDC＝∠QCD，
∵∠AQD＝∠QDC+∠QCD，
∴∠QCD＝∠QDC＝15°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠QCD＝45°﹣15°＝30°，
∴∠DCH＝∠DCB+∠BCT＝60°，
∴DH＝CD•sin60°＝（2+6）×32=6+322，
∴DM+12CM的最小值为6+322．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
19．（2023•黑龙江一模）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是射线BA上一动点，连接CD，以CD为边作∠DCE＝45°，CE在CD右侧，CE与过点A且垂直于AB的直线交于点E，连接DE．

（1）当CD，CE都在AC的左侧时，如图①，线段BD，AE，DE之间的数量关系是 　BD+AE＝DE　；
（2）当CD，CE在AC的两侧时，如图②，线段BD，AE，DE之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
（3）当CD，CE都在AC的右侧时，如图③，线段BD，AE，DE之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．
【分析】（1）过点C作CF⊥CE，交AB延长线于点F，如图，先证明△CBF≌△CAE，得到BF＝AE，CF＝CE，然后证明△DCE≌△DCF解题即可；
（2）过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图，先证明△CBF≌△CAE，得到BF＝AE，CF＝CE，然后证明△DCE≌△DCF解题即可；
（3）过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图，先证明△CBF≌△CAE，得到BF＝AE，CF＝CE，然后证明△DCE≌△DCF解题即可．
【解答】解：（1）结论：BD+AE＝DE．
理由：过点C作CF⊥CE，交AB延长线于点F，如图．

∴∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠FCB＝∠ECA，
∵AE⊥AB，
∴∠EAB＝90°，
∵∠CBA＝∠CAB＝45°，
∴∠CBF＝∠CAE＝135°，
∵BC＝AC，
∴△CBF≌△CAE（ASA），
∴BF＝AE，CF＝CE，
∵∠DCE＝45°，∠ECF＝90°，
∴∠DCE＝∠DCF＝45°，
∵CD＝CD，
∴△DCE≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF，
∵BD+BF＝DF，
∴BD+AE＝DE．
故答案为：BD+AE＝DE．
（2）图②的猜想：BD﹣AE＝DE．
证明：过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图②．
∴∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠CBF＝∠CAE，
∵AE⊥AB，
∴∠EAB＝90°，
∵∠CBA＝∠CAB＝45°，
∴∠CBF＝∠CAE＝45°，
∵BC＝AC，
∴△CBF≌△CAE（ASA），
∴BF＝AE，CF＝CE，
∵∠DCE＝45°，∠ECF＝90°，
∴∠DCE＝∠DCF＝45°，
∵CD＝CD，
∴△DCE≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF，
∵BD﹣BF＝DF，
∴BD﹣AE＝DE．

（3）过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图

∴∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠FCB＝∠ECA，
∵AE⊥AB，
∴∠EAB＝90°，
∵∠CBA＝∠CAB＝45°，
∴∠CBF＝∠CAE＝45°，
∵BC＝AC，
∴△CBF≌△CAE（ASA），
∴BF＝AE，CF＝CE，
∵∠DCE＝45°，∠ECF＝90°，
∴∠DCE＝∠DCF＝45°，
∵CD＝CD，
∴△DCE≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF，
∵BD﹣BF＝DF，
∴BD﹣AE＝DE．
故答案为：BD﹣AE＝DE．
【点评】本题属于三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
20．（2023•雁塔区校级模拟）（1）如图1，在△ABC中，点D为AC边上一点，AD=12CD，连接BD，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，若S△ABC＝24，则S△ABE＝　12　；
（2）如图2，在△ABC中，AC＝8，∠B＝60°，求△ABC面积的最大值；
（3）公园作为城市生态环节的重要组成部分，从来都是衡量一座城市的生态底蕴和宜居指数的重要指标．西安高新区建区以来，始终坚持生态优先的绿色发展之路，高度重视公园、绿地建设，先后建成了新纪元公园、唐城墙遗址公园等一批综合性公园．近年来，进入发展“快车道”的西安高新区，更是把公园建设当做提升区域生态环境和城市品质的重要任务，近期高新区管委会拟在一片空地上修建一座矩形城市公园ABCD，如图3，按照规划，在这个矩形公园里要修建一个三角形活动中心△AEC，点E在AD边上，且DE：CD＝1：3，活动中心△AEC被景观大道EF（宽度不计）分割为△AEF和△ECF两块区域，已知EF＝200米，且S△AEF=13S△AEC；求当△AEC面积最大时矩形ABCD的面积．


【分析】（1）由三角形面积关系得S△ABD＝8，则S△CBD＝16，再证△ADE∽△CDB，得S△ADE=14S△CDB＝4，即可得出结论；
（2）作△ABC的外接圆O，过圆心O作OD⊥AC于点D，连接OA、OB、OC，当点B、O、D共线，且点O在B、D之间时，△ABC的面积最大，求出OD、BD的长，即可解决问题；
（3）过点A作AG∥CE交EF延长线于点G，作△AEG的外接圆O，过圆心O作ON⊥GE于点N，延长NO交⊙O于点M，当点A与点M重合时，△AGE的面积最大，连接OG、OM、OE、MG、ME，过点F作FH⊥AE于点H，证△AGF∽△CEF，得GFEF=AFCF=12，SAGFS△CEF=14，再证S△AEC＝2S△AGE，得当△AGE的面积最大时，△AGE的面积最大，此时，AE＝ME，∠AEF＝∠MEF，然后证△MGE是等边三角形，得ME＝GE＝AE＝300米，∠AEF＝∠MEF＝60°，进而证△AFH∽△ACD，得AD＝600米，CD＝3003米，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵S△ABC＝24，AD=12CD，
∴S△ABD=11+2S△ABC=13×24＝8，
∴S△CBD＝S△ABC﹣S△ABD＝24﹣8＝16，
∵AE∥BC，
∴△ADE∽△CDB，
∴S△ADES△CDB=（ADCD）2＝（12）2=14，
∴S△ADE=14S△CDB=14×16＝4，
∴S△ABE＝S△ABD+S△ADE＝8+4＝12，
故答案为：12；
（2）如图2，作△ABC的外接圆O，过圆心O作OD⊥AC于点D，连接OA、OB、OC，

当点B、O、D共线，且点O在B、D之间时，△ABC的面积最大，
∵∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴∠AOD=12∠AOC=12×120°＝60°，AD=12AC=12×8＝4，
∴OD=ADtan60°=43=433，AO=ADsin60°=432=833，
∴BO＝AO=833，
∴BD＝BO+OD=833+433=43，
∴S△ABC=12AC•BD=12×8×43=163，
即△ABC面积的最大值为163；
（3）如图3，过点A作AG∥CE交EF延长线于点G，作△AEG的外接圆O，过圆心O作ON⊥GE于点N，延长NO交⊙O于点M，

则当点A与点M重合时，△AGE的面积最大，
连接OG、OM、OE、MG、ME，过点F作FH⊥AE于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴tan∠DCE=DECD=3，
∴∠DCE＝30°，
∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝90°﹣30°＝60°，
∵AG∥CE，
∴∠GAE＝∠DEC＝60°，
∴∠GOE＝2∠GAD＝2×60°＝120°，
∵OG＝OE，ON⊥EG，
∴∠GON=12∠GOE=12×120°＝60°，GN＝EN=12EG，
∵S△AEF=13S△AEC，
∴AF=13AC，
∴AFCF=12，
∵AG∥CE，
∴△AGF∽△CEF，
∴GFEF=AFCF=12，SAGFS△CEF=（AFCF）2＝（12）2=14，
∵EF＝200米，
∴GF=12EF=12×200＝100（米），
∴EG＝EF+GF＝200+100＝300（米），
∵S△AEF=13S△AEC，SAGFS△CEF=14，
∴S△AGE＝S△AEF+S△AGF=13S△AEC+14×23S△AEC=12S△AEC，
∴S△AEC＝2S△AGE，
∴当△AGE的面积最大时，△AGE的面积最大，
此时，AE＝ME，∠AEF＝∠MEF，
∵MN⊥EG，GN＝EN，
∴MG＝ME，
又∵∠GME＝∠GAE＝60°，
∴△MGE是等边三角形，
∴ME＝GE＝AE＝300米，∠AEF＝∠MEF＝60°，
在Rt△EHF中，FH＝EF•sin∠HEF＝200•sin60°＝200×32=1003（米），
EH＝EF•cos∠HEF＝200•cos60°＝200×12=100（米），
∴AH＝AE﹣EH＝300﹣100＝200（米），
∵FH⊥AD，∠D＝90°，
∴FH∥CD，
∴△AFH∽△ACD，
∴AHAD=FHCD=AFAC，
即200AD=1003CD=13，
∴AD＝200×3＝600（米），CD＝1003×3＝3003（米），
∴S矩形ABCD＝AD•CD＝600×3003=1800003（米2），
即当△AEC面积最大时矩形ABCD的面积为1800003米2．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外接圆、圆周角定理、锐角三角函数定义、矩形的性质、平行线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，难度较大，熟练掌握等边三角形的判定与性质和锐角三角函数定义，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．