2023年辽宁省葫芦岛市绥中县中考数学二模试卷

2023年辽宁省葫芦岛市绥中县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  数，，，中最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若一个口袋中装有个红球和一个黑球，对于“从中摸出一个球是红球”这个事件，下列说法正确的是(    )

A. 发生的可能性为 B. 是不可能事件 C. 随机事件 D. 必然事件

6.  如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.  已知：如图，直线与双曲线在第一象限交于点，与轴、轴分别交于，两点，则下列结论错误的是(    )

A.
B. 是等腰直角三角形
C.
D. 当时，

8.  某校初中篮球队共有名球员，为了球队的健康发展和培养球员，要求从岁到岁每个年龄段都必须有球员，下表是该球队的年龄分布统计表：

对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是(    )

A. 平均数、中位数 B. 平均数、方差 C. 众数、方差 D. 众数，中位数

9.  如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，四边形是正方形，，点为射线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，过作平行线交延长线于设长为，四边形的面积为，下列图象能正确反映出与函数关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  神舟十三号飞船在距地面高度的轨道上，将数字用科学记数法表示______ ．

12.  分解因式： ______ ．

13.  如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为，圆锥的侧面积为______．

14.  如图，已知点，，以点为位似中心，按：的比例把缩小，则点的对应点的坐标为______ ．

15.  不等式组的解集是______ ．

16.  如图，在菱形中，对角线，交于点，，，分别以点、点为圆心，以的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为____结果保留

 

17.  在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，其影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为______ 米

18.  如图，矩形中，，，点在的延长线上，，连接交于点，点在边上，，连接，点为中点，连接交于点下列结论：；；；四边形的面积为其中所有正确结论的序号为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
某中学欲开设实心球、立定跳远、跑步、足球四种体育活动，为了了解学生们对这些项目的选择意向，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图、图，请结合图中的信息，解答下列问题：

本次共调查了______名学生；
将条形统计图补充完整；
求扇形的圆心角的度数；
某班喜欢“跑步”的学生有名，其中有名男生，名女生，现从这名学生中选取名，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到一名男生和一名女生的概率．

21.  本小题分
某小区有一块长米，宽米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为平方米，人行通道的宽度应是多少米？

22.  本小题分
某海域内一艘轮船从西向东航行到处时发现正东方向有一处暗礁，轮船马上调整方向，沿北偏东航行到点处，然后沿南偏东航行海里到达处，此时恰好在的正东方向．
求，两地的距离；结果保留根号
求，两地的距离结果保留根号

23.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
求证：是的切线；
若，求的值．

24.  本小题分
某书店畅销一本小说，每本进价为元，根据以往经验，当销售单价是元时，每天的销售量是本；销售单价每上涨元，每天的销售量减少本，设这本小说每天的销售量为本，销售单价为元．
请求出与之间的函数关系式；
书店决定每销售本该小说，就捐赠元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则该小说每本售价为多少元？每天最大利润是多少元？

25.  本小题分
问题背景：已知，如图，等腰中，，，于点，，的面积为，则有______，______．
迁移应用：如图，和都是等腰三角形，，，，三点在同一条直线上，连接若，，求的面积．
拓展延伸：如图，在等腰中，，在内作射线，点与点关于射线轴对称，连接并延长交于点，于，连接，．
求的度数；
若，，求的长．
 

26.  本小题分
抛物线经过，两点，与轴正半轴交于点．

求此抛物线解析式；
如图，连接，点为抛物线第一象限上一点，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式，并求最大时点坐标；
如图，连接，在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
所以最小的是．
故选：．
根据有理数大小比较的方法即可得出答案．
本题考查了有理数大小比较的方法．在数轴上表示的两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．正数大于，负数小于，正数大于负数．两个正数中绝对值大的数大．两个负数中绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中线对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故错误；
B.，故错误；
C.，故错误；
D.，正确．
故选：．
根据平方差公式、幂的乘方、合并同类项法则以及单项式乘以单项式的计算方法进行判断．
本题综合考查了平方差公式，幂的乘方与合并同类项，单项式乘单项式．此题属于基础题，难度较低．
 

4.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数解，
，
解得：，
故选B．
根据方程解的情况和根的判别式得到，求出即可．
本题主要考查对根的判别式，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用根的判别式进行计算是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：若一个口袋中装有个红球和一个黑球，对于“从中摸出一个球是红球”可能发生也可能不发生，所以这个事件是随机事件．
故选：．
必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件，即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．依此即可求解．
考查了可能性的大小，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法；关键是理解不确定事件，即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的运用以及解锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
过作于，首先根据勾股定理求出，然后在中即可求出的值．
【解答】
解：如图，过作于，则，

．
．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：点在双曲线上，
，正确；
选项不符合题意；
．
在直线上，
．
，正确；
选项不符合题意；
直线的解析式为
令，则，
．
．
令，则，
．
．
．
为等腰直角三角形，正确；
选项不符合题意；
由图像可知，当时，．
选项不正确，符合题意．
故选：．
利用待定系数法求得，，利用直线的解析式求得，的坐标，可得线段，的长度，利用图象可以判断函数值的大小．
本题主要考查了一次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，待定系数法，数形结合．利用待定系数法求得函数的解析式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：平均数的求得，是需要将原表中的频数与年龄相乘求得总和再除以，因此，对于不同的，频数和年龄的乘积肯定不同，因此平均数会发生改变．
又因为方差的公式：，很容易发现，方差和平均数有关，因此方差也会改变．
对于中位数，名球员，年龄在由小到大排序后，取得的中位数为第名和第名年龄的平均值，而年龄为和的频数总和为，说明在年龄由小到大排序后，第和第均为，因此中位数是，不随变化而变化．
对于众数，我们发现第岁和第岁的频数相加也不过才为，因此众数肯定是岁的年龄，频数为，不随变化而变化．
故选：．
平均数的求解是先求和再除以个数，方差由平均数得来，中位数由数据排序得到，众数则反映原数据中最多的数值．
本题考查平均数、中位数、众数、方差的概念及运算，要求熟练掌握．
 

9.【答案】 

【解析】解：

添加选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；
添加选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；
选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似；
添加选项后，两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似．
故选：．
此题考查了相似三角形的判定：
如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
根据已知条件及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
 

10.【答案】 

【解析】解：方法一：由题意知，当点在点右侧时，越大，则则四边形的面积越大，
故D选项符合题意；
方法二：如下图，当点在之间时，作于，

，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
四边形的面积，
同理可得当点在点右侧时，，

四边形的面积，
综上所述，当时，函数图象为开口方向向下的抛物线，当时，函数图象为开口方向向上的抛物线，
故选：．
方法一：根据点在点右侧时，越大，则四边形的面积越大，即可以得出只有选项符合要求；
方法二：分两种情况分别求出与的关系式，根据的取值判断函数图象即可．
本题主要考查二次函数图象的性质，熟练根据题意列出函数关系式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，，，
在中，，
，即圆锥的底面圆的半径为，
，即圆锥的母线长为，
圆锥的侧面积．
故答案为．
先利用三角函数计算出，再利用勾股定理计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

14.【答案】或 

【解析】解：以点为位似中心，按：的比例把缩小，点的坐标为，
点的对应点的坐标为或，即或，
故答案为：或．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
故答案为：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点，掌握扇形面积公式是解题的关键．
根据菱形的性质得到，由得到和是等边三角形，，求出、，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可．
【解答】
解：四边形是菱形，，，
，，
、都是等边三角形，
，，

在中，根据勾股定理得，，
，
，，
阴影部分的面积为：


，
故答案为：  

17.【答案】 

【解析】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是米，根据题意，
得，
解得，
树高为米，
故答案为：．
设从墙壁的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是米，根据竹竿的长度：竹竿影长树的高度：树的影长，列出比例式求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟知在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
 

18.【答案】 

【解析】解：，，，，
，，
，，
∽，
，
，故正确；
连接，
，
，
点是的中点，
，，，故正确；
，
，
若，则，
，
，
，
是等边三角形，
，与题意不符合，故错误；
，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
∽．
，
，
，，
四边形的面积，故正确；
故答案为：．
通过证明∽，可得，可证，故正确；由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求，故正确；分别求出，，，的长，即可求四边形的面积为，故正确，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

19.【答案】解：



，
当时，原式． 

【解析】先利用异分母分式的加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：人，
故答案为：；
人，补全条形统计图如图所示：

答：扇形的圆心角的度数为；
用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果数，其中一男一女的有种，
因此，刚好抽到一名男生和一名女生的概率为．
从两个统计图可得，“组”的有人，占调查人数的，可求出调查人数；
求出“组”人数，即可补全条形统计图：
样本中，“组”占，因此圆心角占的，可求出度数；
用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“一男一女”的结果数，进而求出概率．
考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：设人行道的宽度为米，
由题意得，，
解得：，不合题意，舍去．
答：人行道的宽度为米． 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
设人行道的宽度为米，则矩形绿地的长度为：，宽度为：，根据两块绿地的面积之和为平方米，列方程求解．
 

22.【答案】解：过作于，过作于，
则，
，
与是等腰直角三角形，
，
，
，
海里，
海里，
海里，
答：，两地的距离海里；
在中，，，
，
海里，
在中，，，
海里，
海里，
答：，两地的距离为海里． 

【解析】过作于，过作于，得到，求得与是等腰直角三角形，得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论；根据三角形的那句话定理得到，求得海里，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
，即，
是半径，
是的切线；
解：，
，
在中，，
设，，
，
，，
∽，
． 

【解析】连接，是的直径，则，得到，由得到，又由得到，即可得到结论；
推出，设，得出，证明∽，即可得到答案．
本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：根据题意得，；
设每天扣除捐赠后可获得利润为元，
由已知得：

，
，
，
时，取得最大值，最大值为，
答：每本该小说售价为元，最大利润是元． 

【解析】根据题意，销售量列式即可；
设每天扣除捐赠后可获得利润为元，由已知可得：，即可得到答案．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确的理解题意，掌握二次函数的性质．
 

25.【答案】  

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
作于，

，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
的面积；
点与点关于射线对称，
，，
，
，
，
．
与交于，

点与点关于射线对称，
，，，，
是等边三角形，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
由等腰三角形的性质，直角三角形的性质，锐角的余弦定义求出，长即可解决问题；
作于，由条件可以证明≌，得到，应用的结论即可计算；
由轴对称的性质可以证明，即可得到答案；
由轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理可以求出的长，应用的结论可以求出的长．
本题考查几何变换综合题，关键是掌握等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义．
 

26.【答案】解：抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线解析式为；
点作轴于点，交于点，

设直线解析式为：，
，，
，
解得，
，
由题意可知，，
，
，
，
，
当时，有最大值，
此时点坐标为；
存在，，，，，
当时，如图，设对称轴与交于点，

则 ，
，
，
解得：，
点的坐标为或，
当时，则为的垂直平分线．
因此与重合，
因此，点的坐标为，
当时，如图，设点的坐标为，

则，，
，
解得：，
点的坐标为，
综上可知，潢足条件的点共四个，其坐标为，，，． 

【解析】直接将、点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；
过点作轴于点，交于点，设直线解析式为，先求出直线解析式，由题意可知，，再根据，用表示，根据二次函数的性质求得最大时的坐标即可；
由于的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：，，，可先设出点的坐标，然后用点纵坐标表示的三边长，再按上面的三种情况列式求解．
此题是二次函数综合题，涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．