2022-2023学年广东省汕头市育能重点学校高二（下）期中数学试卷

2022-2023学年广东省汕头市育能重点学校高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数满足方程，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在正项等比数列中，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  设，，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知向量，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  意大利画家列奥纳多达芬奇的画作抱银鼠的女子如图所示中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为的“双曲余弦函数”相关下列选项为“双曲余弦函数”图象的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  在中，为上一点，，为线段上任一点不含端点，若，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点，，且，若，则的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列求导正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知数列满足，，则(    )

A. 为等比数列 B. 的通项公式为
C. 为递增数列 D. 的前项和

11.  函数的图象如图所示，则(    )

A.
B. 的单调递减区间为
C. 对任意的都有
D. 在区间上的零点之和为

12.  如图所示，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，则(    )

A.
B. 与平面所成角的正弦值为
C. 二面角的余弦值为
D. 平面截正方体所得的截面周长为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  的展开式中的常数项为______．

14.  在年北京冬奥会志愿者选拔期间，来自北京某大学的名男生和名女生通过了志愿者的选拔从这名志愿者中挑选名负责滑雪项目的服务工作，要求至少有一名女生，则不同的选法共有______ 种请用数字作答

15.  直线：被圆：截得的弦长为______．

16.  如图甲，平行四边形形状的纸片是由六个边长为的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图乙所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为______ ；若该六面体内有一小球，则小球的最大半径为______ ．

 

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数．
求的极值和单调区间；
求曲线在点处的切线方程，并求出切线与坐标轴所围三角形的面积．

18.  本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，，角的平分线交于点，求．

19.  本小题分
在，；这两组条件中任选一组，补充下面横线处，并解答下列问题．
已知数列的前项和是，数列的前项和是，_____．
求数列，的通项公式；
设，数列的前项和为，求．

20.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点是的中点，，．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．

21.  本小题分
已知离心率为的椭圆，其焦距为．
求此椭圆的方程；
已知直线与椭圆交于，两点，若以线段为直径的圆过点，求的值．

22.  本小题分
已知函数．
若是的极值点，求的值；
讨论函数的单调性；
若恒成立，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：或，
，
又，
，
故选：．
化简集合，，再求及即可．
本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以．
故选：．
利用复数的运算法则求出复数，再利用模的定义即可求出结果．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：在正项等比数列中，，
则，
所以，
故．
故选：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，
．
故选：．
容易得出，，，从而可得出，，的大小关系．
考查分数指数幂的运算，对数函数的单调性，减函数和增函数的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，若，
则，即，
．
故选：．
由已知列式求解，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查两向量垂直与数量积的关系，考查三角函数的化简求值，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的确定，涉及了基本不等式的运用，属于基础题．
由基本不等式可知，结合选项即可得解．

【解答】

解：，当且仅当，即时取等号，
由选项可知，只有选项C符合题意．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：由题意，如下示意图知：，且，又，

所以，故且，
故，
仅当，即时等号成立．
所以的最小值是．
故选：．
由题设且，进而可得，将目标式化为，结合基本不等式“”的代换求最小值，注意等号成立条件．
本题主要考查了平面向量的线性运算，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，且为的中点，
则三角形为直角三角形，且
，，
所以，，
由椭圆的定义可得：
，
，
故选：．
利用直角三角形的性质以及椭圆的定义，列出等式，即可解出．
本题考查了圆锥曲线的概念与性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，，故D正确．
故选：．
利用导数的计算公式逐个判断各个选项．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：依题意，由两边倒过来，
可得，
两边同时加，可得，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，故选项A正确；
，
即，
，，故选项B错误；
，
，
当时，，，
，即，
数列为递减数列，故选项C错误；
又



，故选项D正确．
故选：．
先将题干中的递推公式两边倒过来，再同时加，推导即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，判断选项A的正确性；然后根据数列的通项公式推导出数列的通项公式，判断选项B；根据数列的通项公式，写出的表达式，作差并与比较大小，从而判断数列的单调性，得到选项C是否正确；最后根据的表达式逐项代入，运用分组求和法，等比数列的求和公式进行计算可判断选项D．
本题主要考查数列由递推公式推导通项公式，以及运用分组求和法求前项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，作差法，不等式的运算，分组求和法，等比数列的求和公式，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由图可知，所以，
则，
又，
所以，
又因，所以，故A正确；
则，
令，得，
所以的单调递减区间为，故B正确；
因为，而，
所以不恒成立，故C错误；
令，则，所以，
又因，所以或或或，
所以在区间上的零点之和为，故D错误．
故选：．
根据函数图象求得周期，即可求得，再利用待定系数法即可求得，即可判断，再根据正弦函数的单调性即可判断；求出，再结合正弦函数的值域即可判断；令，求出函数在区间上的零点即可判断．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意知，AF错误，故A错误；
以点为原点，分别以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
设与平面所成角为，
则，，故B正确；
平面的法向量，
，
二面角的余弦值为，故C错误；
，分别是棱，的中点，，
，即，
平面截正方体所得截面为四边形，
正方体的棱长为，，，，
平面截正方体的截面周长为，故D正确．
故选：．
由题意知，从而AF错误；以点为原点，分别以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出与平面所成角的正弦值为；求出平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值为；推导出，平面截正方体所得截面为四边形，由此求出平面截正方体的截面周长为．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：的通项为
令得
展开式的常数项为
故答案为
利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为得常数项．
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为共有名女生，所以至少有一名女生入选的方法有．
故答案为：．
至少一名女生包含两类，女生男生和女生男生，利用组合知识进行求解．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：圆的方程可化为，
所以圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
则直线被圆截得的弦长为，
故答案为：．
化简圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标以及半径的大小，然后求出点到直线的距离，最后根据弦长求解即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

16.【答案】  

【解析】解：因为边长为的等边三角形的面积为，
所以该六面体的表面积为；
作棱长为的正四面体，记等边的中心为，则平面，

因为等边的边长为，所以，又，
所以，又，
所以棱长为的正四面体的体积为，所以棱长为的六面体的体积为，
由于图像的对称性，要内部的小球的半径最大，则球要和六面体的六个面都相切，
连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为，
所以，
故答案为：．
计算每个面的面积再乘以，即可得到答案；由图形的对称性得，小球的半径要达到最大，则球心在六面体的中心，球与六个面都相切，由此可求球的半径．
本题考查了多面体和球的相关计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
当时，，当时，，
所以函数的单调减区间为，单调增区间为，
所以，无极小值；
由得，，则所求切线的斜率为，
故所求切线方程为，
当时，，当时，，
故切线与坐标轴所围三角形的面积． 

【解析】求导，再根据导函数的符号即可求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可求得极值；
先利用导数的几何意义求出切线方程，求得截距，利用三角形面积公式可得答案．
本题考查利用导数求曲线的切线，利用导数研究函数的单调性与极值，三角形的面积的求解，属于中档题．
 

18.【答案】解：由已知及正弦定理得，
因为，则，
所以，即．
又，所以，即，
因为，所以，
所以，得．
因为是角的角平分线，
所以，
即，
结合得，
解得． 

【解析】利用正弦定理结合题目条件边化角，再利用诱导公式和三角恒等变换得到，结合角的范围和正弦函数的图像与性质，即可求解；
根据条件得到，结合和三角形面积公式得到关于的方程，即可求解．
本题主要考查解三角形，正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：选条件：由，可得，
两式相减可得，，
在中，令，可得，，
是以为首项，公比为的等比数列，；
选条件：由，可得，
两式相减可得，即，
，
在中，令，可得，，
由，，，，
，从而有，
，；
选条件：由知，
，，
，
两式相减可得
，
；
选条件：由知，
． 

【解析】选条件：由，可得，根据等比数列通项公式即可求解；选条件：由，，可得，利用迭代法可求，借助已知条件可得；
选条件：利用错位相减求和法求和后即可求解；选条件：利用裂项相消求和法求和后即可求解．
本题主要考查数递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】证明：因为底面是矩形，所以．
因为平面，所以，．
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
所以是平面的一个法向量，
因为，且平面，
所以平面．
解：由可知，，
又因为，所以平面，
所以是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为． 

【解析】根据题意建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，由证明即可；
易知是平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，由求解．
本题主要考查二面角的平面角的余弦值以及直线与平面的位置关系，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题知，
解得，，，
椭圆的方程为．
将代入椭圆方程，得，
又直线与椭圆有两个交点，
，
解得．
设，，
则．
若以为直径的圆过点，则．
又，
．
而，
，
，
，
解得，满足，
故． 

【解析】根据离心率为和焦距为，由求解；
将代入椭圆方程，设，，根据为直径的圆过点，由求解．
本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为，
又因为是的极值点，
，即，所以，经检验符合题意；
，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
的定义域为，若恒成立，则恒成立，
即恒成立，
令，，只需，又，
令得，
时，，则单调递增；
时，，则单调递减；
所以，解得：． 

【解析】求出导函数，利用是函数极值点则求出的值并检验即可；求出定义域及导函数，讨论和时的正负，可得到函数的单调性；若恒成立，由第问讨论的结果，求出函数的最大值，求解即可求出的范围．
本题考查导数的极值和单调性，以及导数的恒成立问题，属于中档题．