2023年河北省高考数学模拟试卷（四）

2023年河北省高考数学模拟试卷（四）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知为所在平面内一点，且满足，则(    )

A.  B.
C.  D.

4.  某医院需要从名女医生和名男医生中抽调人参加社区的老年义诊活动，则至少有名男医生参加的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，是年在陕西省宝鸡市出土的一口“何尊”尊为古代的酒器，用青铜制成，尊内底铸有铭文字铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的出处“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的高约为，上口的直径为，圆柱的高和底面直径分别为，，则“何尊”的体积大约为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在三棱锥中，底面，和的外接圆半径分别为，，若三棱锥外接球的表面积与体积数值相同，，则取得最大值时，的正弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知函数，且，是函数相邻的两个最大值点，，，则(    )

A.  B.
C.  D.

10.  在长方体中，，，则(    )

A. 直线与所成的角为
B. 直线与所成的角为
C. 直线与平面所成的角为
D. 直线与平面所成角的正弦值为

11.  已知点为抛物线：上一点，为的焦点，，是上两个动点，则(    )

A. 若的中点的横坐标为，的最大值为
B. 若直线经过点时，的最小值为
C. 若，则直线的斜率为或
D. 直线，的倾斜角互补，与的另一个交点为，则直线的斜率为

12.  已知函数，的定义域均为，导函数分别为，，若，，且，则(    )

A. 为函数的一个周期 B. 函数的图象关于点对称
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若的展开式中的系数为，则_________．

14.  已知圆经过点，与直线相切，且被轴截得的弦长为，则圆的标准方程为______ ．

15.  若数列满足，，则 ______ ．

16.  已知，分别为椭圆：的两个焦点，右顶点为，为的中点，且，直线与交于，两点，且的周长为，则椭圆的短轴长为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
证明：；
若为的中点，且，，求的周长．

18.  本小题分
已知数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
若数列的前项和为，证明：．

19.  本小题分
为了研究某种细菌随天数变化的繁殖个数，设，收集数据如下：

表Ⅰ

表Ⅱ
根据表Ⅰ在图中作出繁殖个数关于天数变化的散点图，并由散点图判断为常数与为常数，且，哪一个适宜作为繁殖个数关于天数变化的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由
根据中的判断结果和表Ⅱ中的数据，建立关于的经验回归方程结果保留位小数．
附：对于一组数据，，，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

20.  本小题分
如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，为棱上一点，，过，，三点作平面交于点．
求点到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．

21.  本小题分
已知为双曲线：的左焦点，经过作互相垂直的两条直线，，斜率分别为，，若与交于，两点，与交于，两点，为的中点，为的中点，为坐标原点当时，直线的斜率为．
求双曲线的标准方程；
求与的面积之比．

22.  本小题分
已知函数，，为自然对数的底数．
证明：函数存在唯一的极值点；
在的条件下，若，且，证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，，
．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求出共轭复数即可．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：集合，，
．
故选：．
先求出集合，，再利用集合的交集运算求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，所以点是线段的一个四等分点，且靠近点，
所以，
所以．
故选：．
根据平面向量的线性运算法则，即可得解．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的加法、减法和数乘运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：“至少有名男医生”的可能包括“男女”，“男女”，
设“男女”的事件为，则，
设“男女”的事件为，则，
则至少有名男医生参加的概率为：．
故选：．
本题根据“至少有名男医生”的可能包括“男女”，“男女”，由此能求出结果．
本题考查古典概率模型计算公式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可知，圆台的高度为，
上端圆台的体积为：，
下端圆柱的体积为：，
该“何尊“的体积，
故选：．
根据圆柱和圆台的体积公式即可求解．
本题考查圆柱和圆台的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据三角函数的倍角公式以及角之间的转化，即可得到结论．
本题主要考查函数值的计算，熟练掌握三角函数的倍角公式是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
设，，时，，
在上单调递减，
又，，，，
．
故选：．
得出：，设，求导，根据导数符号判断的单调性，根据单调性即可得出，，的大小关系．
本题考查了对数的运算性质，构造函数比较大小的方法，根据导数符号判断函数的单调性的方法，基本初等函数、复合函数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设和的外接圆圆心分别为和，因为底面，底面，所以，
则为直角三角形，即为的中点，所以．
又因为，所以，
设三棱锥外接球的球心为，连接，如图所示，

则底面，底面，所以，所以，
因为三棱锥外接球的表面积与体积数值相同，所以，解得，
所以，
，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，
又，
．
故选：．
设三棱锥外接球的球心为，和的外接圆圆心分别为，，则底面，有，得，通过基本不等式可求的最大值，代入正弦定理即可求解．
本题考查了三棱锥外接球的相关计算，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，且，是函数相邻的两个最大值点，
其周期，
，故B正确；
又，，
，故A正确；
令，
则，又，
，故C错误；
；
，为的最小值，
的图象关于直线对称，
，故D正确．
故选：．
依题意，可求得，从而可对四个选项的正误作出判断．
本题考查由的部分图象性质确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：建立空间直角坐标系，如图所示：因为，，
所以，，，，
所以，，
，，，
所以异面直线与所成的角为，选项A错误；
因为，所以，
计算，所以直线与所成的角不是，选项B错误；
易知平面的一个法向量为，，，，
所以直线与平面所成的角为，选项C正确；
易知平面的一个法向量为，
，，，所以直线与平面所成角的正弦值为，选项D正确．
故选：．
建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，即可计算空间中的直线与直线，以及直线与平面所成角的大小问题．
本题考查了空间中的直线与直线以及直线与平面所成的角计算问题，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：点为抛物线：上一点，
，得即抛物线方程为，
设，，
的中点的横坐标为，
，而，当且仅当直线过焦点时取等号，即的最大值为，故A错误；
B.若直线经过点时，由于过焦点的弦中，通径最短，通径长为，故的最小值为，故B正确；
C.若，则，，三点共线，则直线过焦点，且直线的斜率不为，故设直线的方程为，代入，得，
则，
则，，
因为，则，故，解得，
故当时，，；当时，，，故直线的斜率或，故C错误；
D.直线，的倾斜角互补，
则直线的斜率，
解得，则，
同理，
由于直线，的倾斜角互补，则，
即，得，得，则，
故直线的斜率，故D正确．
故选：．
先求出抛物线的标准方程，然后利用直线和抛物线相交是的弦长公式，以及直线斜率公式分别进行判断即可．
本题主要考查直线和抛物线位置关系的应用，根据抛物线的定义求出抛物线的标准方程，利用弦长直线，直线斜率公式进行判断是解决本题的关键，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由得，
由求导得，
又得，所以，
所以，
所以，，
所以，
所以为函数的一个周期，A正确；
，故，
因此，
故函数的图象关于点对称，B正确；
在中，令，，
由得，为常数，
故，
由函数的图象关于点对称，
，
因此，
所以，
由于的周期为，所以的周期也为，
由于，
所以，，
所以，故C正确，
由于，


，故D错误．
故选：．
根据题中条件可得即可判断，由的关系可判断，由得，进而可得，结合周期性即可判断．
本题考查抽象函数的性质的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：的展开式中通项公式：．
令，或．
解得，或．
，解得．
故答案为：．
利用通项公式即可得出．
本题考查了二项式定理的通项公式、分类讨论方法、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设圆的方程为，
由题意可得，解得，
圆的方程为．
故答案为：．
设圆的方程为，由题意得，求解即可．
本题考查圆的方程的求法，考查运算求解能力，属中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，，，，，
数列是以为周期的周期数列，
．
故答案为：．
根据数列的递推式，求出数列的前项，可得数列是以为周期的周期数列，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：为的中点，且，
，，
，，
，
，
，
的周长为，
，，
由已知可得，，，，
，，
，，，
，短轴长为．
故答案为：．
由题意可得，可求，进而可得，可求，进而可求短轴长．
本题考查椭圆的几何性质，考查运算解能力，属中档题．
 

17.【答案】证明：由题意知，
故由正弦定理可得，即，
又，所以，
即，
即，而在中，，，
所以，即；
解：若为的中点，且，，即，
则，

故，由得，，
由可得，，
则，
故的周长为． 

【解析】由正弦定理边化角化简可得，再结合三角诱导公式以及两角和的正弦公式以及同角的三角函数关系化简，即可证明结论；
由题意推得，结合的结论可得，结合勾股定理即可求得，，即得答案．
本题考查了正弦定理和三角诱导公式以及两角和的正弦公式，属于中档题．
 

18.【答案】解：因为，
所以当时，，
两式作差可得，
整理得，又，，
，
，
当时，也符合上式，
综上；
证明：由可知，
，
又易知单调递增，
． 

【解析】根据数列的递推式可得时，，采用作差的方法可得，结合累乘法即可求得答案；
由可得的通项公式，利用裂项求和的方法，即可求得，从而证明结论．
本题考查数列通项公式的求解，裂项求和法的应用，数列的单调性的应用，属中档题．
 

19.【答案】解：由题意作出散点图如图：

由散点图可知，样本点是沿指数型曲线分布，不是分布在某直线附近，
故为常数，且，适宜作为繁殖个数关于天数变化的回归方程类型．
由题意知，故，
，，
则，
故． 

【解析】由已知数据即可作出散点图，据此可判断出结论；
由最小二乘法计算，，写出回归方程，即可求得答案．
本题考查回归方程的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：连接，交于点，
由直棱柱的结构特征知：平面平面，
又平面，平面，
平面平面，平面，
，同理可得，
四边形为平行四边形，，
又，，
，，
四边形为菱形，，
以，正方向为，轴，作轴，可建系如图，

，，，，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，
点到平面的距离；
由知，又，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，
设平面的法向量，
则，取，
，，
平面与平面夹角的余弦值为． 

【解析】连接，交于点，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可求得结果；
根据面面平行和线面平行性质可证得四边形为平行四边形，由此可求得点坐标，利用面面角的向量求法可求得结果．
本题考查向量法求解点面距问题，向量法求解面面角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．
 

21.【答案】解：已知为双曲线：的左焦点，
所以，
因为经过的直线与交于，两点，
不妨设，，
则，
两式作差得，
即，
因为当时，直线的斜率为，
所以，
整理得，
又，，
联立，解得，，
所以双曲线的标准方程为；
不妨设，，直线的方程为，
由知双曲线的标准方程为，
联立，
消去并整理得，且，
可得，，
所以，，
即，
因为直线，相互垂直，
所以，
同理，用替换，可得，
当时，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即
，
令，
解得，
所以直线过点，
当，即时，
直线的方程为，直线过，
综上，直线恒过点，
所以与的面积之比为． 

【解析】由题意，利用点差法即得到，进而可得双曲线的标准方程；
联立直线与双曲线方程结合韦达定理，表示出直线的方程，从而可知恒过定点，由此可得与的面积之比．
本题考查双曲线的几何性质以及直线与双曲线的综合问题，考查了韦达定理的应用、方程思想和转化思想．
 

22.【答案】证明：函数的定义域为，
则，，
令，
因为，
则，在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为，
所以，
所以，，
所以函数在上存在唯一零点，
又当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
所以函数在处取得极大值，
所以函数存在唯一的极值点．
由知，，，则，即，则，
又，即，则有，
联立得，
令，，
则，
当时，，，，单调递减，
所以，
即在上恒成立，
所以，
所以，
则，即，
即，
即． 

【解析】根据题意，求导得，然后通过分析的零点转化为函数的极值点．
根据题意，由，得到，再由在上恒成立，即可证明．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．