高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质同步达标检测题

函数专题：抽象函数及其性质的5种考法

一、抽象函数的赋值法

赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种：

1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解；

2、通过的变换判定单调性；

3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；

4、换为确定周期性.

二、判断抽象函数单调性的方法：

（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;

（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.

①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：

或;

②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：

或.

三、常见的抽象函数模型

1、可看做的抽象表达式；

2、可看做的抽象表达式（且）；

3、可看做的抽象表达式（且）；

4、可看做的抽象表达式.

题型一 求抽象函数的函数值

【例1】定义在上的函数满足，，则等于______．

【变式1-1】设函数满足，且对任意、都有，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式1-2】设函数满足，且对任意，都有，则=_________.

【变式1-3】满足对任意的实数a，b都有，且，则（    ）

A．2016        B．2020        C．2013        D．1008

【变式1-4】已知定义在R上的函数满足对任意实数x，都有，且，则________．

题型二 求抽象函数的解析式

【例2】已知函数对于一切实数、都有成立，且．

（1）求的值；（2）求的解析式．

【变式2-1】已知，对于任意实数、，恒成立，则的解析式为_________.

【变式2-2】已知定义在上的函数满足：对于任意的实数，，都有，且，则函数的解析式为_____．

【变式2-3】对任意实数，，都有，求函数的解析式．

【变式2-4】已知函数对一切的实数，，都满足，且.（1）求的值；（2）求的解析式；

题型三 证明抽象函数的单调性

【例3】已知函数对∀x，y∈R，都有，当时，，证明函数在R上的单调性.

【变式3-1】已知定义在R上的函数，当时，，且对任意的a，b∈R，有.

（1）求的值；

（2）根据定义证明是增函数；

【变式3-2】定义在上的函数满足下面三个条件：

①对任意正数，都有；② 当时，；③

（1）求和的值；

（2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数；

（3）求满足的的取值集合．

【变式3-3】已知函数对任意的，，都有，且当时，

（1）判断并证明的单调性；

（2）若，解不等式．

【变式3-4】设函数的定义域为R，并且满足，且当时，

（1）求的值；

（2）判断函数的单调性，并给出证明；

（3）如果，求的取值范围.

题型四 证明抽象函数的奇偶性

【例4】已知函数对∀x，y∈R，都有，证明函数在R上的奇偶性.

【变式4-1】已知函数对一切实数都有成立， 且.

（1）分别求和的值；

（2）判断并证明函数的奇偶性．

【变式4-2】已知函数满足，当时，成立，且．求，并证明函数的奇偶性；

【变式4-3】若对于任意实数，函数，都有，求证：为偶函数.

题型五 求抽象函数的值域

【例5】定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（    ）

A．R        B．        C．        D．

【变式5-1】函数的定义域为，且对任意，都有，且，当时，有.

（1）求，的值；

（2）判断的单调性并加以证明；

（3）求在，上的值域.

【变式5-2】已知函数对于任意实数总有,当时, .求在上的最大值和最小值.

【变式5-3】已知函数对任意实数，，均有，且当时，，，求在区间上的值域．