高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课后练习题

5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)

一、A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响

1、A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.

2、φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.

3、ω决定了函数的周期

二、三角函数图象变换

1、振幅变换

要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．

2、平移变换

要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．

3、周期变换

要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到．

4、函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径

5、三角函数图象变换中的三个注意点

（1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；

例如：或

（2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向；

（3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中

函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，

函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位．

三、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.

题型一 根据函数图象求解析式

【例1】已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．3        B．        C．        D．

【变式1-1】如图是函数的图象的一部分，则函数的解析式为（    ）

A．        B．

C．          D．

【变式1-2】函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．         B．

C．        D．

【变式1-3】已知函数，，的部分图象如图所示，则的值为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式1-4】函数的部分图象如图所示，则   

A．，      B．，      C．，      D．，

【变式1-5】设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f()的值为________．

题型二 同名函数的图象变换过程

【例2】已知函数，则函数的图象可以由的图象（    ）

A．向左平移得到        B．向右平移得到

C．向左平移得到        D．向右平移得到

【变式2-1】为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ）

A．向左平移个单位长度        B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度        D．向右平移个单位长度

【变式2-2】为了得到函数的图像，需对函数的图像所作的变换可以为（    ）

A．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位

B．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位

C．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位

D．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位

【变式2-3】为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ）

A．向左平移个单位长度        B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度        D．向右平移个单位长度

【变式2-4】为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度        B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度        D．向右平移个单位长度

题型三 异名函数的图象变换过程

【例3】若函数的图象由函数的图象经过以下变换得到的， 则该变换为（    ）

A．向左平移 个单位长度        B．向左平移 个单位长度

C．向右平移 个单位长度        D．向右平移 个单位长度

【变式3-1】已知函数是奇函数，为了得到函数的图象，可把函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度        B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度        D．向右平移个单位长度

【变式3-2】为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ）

A．向右平移个单位长度        B．向左平移个单位长度

C．向左平移个单位长度        D．向右平移个单位长度

【变式3-3】要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（    ）

A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度

B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度

D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

【变式1-4】要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（    ）

A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度

B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度

D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

题型四 求图象变换前（后）的解析式

【例4】把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ）

A．          B．

C．        D．

【变式4-1】将曲线：上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线，则的方程为（    ）

A．        B．        C．         D．

【变式4-2】函数的图象按以下次序变换：①每个点的横坐标变为原来的2倍；②图象向右平移个单位长度；③每个点的纵坐标变为原来的3倍.得到的图象，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式4-3】把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A．      B．      C．      D．

题型五 图象变换前后的重合问题

【例5】设，，若将函数的图像向左平移个单位能使其图像与原图像重合，则正实数的最小值为___________.

【变式5-1】（多选）将函数的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则的值可能为（    ）

A．2        B．4        C．6        D．8

【变式5-2】若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-3】将函数的图象向右平移个单位与函数的图像重合，则可以是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-4】设，，若函数与图象完全相同，则有序实数对的组数为（    ）

A．1        B．2        C．3        D．4

【变式5-5】若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（    ）

A．        B．        C．        D．

题型六 由图象变换研究函数的性质

【例6】将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则的单调递增区间是（    ）

A．         B．

C．        D．

【变式6-1】已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式6-2】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式6-3】已知函数，将的图象上所有点沿x轴平移个单位长度，得到函数的图象，且函数为偶函数，当θ最小时，函数h（x）＝2cos（πx－θ）的单调递减区间为________.

【变式6-4】已知函数的最小正周期是，将的图象向左平移 个单位长度后所得的函数图象过点，则关于函数的说法不正确的是（    ）

A． 是函数一条对称轴

B． 是函数一个对称中心

C．在区间上单调递增

D．在区间上单调递减

题型七 三角函数图象性质综合应用

【例7】已知函数

（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；

（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.

【变式7-1】已知函数，其中，．

（1）若，求函数的单调区间以及函数图象的对称中心；

（2）将函数图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移个单位得到的图象，且满足方程在上恰有20个根，求正实数的取值范围．

【变式7-2】某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：

（1）请将上面表格①的数据填写在答题卡相应位置，并求函数的解析式；

（2）若将函数的图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求当时，函数的单调增区间；

（3）若将函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，得到的图像.若图像的一个对称中心为.求的最小值.

【变式7-3】某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表．

（1）请将上表数据补充完整并求出函数的解析式；

（2）若，求函数图象的对称中心及对称轴；

（3）若，求函数的单调区间．