2023年湖南省湘西州吉首市中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省湘西州吉首市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  由个相同的小正方体组成的几何体，如图所示，该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  年月，神舟十三号搭载的万粒作物种子顺利出舱．其中万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，正方形的边长为，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是(    )
；
；
；
将图象向上平移个单位后与直线有个交点．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是          ．

12.  分解因式： ______ ．

13.  一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为          ．

14.  已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为，底边长为的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是______结果保留

15.  若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______ ．

16.  如图，已知，分别是的，边上的点，，且：：，那么______．

17.  如图，在矩形中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线分别与，，交于点，，若，，则______．

18.  如图，若直线为常数与函数的图象恒有两个不同的交点，则常数的取值范围是______．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
今年是中国共产主义青年团成立周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩满分分进行整理成绩得分用表示，其中记为“较差”，记为“一般”，记为“良好”，记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．

请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
______，______，并将直方图补充完整；
已知这组的具体成绩为，，，，，，，，则这个数据的中位数是______，众数是______；
若该校共有人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
本次知识竞赛超过分的学生中有名女生，名男生，现从以上人中随机抽取人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中名女生参加知识竞赛的概率．

22.  本小题分
某校“综合与实践”小组开展了测量古城城门楼如图高度的实践活动，利用测角仪站在处测得城门楼最高点的仰角为；前进了米到达处选择测点，与在同一水平线上，，两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计，在处测得点的仰角为计算城门楼的高度结果保留整数，，，，，．

 

23.  本小题分
已知：如图，为的直径，是的弦，垂直于过点的直线，垂足为点，且平分．
求证：是的切线；
．

24.  本小题分
“互联网”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低元，销售千克花生与销售千克茶叶的总售价相同．
求每千克花生、茶叶的售价；
已知花生的成本为元千克，茶叶的成本为元千克，甲计划两种产品共助销千克，总成本不高于元，且花生的数量不高于茶叶数量的倍则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？

25.  本小题分
已知中，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，同时动点从点出发沿方向以每秒的速度向终点运动，设运动的时间为秒．
如图，若，求的值；
如图，将沿翻折至，当为何值时，四边形为菱形？

 

26.  本小题分
如图，已知抛物线：的图象经过点，，过点作轴交抛物线于点，的平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点．
求抛物线的解析式；
若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当面积最大时，求出点坐标；
将抛物线向上平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内包括的边界，求的取值范围；
如图，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点，使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为负数的绝对值等于它的相反数；
所以，的绝对值等于．
故选：．
利用绝对值的意义求解．
本题考查绝对值的含义，即：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A错误，不符合题意；
B、，故B正确，符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D不正确，不符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，同底数幂的除法，积的乘方、完全平方公式逐项判断．
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；
D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
 

5.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

6.【答案】 

【解析】解：解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为．
故选：．
先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：一次函数图象过第一、二、四象限，
，，
，
二次函数开口向下，二次函数对称轴在轴右侧；
反比例函数的图象在第一、三象限，
，
与轴交点在轴上方．
满足上述条件的函数图象只有选项A．
故选：．
根据一次函数与反比例函数图象得出，，，求得即可得出抛物线开口向下，交轴正半轴，二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出、、的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设木头长为尺，绳子长为尺，
由题意可得．
故选：．
设木头长为尺，绳子长为尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，，
，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
在和中，

≌，
，，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，
，
故选：．
过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知二次函数与轴的交点为和，
二次函数的对称轴为，
，
，故正确；
由图象可知二次函数与轴的交点为，
二次函数与轴的交点为，
，故错误；
由图象可知二次函数的开口向上，对称轴在轴的右侧，
，，
又，
，故正确；
将点和代入，
，解得，
二次函数的表达式为：，
当时，，
图象上当时，函数顶点的坐标为，
将图象向上平移个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示：

此时，直线与函数图象有个交点，故正确，
综上：正确的有，
故选：．
根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故正确；由图象可判断二次函数与轴的交点为，即，故错误；根据图象判断，，结合，可知，故正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图象有个交点，故正确．
本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式、系数与图象的关系、待定系数法求二次函数的表达式等是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
解：式子在实数范围内有意义，
，
解得．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．
解：．
故答案为：．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，

，且是圆周角，
是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：，
所以圆形镜面的半径为，
故答案为：．
连接，根据得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出是圆形镜面的直径是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由三视图可知，该几何体是圆锥，底面直径是，母线长是，
侧面展开图的面积，
故答案为．
由三视图可知，该几何体是圆锥，根据圆锥的侧面积公式计算即可．
本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积公式．
 

15.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
根据根与系数的关系可得，，
．
故答案为：
根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，再代入计算即可．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．对于一元二次方程，方程的两个根、满足，，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，，
∽，
：：，
，
，
故答案为：．
根据平行线的性质，可得字模型相似三角形∽，然后利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

由作图可知垂直平分线段，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，

≌，
，
．
故答案为：．
如图，连接利用勾股定理求出，，，再证明，可得结论．
本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
 

18.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
直线为常数与函数的图象恒有两个不同的交点时，常数的取值范围是，
故答案为：．
根据题意和函数图象，可以直接写出当直线为常数与函数的图象恒有两个不同的交点时，常数的取值范围．
本题考查反比例函数的性质、二次函数的性质，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】根据特殊三角函数值，零次幂及二次根式的性质运算求解即可．
本题考查了特殊三角函数值、零次幂及二次根式的性质，掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式




，
，
原式． 

【解析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解，则约分得到原式，然后根据算术平方根的定义、绝对值和负整数指数幂的意义计算出的值，最后把的值代入计算即可．
本题考查分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了实数的运算．
 

21.【答案】 ， 
补全图形如下：

，
人
答：该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为人．
画树状图为：

共有种等可能情况，其中被抽取的人恰好是女生的有种结果，
所以恰好抽中名女生参加知识竞赛的概率为． 

【解析】

【详解】
解：被调查的总人数为人，
优秀对应的百分比，
则一般对应的人数为人，
其对应的百分比，
补全图形如下：

故答案为：，．
将这组数据重新排列为，，，，，，，，
所以其中位数为，众数为，
故答案为：、；
估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为人；
画树状图为：

共有种等可能情况，其中被抽取的人恰好是女生的有种结果，
所以恰好抽中名女生参加知识竞赛的概率为．
【分析】
先求出被调查的总人数，继而可求得、的值；
将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；
用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．  

22.【答案】解：由题意得：，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
解得：，
米，
城门楼的高度约为米． 

【解析】根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
过，
是的切线；


连接，
，为的直径，
，
，
∽，
，
 

【解析】求出，求出，根据切线的判定得出即可；
连接，求出，求出∽，根据相似三角形的判定得出即可．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 

24.【答案】解：设每千克花生元，每千克茶叶元，
根据题意得：，
解得：，
元，
答：每千克花生元，每千克茶叶元；
设花生销售千克，茶叶销售千克获利最大，利润元，
由题意得：，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
当时，利润最大，
此时花生销售千克，茶叶销售千克，
元，
当花生销售千克，茶叶销售千克时利润最大，最大利润为元． 

【解析】设每千克花生元，每千克茶叶元列出一元一次方程求解即可；
现根据花生销售千克，茶叶销售千克，现根据总成本不高于元，且花生的数量不高于茶叶数量的倍求出的取值范围，再根据利润之和求出函数解析式，根据函数的性质求最大值．
本题考查一次函数的性质和一元一次方程的应用，关键是总成本不高于元，且花生的数量不高于茶叶数量的倍求出花生的取值范围．
 

25.【答案】解：如图，，，
，
由题意得，，，
则，
，
，
，
，
，
，
解得：，
当时，．
作于，于，如图，
，，
，，
为等腰直角三角形，
，
和为等腰直角三角形，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
在中，，
在中，，
四边形为菱形，
，
，
，舍去．
当的值为时，四边形为菱形． 

【解析】根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
作于，于，，，由为等腰直角三角形，可得，则可判断和为等腰直角三角形，得出，，则，由矩形和菱形性质及勾股定理，即可求得答案．
此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线：的图象经过点，，
，解得，
抛物线的解析式为：；

如图，过作轴，交于点，

设，
平分，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
直线的解析式为：，
，
，




，
，
当时，面积最大，
此时，点坐标为；

由，得抛物线的对称轴为直线，顶点为，
抛物线向上平移个单位长度后顶点为．
设直线交于点，交于点，则，

直线的解析式为：，
，
点在内包括的边界，
，
解得；

设，分四种情况：
当在对称轴的左边，且在轴下方时，如图，过作轴，交轴于，交于，

，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，

≌，
，
，
则，
解得：舍或，
的坐标为；
当在对称轴的左边，且在轴上方时，
同理得：，
解得：舍或，
的坐标为；
当在对称轴的右边，且在轴下方时，

如图，过作轴于，过作于，
同理得≌，
，
则，
解得：或舍；
的坐标为；
当在对称轴的右边，且在轴上方时，如图，

同理得，
解得：或舍，
的坐标为：；
综上所述，点的坐标是：或或或 

【解析】利用待定系数法可得抛物线的解析式；
过作轴，交于点，设，根据的解析式表示点的坐标，表示的长，根据面积和可得的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；
求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与的交点坐标、与的交点坐标，用含的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出的取值范围；
存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明≌，根据，列方程可得点的坐标；同理可得其他图形中点的坐标．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想解决问题的关键．