高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册3 导数的计算课后测评

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册3 导数的计算课后测评，共5页。

1．函数y＝x＋ eq \f(1,x)的导数是( )
A．1－ eq \f(1,x) B．1－ eq \f(1,x2)
C.1＋ eq \f(1,x2) D．1＋ eq \f(1,x)
2．函数f(x)＝a3＋5a2x2的导数f′(x)＝( )
A.3a2＋10ax2
B.3a2＋10ax2＋10a2x
C.10a2x
D.以上都不对
3．若f(x)＝ eq \r(3,x)，则f′(－1)的值为( )
A.0 B．－ eq \f(1,3)
C.3 D． eq \f(1,3)
4．曲线y＝x2＋2在点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3))处的切线方程是( )
A.2x＋y＋5＝0 B．2x＋y－5＝0
C.2x－y－1＝0 D．2x－y＋1＝0
5．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为( )
A.4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C.4x－y＋3＝0 D．x＋4y－3＝0
6．(多选题)下列结论中正确的是( )
A.若y＝ln 2，则y′＝ eq \f(1,2)
B.若y＝ eq \f(1,x2)，则y′|x＝3＝－ eq \f(2,27)
C.若y＝2x，则y′＝2x ln 2
D.若y＝lg2x，则y′＝ eq \f(1,x ln 2)
7．函数f(x)＝cs x，则f′( eq \f(π,4))＝________．
8．曲线f(x)＝x3在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))))处的切线方程为________．
9．求下列函数的导数
(1)y＝x eq \r(x)；(2)y＝sin eq \f(x,2)cs eq \f(x,2).
10．已知曲线y＝ eq \r(x)，求：
(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)求过点P(0，1)且与曲线相切的切线方程．
[提能力]
11．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) B．[0，π)
C. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))
12．(多选题)直线y＝ eq \f(1,2)x＋b能作为下列函数图象的切线的是( )
A.f(x)＝ eq \f(1,x) B．f(x)＝x4
C.f(x)＝sin x D．f(x)＝ex
13．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________．
14．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 021(x)等于________．
15．求证：曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数．
[培优生]
16．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cs x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．
课时作业(十六) 导数的计算
1．解析：∵y＝x＋ eq \f(1,x)，
∴y′＝1－ eq \f(1,x2).
故选B.
答案：B
2．解析：f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝10a2x.
故选C.
答案：C
3．解析：∵f(x)＝ eq \r(3,x)，
∴f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \f(1,3)x－ eq \f(2,3)，
∴f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))＝ eq \f(1,3).
故选D.
答案：D
4．解析：因为曲线y＝f(x)＝x2＋2，
所以f′(x)＝2x，
所以f′(1)＝2，
又 f(1)＝3，
所以曲线在点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3))处的切线方程是y－3＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))，
即2x－y＋1＝0，
故选D.
答案：D
5．解析：y′＝4x3，直线x＋4y－8＝0的斜率为－ eq \f(1,4)，所以切线l的斜率为4.所以4x3＝4，解得x＝1.所以切点为(1，1)，切线l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
故选A.
答案：A
6．解析：y′＝0，所以A不正确；
y′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－2))′＝－2· eq \f(1,x3)，所以y′|x＝3＝－ eq \f(2,27)，所以B正确；
y′＝2x ln 2，所以C正确；
y′＝ eq \f(1,x ln 2)，所以D正确．
故选BCD.
答案：BCD
7．解析：因为f′(x)＝－sin x，则f′( eq \f(π,4))＝－sin eq \f(π,4)＝－ eq \f(\r(2),2).
答案：－ eq \f(\r(2),2)
8．解析：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝1，即切点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1))，
f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝3x2，f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝3，即斜率为3，
所以切线方程为y－1＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))，即y＝3x－2.
答案：y＝3x－2
9．解析：(1)∵y＝x eq \r(x)＝x eq \s\up6(\f(3,2))(x≥0)，
∴y′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x\s\up6(\f(3,2))))′＝ eq \f(3,2)x eq \s\up6(\f(1,2))＝ eq \f(3,2) eq \r(x)(x≥0).
(2)∵y＝sin eq \f(x,2)cs eq \f(x,2)＝ eq \f(1,2)sin x
∴y′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x))′＝ eq \f(1,2)cs x．
10．解析：(1)设切点为(x0，y0)，由y＝ eq \r(x)得y′|x＝x0＝ eq \f(1,2\r(x0)) .
因为切线与y＝2x－4平行，所以 eq \f(1,2\r(x0))＝2，
所以x0＝ eq \f(1,16)，所以y0＝ eq \f(1,4)，所以切点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，\f(1,4))).
则所求切线方程为y－ eq \f(1,4)＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,16)))，即16x－8y＋1＝0.
(2)因为点P(0，1)不在曲线y＝ eq \r(x)上，故设切点P1(x1， eq \r(x1))，
则切线斜率为y′|x＝x1＝ eq \f(1,2\r(x1))，
所以切线方程为y－ eq \r(x1)＝ eq \f(1,2\r(x1))(x－x1)，
又切线过点P(0，1)，
所以1－ eq \r(x1)＝ eq \f(1,2\r(x1))(－x1)，即 eq \r(x1)＝2，x1＝4.
所以切线方程为y－2＝ eq \f(1,4)(x－4)，即x－4y＋4＝0.
11．解析：因为y′＝cs x，而cs x∈[－1，1].
所以直线l的斜率的范围是[－1，1]，
所以直线l倾斜角的范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
故选A.
答案：A
12．解析：f (x)＝ eq \f(1,x)，故f ′(x)＝－ eq \f(1,x2)＝ eq \f(1,2)，无解，故A排除；f (x)＝x4，故f ′(x)＝4x3＝ eq \f(1,2)，故x＝ eq \f(1,2)，即曲线在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,16)))的切线为y＝ eq \f(1,2)x－ eq \f(3,16)，B正确；f(x)＝sin x，故f ′(x)＝cs x＝ eq \f(1,2)，取x＝ eq \f(π,3)，故曲线在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(\r(3),2)))的切线为y＝ eq \f(1,2)x－ eq \f(π,6)＋ eq \f(\r(3),2)，C正确；f(x)＝ex，故f ′(x)＝ex＝ eq \f(1,2)，故x＝－ln 2，曲线在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－ln 2，\f(1,2)))的切线为y＝ eq \f(1,2)x＋ eq \f(1,2)ln 2＋ eq \f(1,2)，D正确．故选BCD.
答案：BCD
13．解析：∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x2，g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ln x，求导f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x，g′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \f(1,x)且x>0，
∴f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))－g′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x－ eq \f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，
解得：x＝1或x＝－ eq \f(1,2) (舍去).故x＝1.
答案：1
14．解析：∵f0(x)＝sin x
∴f1(x)＝f′0(x)＝(sin x)′＝cs x
f2(x)＝f′1(x)＝(cs x)′＝－sin x
f3(x)＝f′2(x)＝(－sin x)′＝－cs x
f4(x)＝f′3(x)＝(－cs x)′＝sin x
∴4为最小正周期
∴f2 021(x)＝f1(x)＝cs x.
答案：cs x
15．证明：由xy＝1，得y＝ eq \f(1,x)，
所以y′＝－ eq \f(1,x2).
在曲线xy＝1上任取一点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(1,x0)))，则过点P的切线的斜率k＝－ eq \f(1,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )，
所以切线方程为y－ eq \f(1,x0)＝－ eq \f(1,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )(x－x0)，即y＝－ eq \f(1,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )x＋ eq \f(2,x0).
设该切线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，则A(2x0，0)，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,x0)))，
故S△OAB＝ eq \f(1,2)|OA|·|OB|＝ eq \f(1,2)|2x0|·| eq \f(2,x0)|＝2，
所以曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数．
16．解析：不存在，理由如下：
由于y1＝sin x，y2＝cs x，所以y′1＝cs x，y′2＝－sin x.
设两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)，
∴两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为
k1＝cs x0，k2＝－sin x0.
若两条切线互相垂直，则cs x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cs x0＝1，∴sin 2x0＝2，显然不成立，
∴这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直．