高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用1 平均变化率与瞬时变化率1.2 瞬时变化率随堂练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用1 平均变化率与瞬时变化率1.2 瞬时变化率随堂练习题，共6页。

1．某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1，2]上的平均速度为( )
A．－6 B．2
C.－2 D．6
2．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么 eq \f(Δs,Δt)为( )
A.在t时刻该物体的瞬时速度
B.当时间为Δt时物体的瞬时速度
C.从时间t到t＋Δt时物体的平均速度
D.以上说法均错误
3．在曲线y＝x2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则 eq \f(Δy,Δx)为( )
A.Δx＋ eq \f(1,Δx＋2) B．Δx－ eq \f(1,Δx)－2
C.Δx＋2 D．2＋Δx－ eq \f(1,Δx)
4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移s与时间t的关系是s＝ eq \f(1,3)t3－ eq \f(5,2)t2＋6t，那么速度为零的时刻是( )
A.1秒末 B．2秒末
C.3秒末 D．2秒末或3秒末
5．2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面1 500 m处开始实施动力下降，7 500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约1 500 m/s降为零.14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则( )
A.v＝ eq \f(25,14) m/s，a＝ eq \f(25,14) m/s2
B.v＝－ eq \f(25,14) m/s，a＝ eq \f(25,14) m/s2
C.v＝ eq \f(25,14) m/s，a＝－ eq \f(25,14) m/s2
D.v＝－ eq \f(25,14) m/s，a＝－ eq \f(25,14) m/s2
6．(多选题)为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c＝f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．
给出的下列四个结论中正确的是( )
A.在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B.在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C.在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D.在[t1，t2]，[t2，t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同
7．已知函数y＝3x，则函数在区间[1，3]上的平均变化率为________．
8．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的距离s与时间t之间的函数关系为s＝ eq \f(1,8)t2，则t＝2时，木块的瞬时速度为________．
9．已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
10．已知质点M按规律s＝3t2＋2做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s).
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求 eq \f(Δs,Δt)；
(2)求质点M在t＝2时的瞬时速度．
[提能力]
11．(多选题)甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示．
现有下列四种说法，正确的有( )
A.前四年该产品产量增长速度越来越快
B.前四年该产品产量增长速度越来越慢
C.第四年后该产品停止生产
D.第四年后该产品年产量保持不变
12．函数y＝f(x)＝x2在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x0，x0＋Δx))上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A.k1>k2 B．k1C.k1＝k2 D．不能确定
13．函数f(x)的图象如下图所示，则函数f(x)在区间________上平均变化率最大．
14．求函数f(x)＝x2分别在[1，2]，[1，1.1]，[1，1.01]上的平均变化率，根据所得结果，你的猜想是________．
15．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝ eq \f(120,t＋5)＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min).
(1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
[培优生]
16．质点M按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移s的单位：m，时间t的单位：s).问是否存在常数a，使质点M在t＝2时的瞬时速度为8 m/s?
课时作业(十四) 平均变化率与瞬时变化率
1．解析：平均速度为 eq \(v,\s\up6(－))＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－2×22))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－2×12)),2－1)＝－6.
故选A.
答案：A
2．解析：根据平均变化率的概念可知， eq \f(Δs,Δt)表示从时间t到t＋Δt时物体的平均速度．
故选C.
答案：C
3．解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，∴ eq \f(Δy,Δx)＝Δx＋2.
故选C.
答案：C
4．解析：∵s＝ eq \f(1,3)t3－ eq \f(5,2)t2＋6t，∴v＝s′(t)＝t2－5t＋6.
令v＝0，得t2－5t＋6＝0，解得t＝2或t＝3.
故选D.
答案：D
5．解析：探测器与月球表面距离逐渐减小，所以v＝ eq \f(0－1 500,14×60)＝－ eq \f(25,14) m/s；
探测器的速度逐渐减小，所以a＝ eq \f(0－1 500,14×60)＝－ eq \f(25,14) m/s2.
故选D.
答案：D
6．解析：在t1时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；
甲、乙两人在t2时刻的切线的斜率不相等，即两人的f′(t2)不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B错误；
根据平均变化率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是 eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t3))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t2)),t3－t2)，故C正确；
在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(t1，t2))时间段，甲的平均变化率是 eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t2))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t1)),t2－t1)，在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(t2，t3))时间段，甲的平均变化率是 eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t3))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t2)),t3－t2)，显然不相等，故D正确．
故选ACD.
答案：ACD
7．解析：由定义可知，平均变化率为 eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1)),3－1)＝ eq \f(27－3,2)＝12.
答案：12
8．解析： eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(\f(1,8)（t＋Δt）2－\f(1,8)t2,Δt)＝ eq \f(1,4)t＋ eq \f(1,8)Δt.
当t＝2且Δt趋于0时， eq \f(Δs,Δt)趋于 eq \f(1,2).
答案： eq \f(1,2)
9．解析：(1)因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为 eq \f(3×0.22＋5－3×0.12－5,0.2－0.1)＝0.9.
(2)f (x0＋Δx)－f (x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋5))
＝3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －5＝6x0Δx＋3(Δx)2，
所以函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为：
eq \f(6x0Δx＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Δx))2,Δx)＝6x0＋3Δx.
10．解析： eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(s（t＋Δt）－s（t）,Δt)
＝ eq \f(3（t＋Δt）2＋2－（3t2＋2）,Δt)
＝6t＋3Δt.
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，
eq \f(Δs,Δt)＝6×2＋3×0.01＝12.03 cm/s.
(2)当Δt趋于0时，6t＋3Δt趋于6t，
∴质点M在t＝2时的瞬时速度为12 cm/s.
11．解析：设产量与时间的关系为y＝f(x)，由题图可知f(x)在点(1，f(1))，(2，f(2))，(3，f(3))，(4，f(4))处的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义可知，前四年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确；
由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，故C错误，D正确，故说法正确的有BD.
故选BD.
答案：BD
12．解析：因为函数y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x2在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x0，x0＋Δx))上的平均变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)2－(x0)2＝Δx(2x0＋Δx)，
所以k1＝ eq \f(Δy,Δx)＝2x0＋Δx，
函数y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x2在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x0－Δx，x0))上的平均变化量Δy＝f(x0)－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－Δx))＝(x0)2－(x0－Δx)2＝Δx(2x0－Δx)，
所以k2＝ eq \f(Δy,Δx)＝2x0－Δx，所以k1－k2＝2Δx，又因为Δx>0，所以k1>k2，
故选A.
答案：A
13．解析：函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间上的平均变化率为 eq \f(Δy,Δx)，由函数图象可得，在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4，7))上， eq \f(Δy,Δx)<0即函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4，7))上的平均变化率小于0；在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2))， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，3))， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3，4))上时， eq \f(Δy,Δx)>0且Δx相同，由图象可知函数在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3，4))上的 eq \f(Δy,Δx)最大．所以函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3，4))上的平均变化率最大．
答案： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3，4))
14．解析：k1＝ eq \f(Δy1,Δx1)＝ eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1)),2－1)＝ eq \f(22－12,1)＝3，
k2＝ eq \f(Δy2,Δx2)＝ eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1.1))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1)),1.1－1)＝ eq \f(1.12－12,0.1)＝2.1，
k3＝ eq \f(Δy3,Δx3)＝ eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1.01))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1)),1.01－1)＝ eq \f(1.012－12,0.01)＝2.01，
猜想x0＝1不变，Δx越小，函数的平均变化率越接近于2.
答案：x0＝1不变，Δx越小，函数的平均变化率越接近于2
15．解析：(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝ eq \f(120,0＋5)＋15＝39，T(10)＝ eq \f(120,10＋5)＋15＝23，
故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃.
(2)平均变化率为 eq \f(T（10）－T（0）,10)＝－ eq \f(16,10)＝－1.6.
它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
16．解析：假设存在常数a，则Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a×22－1＝4a＋4aΔt＋a(Δt)2＋1－4a－1＝4aΔt＋a(Δt)2，
所以 eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(4aΔt＋a（Δt2）,Δt)＝4a＋aΔt.
当Δt趋于0时，4a＋aΔt趋于4a，4a＝8，解得a＝2.
所以存在常数a＝2，使质点M在t＝2时的瞬时速度为8 m/s.