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    2023年广东省广州市黄埔区北京师范大学广州实验学校中考二模数学试题(含解析)

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    2023年广东省广州市黄埔区北京师范大学广州实验学校中考二模数学试题(含解析)

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    这是一份2023年广东省广州市黄埔区北京师范大学广州实验学校中考二模数学试题(含解析),共26页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2023年广东省广州市黄埔区北京师范大学广州实验学校中考二模数学试题
    学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

    一、单选题
    1.的相反数是(    )
    A. B. C. D.
    2.如图1是一个正方体的展开图,该正方体按如图2所示的位置摆放,此时这个正方体朝下的一面的字是(    )

    A.中 B.国 C.梦 D.强
    3.下列运算中,正确的是(    )
    A. B.
    C. D.
    4.按照如图所示的计算程序,若x=2,则输出的结果是(  )

    A.16 B.26 C.﹣16 D.﹣26
    5.已知一次函数,函数值y随自变量x的增大而减小,且,则函表的图象大致是(      )
    A.   B.   C.   D.  
    6.在△ABC中,若|sinA﹣|+(﹣cosB)2=0,则∠C的度数是(  )
    A.45° B.75° C.105° D.120°
    7.在正数范围内定义一种运算“※”,其规则为,如,根据这个规则,则方程的解为(    )
    A. B.1 C. D.
    8.某校举办了“玉龙书韵”主题演讲比赛活动,参赛的10名洗手成绩加表,则10位选手成绩的中位数、众数分别是(      )
    成绩
    81
    85
    88
    91
    人数
    1
    2
    4
    2
    A.,88 B.88,87 C.88,88 D.85,86
    9.如图,中,,,点的坐标为,将绕点A逆时针旋转得到,当点的对应点落在上时,点的坐标为(  )

    A. B. C. D.
    10.如图5,在矩形中,点P从点B出发,点P沿匀速运动到点B,设点P运动的路程为x,的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象是(      )
      
    A.   B.  
    C.   D.  

    二、填空题
    11.在函数中,自变量x的取值范围是___.
    12.若a是方程的解,则式子的值为____________.
    13.如图,是的内接正六边形一边,点P是优弧上的一点图6点P不与点A,B重合)且,与交于点C,则的度数为_______________.

    14.我国北方有一个习俗:过年包饺子时会随机在饺子中包上糖果或硬币,我们称其为“幸运饺子”.吃到“幸运饺子”的人新的一年的日子会甜甜美美、万事如意.小亮家共煮了60个饺子,其中有4个“幸运饺子”,小亮从中随机挑选了一个饺子正好是“幸运饺子”的概率是______.
    15.如图,矩形的对角线交于点O,点E是矩形外一点,,,连接交于点F、连接.若,则线段的长为____________.
      
    16.如图,正方形的边长为,E为上一点,且,为边上的一个动点,连接,以为边向右侧作等边,连接,则的最小值为____.
      

    三、解答题
    17.计算
    18.如图,,点,,在同一直线上,,,,求的长.
      
    19.已知
    (1)化简A;
    (2)若,当时,求A的值.
    20.为丰富课后服务内容,某校开设了武术操、生活与数学、语言艺术、劳动制作四门校本课程,为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况,对学生进行了随机问卷调查,分别用A、B、C、D代表这四门课程,并对调查结果分析后绘制了如下两幅图不完整的统计图.
      
    请你根据图中提供的信息完成下列问题,
    (1)求被调查学生的人数并将条形统计图补充完整;
    (2)已知该校有1800名学生,估计该校学生喜爱课程C的学生有多少人?
    (3)小黄和小参加校本课程学习,若每人从A、B、C三门校本课程中随机选取一门,请用画树状图或列表格的方法,求两人恰好选中同一门校本课程的概率.
    21.黄埔区已经开通了以“交通惠民、智驾启航”为主题的自动驾驶便民巴士线路,科学城和知识城自动驾驶便民巴士线开通试运营,某汽车公司计划购进一批自动驾驶便民巴士尝试进行销售据了解1辆A型巴士、2辆B型巴士的进价共计105万元∶3辆A型巴士、4辆B型巴士的进价共计255万元.
    (1)求A、B两种型号的巴士每辆进价分别为多少万元?
    (2)若该公司计划正好用270万元购进以上两种型号的自动驾驶便民巴士(两种型号的巴士均购买),请你帮助该公司设计购买方案.
    22.如图,在平面直角坐标系中,点在反比例函数的图象上,轴于点A,将向右平移得到',双曲线交边于点,交边于点D.
      
    (1)求k,a的值;
    (2)求点D的坐标.
    23.如图,在矩形中,,,E是线段上一点.
      
    (1)尺规作图∶作点B关于的对称点;
    (2)连接当刚好落在线段上时,求;
    (3)连接当刚好落在线段上时,求.
    24.如图,在矩形中,,,点E是边上的动点,将矩形沿折叠,点A落在点处,连接.
      
    (1)如图1,求证∶;
    (2)如图2,若,求;
    (3)点E在边上运动的过程中,的度数是否存在最大值,若存在,求出此时线段的长;若不存在,请说明理由.
    25.已知关于x的方程ax2+(3a+1)x+3=0.
    (1)求证:无论a取任何实数时,该方程总有实数根;
    (2)若抛物线y=ax2+(3a+1)x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且a为正整数,求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标;
    (3)在(2)的条件下,直线y=﹣x+5与y轴交于点C,与直线OH交于点D.现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,请直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围.

    参考答案:
    1.B
    【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得.
    【详解】解:的相反数是,
    故选:B.
    【点睛】本题考查了相反数的定义,熟练掌握相反数的定义是解题的关键.
    2.B
    【分析】动手进行实验操作,或者在头脑中模拟(想象)折纸、翻转活动即可求解.
    【详解】解:由图1可得,“中”和第三行的“国”相对;第二行“国”和“强”相对;“梦”和“梦”相对;
    由图2可得,此时小正方体朝下面的字即为“中”的相对面对应的字,即为“国”.
    故选:B.
    【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题.
    3.D
    【分析】根据同底数幂的乘法,合并同类项,幂的乘方和积的乘方,完全平方公式分别判断即可.
    【详解】解:A、,故选项错误;
    B、,故选项错误;
    C、,故选项错误;
    D、,故选项正确;
    故选D.
    【点睛】本题考查了同底数幂的乘法,合并同类项,幂的乘方和积的乘方,完全平方公式,解题的关键是掌握各自的运算法则.
    4.D
    【分析】将x的值代入程序图中的程序按要求计算即可.
    【详解】解:当x=2时,10﹣x2=10﹣4=6>0,不输出;
    当x=6时,10﹣x2=10﹣36=﹣26<0,符合题意,输出结果,
    故选:D.
    【点睛】本题主要考查了求代数式的值,有理数的混合运算,本题是操作型题目,按程序图的要求运算是解题的关键.
    5.C
    【分析】先根据一次函数的增减性得到,进而得到,则一次函数的图象经过第一、二、四象限,由此即可得到答案.
    【详解】解:∵一次函数,函数值y随自变量x的增大而减小,
    ∴,函数图像过一、二、四象限或二、三、四象限,
    ∵,
    ∴,函数图像与y轴正半轴有交点;
    故选:C.
    【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系,正确判断出k、b的符号是解题的关键.
    6.C
    【分析】根据非负数的性质列出关系式,根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数,根据三角形内角和定理计算即可.
    【详解】由题意得,sinA-=0,-cosB=0,
    即sinA=,=cosB,
    解得,∠A=30°,∠B=45°,
    ∴∠C=180°-∠A-∠B=105°,
    故选C.
    【点睛】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用,熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
    7.A
    【分析】通过题意,得,然后解这个分式方程即可.
    【详解】解:由题意可得,






    当时,
    ∴这个方程的解为
    故选:A.
    【点睛】本题主要考查解分式方程,熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键.
    8.C
    【分析】根据中位数和众数的定义,即可进行解答.中位数,一组数据按大小排序,最中间的那个数据就是中位数;众数,出现此处最多的数据是众数.
    【详解】解:根据题意可得:
    ∵第五名选手成绩为88,第六名学生成绩为88,
    ∴中位数为:88;
    众数为:88.
    故选:C.
    【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数,解题的关键是掌握中位数,一组数据按大小排序,最中间的那个数据就是中位数;众数,出现此处最多的数据是众数.
    9.A
    【分析】如图,过点作轴于点,证明是等边三角形,解直角三角形求出,,可得结论.
    【详解】解:如图,过点作轴于点.



    由旋转的性质可知,,,

    是等边三角形,
    ,,

    ,,


    故选:.
    【点睛】本题考查作图旋转变换,解直角三角形,等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是掌握旋转变换的性质,属于中考常考题型.
    10.D
    【分析】根据题意可知,分,和时,分别计算三角形的面积,据此对图象进行判断,即可得到答案.
    【详解】解:由勾股定理可得:
    当点P在线段上运动时,的面积不变,
    当时,,
    当点P在线段上运动时,
      
    此时,,
    当时,点P在上,,
      
    这时;
    综上可知,符合要求的图像为D;
    故选D.
    【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,理解题意,利用分类讨论的思想解决问题是解题关键,属于中考常考题型.
    11.
    【详解】试题分析:求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,要使在实数范围内有意义,必须.
    12.2023
    【分析】把代入已知方程,求得的值,然后将其代入所求的代数式求值即可.
    【详解】解:把代入方程,
    得,即,
    则.
    故答案是:2023.
    【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义,方程的根即方程的解,就是能使方程左右两边相等的未知数的值.
    13./90度
    【分析】根据是的内接正六边形一边,得出,再根据圆周角定理得出,由,得出,再由三角形外角性质推出.
    【详解】解:∵是的内接正六边形一边,
    ∴,
    ∴.
    ∵,
    ∴,

    故答案为:.
    【点睛】本题考查了圆和正多边形的性质,熟练运用圆周角定理是解题的关键.
    14.
    【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.
    【详解】解:任意挑选一个饺子共有60种等可能结果,其中正好是包有“幸运饺子”的有4种结果,
    所以小亮从中随机挑选了一个饺子正好是“幸运饺子”的概率是,
    故答案为:.
    【点睛】此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率.
    15.
    【分析】根据矩形的性质可得,再根据可得是菱形,然号再推导,继而得到是等边三角形,利用勾股定理求出线段长即可.
    【详解】解:∵是矩形,

    又∵,
    ∴是菱形,

    ∵,
    ∴,
    ∴    ,
    ∵,
    ∴,
    ∴是等边三角形,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查矩形的性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,以及勾股定理,掌握矩形的性质是解题的关键.
    16./
    【分析】由题意分析可知,点为主动点,为从动点,所以以点为旋转中心构造全等关系,得到点的运动轨迹,之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值.
    【详解】将绕点旋转,使与重合,得到,
      
    ∴,
    ∴为等边三角形,
    ,,

    则有点在垂直于的直线上,
    过作,当与点重合时即即为的最小值,如图,
    过作,易得四边形为矩形,
    ∴,,
    ∵四边形为正方形,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,  
    ∴,
    故答案为:.
    【点睛】此题考查了旋转的性质,线段最值问题,解题的关键是分清主动点和从动点,通过旋转构造全等,从而判断出点的运动轨迹,之后运用垂线段最短,构造图形计算,是最值问题中比较典型的类型.
    17.1
    【分析】原式利用零指数幂法则,绝对值的代数意义,以及特殊角的三角函数值计算即可求出值.
    【详解】解:

    .
    【点睛】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数值是解本题的关键.
    18.的长为
    【分析】首先根据角之间的数量关系,得出,直角三角形两锐角互余,得出,再根据等量代换,得出,再根据“角角边”,得出,再根据全等三角形的性质,得出,,再根据线段之间的数量关系,即可得出答案.
    【详解】解:∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    在和中,

    ∴,
    ∴,,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴的长为.
    【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定与性质,解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定与性质.
    19.(1)
    (2)或

    【分析】(1)根据分式加减运算法则对A进行化简;
    (2)根据得出关于x的一元二次方程,解方程得出x的值,最后代入数据求值即可.进行化简.
    【详解】(1)解:原式



    (2)解:由题意得:,
    解得:或,
    把代入,
    代入,
    ∴或;
    【点睛】本题主要考查了分式的化简求值,解一元二次方程,解题的关键是熟练掌握异分母分式加减运算法则,准确计算.
    20.(1)120,补图见解析
    (2)270人
    (3)

    【分析】(1)通过部分量部分量所占百分比总量,得出参与调查的学生总人数;由求得的总人数,结合条形图,求得选择A学科的学生人数,从而补全条形图.
    (2)通过参与调查的总人数120人及选择C学科的人数18人,求得调查中选择C学科的占比,再用总人数选择C学科的占比,估计该校学生喜爱学科C的学生人数.
    (3)运用列表法求得,共有9种等可能的结果,其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种,得到相应的概率.
    【详解】(1)解:(人),
    答:被调查学生的人数为120人.
    A学科人数为(人),
    补全图形如下:
      
    (2)解:(人)
    答:估计该校学生喜爱学科C的约有270人.
    (3)解:列表如下:

    A
    B
    C
    A



    B



    C



    由列表可知:共有9种等可能的结果,其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种,
    所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为.
    答:两人恰好选中同一门校本课程的概率为.
    【点睛】本题考查了统计与概率的综合运用,根据题目要求,画出表格是解题的关键.
    21.(1)A、B两种型号的巴士每辆进价分别为45万元和30万元
    (2)A型号巴士购进2辆,则B型号的巴士购进辆,或A型号巴士购进4辆,则B型号的巴士购进辆

    【分析】(1)设A种型号的汽车每辆进价为x万元,B种型号的汽车每辆进价为y万元,由题意:1辆A型巴士、2辆B型巴士的进价共计105万元∶3辆A型巴士、4辆B型巴士的进价共计255万元.列出二元一次方程组,解方程组即可;
    (2)设购进A种型号的汽车a辆,B种型号的汽车辆,求出正整数解,即可得出结论.
    【详解】(1)解:设A、B两种型号的巴士每辆进价分别为x万元和y万元,

    解得:
    答:A、B两种型号的巴士每辆进价分别为45万元和30万元.
    (2)解:设A型号巴士购进a辆,则B型号的巴士购进辆,
    由于A、B两种型号的巴士都购买且购进量数必须为整数,
    ∴A型号巴士购进2辆,则B型号的巴士购进辆,
    或A型号巴士购进4辆,则B型号的巴士购进辆.
    【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用,解题的关键是找准等量关系,正确列出二元一次方程组.
    22.(1)
    (2)

    【分析】(1)用待定系数法求出k的值,然后把点的坐标代入解析式求出a的值;
    (2)根据平移可得,设的坐标为,过C点作轴于点E,即,进而即可求解.
    【详解】(1)解:把点代入得:,
    当时,,
    (2)设的坐标为,过C点作轴于点E,
    由平移可得,,即,则
    ∴,解得:,
    ∴坐标为,
    当时,,
    ∴点D的坐标为.
      
    【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式,平移的性质,锐角三角函数,掌握平移的性质是解题的关键.
    23.(1)见解析
    (2),见解析
    (3),见解析

    【分析】(1)连接,过点B用直尺作的垂线,在垂线上用圆规截取,即可得到点B关于的对称点;
    (2)根据矩形的性质和对称的性质可设,则,,在中用勾股定理求解即可;
    (3)根据条件证明,即可求出,从而求出答案.
    【详解】(1)解:连接,过点B用直尺作的垂线,在垂线上用圆规截取,即可得到点B关于的对称点,如图所示,
      
    (2)解:如图所示,
      
    ∵四边形是矩形,
    ∴,
    由题意可得:,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,,
    ∴,
    设,则,,
    在中,由勾股定理得:,
    解得:,即;
    (3)解:如图所示,
      
    ∵四边形是矩形,
    ∴,,,
    ∴,,
    ∴,
    由题意可得:,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴;
    【点睛】本题考查了矩形与垂直平分线的性质,涉及到相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点,灵活运用所学知识是关键.
    24.(1)见解析
    (2)
    (3)存在,

    【分析】(1)根据中折叠的性质可得,根据四边形的内角和得出,最后根据即可求证;
    (2)过点作于点M,交于点N,得到,根据相似三角形的对应边成比例列方程可求出的长,再求;
    (3)作交的延长线于点G,可证明越大则越大,进而证明当C、、E三点在同一条直线上时最大,此时,可证明,再由勾股定理求出的长,再求的长即得到的长.
    【详解】(1)解:∵沿折叠得到,四边形为矩形,
    ∴,
    ∴在四边形中,,即,
    ∵,
    ∴;
    (2)解:如图2,过点作于点,交于点,则,
      
    ∵,

    由折叠得,,,,






    四边形是矩形,

    设,则,


    整理得,
    解得,,(不符合题意,舍去),


    (3)如图3,作交的延长线于点,则;
      
    以点为圆心、长为半径作圆,则点在上运动,

    的值随的增大而增大,
    而的值随的增大而增大,
    越大则越大,

    当点与点重合时,,此时最大,也最大;
    如图4,当点与点重合时,则,
      

    、、三点在同一条直线上;
    ,,




    【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的特征、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数及动点问题中的最值问题等知识与方法,解题的关键是正确地作出所需要的辅助线,此题难度较大,属于考试压轴题.
    25.(1)证明过程见详解.
    (2)a=1,(﹣2,﹣1)
    (3)h=或﹣≤h

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