2023年广东省广州市越秀区名德实验学校中考模拟数学试题（含解析）

这是一份2023年广东省广州市越秀区名德实验学校中考模拟数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省广州市越秀区名德实验学校中考模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列汽车车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
2．如图，要使▱成为矩形，需要添加的条件是（ ）

A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（  ）

A． B． C． D．
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩是0.9环．方差分别0.56、0.78、0.42、0.63，这四人中成绩最稳定的是（    ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，，则的长为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16
7．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（    ）
A．21 B．25 C．21或25 D．20或24
8．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
9．《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢？（大意是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸，地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇）．如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：尺）关于生长时间（单位：日）的函数图象，则由图可知两图象交点的横坐标是（    ）
  
A． B．5 C． D．30
10．已知函数y＝x2﹣2ax+7，当x≤3时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+2和1≤x2≤a+2，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤9，则实数a的取值范围是（    ）
A．﹣3≤a≤4 B．﹣3≤a≤5 C．3≤a≤4 D．3≤a≤5

二、填空题
11．因式分解：=_______________
12．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，恰有两次正面向上的概率是_______
13．如图，在中，，平分交于点，交的延长线于点，若，则______．
  
14．一次函数的图象过y轴上一点（0，2）,且y随x的增大而减小，则n=_______
15．已知，是一元二次方程的两实数根，则_________．
16．如图，四边形ABCD内接于圆O，，，，AC，BD交于点G，点O是AC中点．延长AD，BC交于点E，点F在CE上，．则下列结论成立的是______（直接填写序号）．①直线DF是⊙O的切线；②是等腰三角形；③图中共有3个等腰三角形；④连接OE，则．


三、解答题
17．解二元一次方程组：．
18．如图，点E、C在线段BF上，AC∥DF，∠A＝∠D，AB＝DE，证明：BE＝CF．

19．已知．
(1)化简T；
(2)若点（x，0）在二次函数y＝（x+1）（x+2）的图象上，求T的值．
20．如图，已知直线y=-x上一点B，由点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，若A点的坐标为(0，5)．

(1)若点B也在一反比例函数的图象上，求出此反比例函数的表达式．
(2)若将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，求点E的坐标．
21．某中学在参加“争创文明城市，点赞大美滕州”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，回答下列问题：
(1)杨老师采用的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）；
(2)请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数______．
(3)如果全班征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别不同的概率．
22．如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物顶部A点处测得乙建筑物顶部D点的俯角为，底部C点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，求甲建筑物的高度．（，，，结果保留整数）．
  
23．在边长为12的正方形ABCD中，P为AD的中点，连结PC，
（1）作出以BC为直径的⊙O，交PC于点Q（要求尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AQ，证明：AQ为⊙O的切线；
（3）求QC的长与cos∠DAQ的值；

24．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为，C点的坐标为．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
(3)图2中，点C和点关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且，求M点的横坐标．
25．平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．

(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度；
(2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：；
(3)如图3，已知，若，直接写出的最小值．

参考答案：
1．B
【分析】中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．
2．A
【分析】根据矩形的判定定理①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形，逐一判断即可．
【详解】解：A．根据和平行四边形，可知平行四边形是矩形，故本选项正确；
B．∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，但不能得出矩形；故本选项错误；
C．∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，但不能推出四边形是矩形，故本选项错误；
D．∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，但不能推出四边形是矩形，故本选项错误；
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形ABCD成为矩形的条件，熟练掌握矩形判定定理是解题的关键．
3．C
【分析】根据合并同类项，幂的乘方，平方差公式，同底数幂的除法运算法则逐项计算即可．
【详解】,
∴原计算错误，
该选项不符合题意；

∴原计算错误，
该选项不符合题意；
，
∴原计算正确，
该选项符合题意；
，
∴原计算错误，
该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的运算，解题关键是熟练运用整式运算法则进行准确计算．
4．C
【分析】由旋转的性质可知AB=AD，可算出∠ADB=40°，就可以算出旋转角．
【详解】由旋转的性质可知：AB=AD，∠BAD是旋转角
∵AB=AD
∴∠ADB=∠B=40°
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=100°
故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质．找到旋转的对应边、对应角是解决问题的关键．
5．C
【分析】根据方差的意义可作出判断．
【详解】解：∵，，，，
∴丙的方差最小，
∴成绩最稳定的是丙，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．B
【分析】根据矩形的性质和含的直角三角形的性质得出，进而求出，再依据中位线的性质推知．
【详解】解：四边形是矩形，，交于点，，，
，
，即．
．
又、分别为、的中点，
是的中位线，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．
7．B
【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论．
【详解】解：设关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个实数根分别为a、b．
方程x2﹣10x+k＝0有两个实数根，则Δ＝100﹣4k≥0，得k≤25．
①当底边长为3时，另两边相等时，则a+b＝10，
∴另两边的长都是为5，
∴k＝ab＝25；
②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程x2﹣10x+k＝0的根，
则32﹣10×3+k＝0
解得k＝21
解方程x2﹣10x＋21＝0
解得另一根为：x＝7．
∵3+3＜7，不能构成三角形．
∴k的值为25．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
8．A
【分析】根据反比例函数图象与性质进行比较即可．
【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，
∵反比例函数的图象在第二、四象限上，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比函数图象与性质是解题的关键．
9．C
【分析】根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为，然后列出相应的方程，求解即可．
【详解】解：设两图象交点的横坐标是，则：
，
解得，
两图象交点的横坐标是，
故选C．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
10．C
【分析】对任意的和，，相应的函数值，总满足，只需最大值与最小值的差小于等于9即可，进而求解．
【详解】解：函数的对称轴为，而时，函数值随增大而减小，故；
和，
时，函数的最小值，
故函数的最大值在和中产生，
则，中，哪个距越远，函数值越小，
，
，而，
距离 更远，
时，函数取得最大值为：，
对任意的和，，相应的函数值，总满足，
只需最大值与最小值的差小于等于9即可，
，
，
解得，而，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，解题的关键是将转换为最大值与最小值的差小于等于9．
11．/
【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：
＝
＝，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查因式分解——提公因式法与公式法的综合运用，找准公因式是解题的关键．
12．/0.25
【分析】画树状图法或列表法列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况，利用概率公式即可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：

由图可知，抛掷一枚质地均匀的硬币两次，共有4种情况：正正、正反、反正、反反，恰有两次正面向上的有1种情况，
因此恰有两次正面向上的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查简单概率的计算，通过列表或画树状图法罗列出所有等可能的情况是解题的关键．
13．/68度
【分析】根据平行线的性质可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据等腰三角形的性质可得的度数，然后根据三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，属于基本题型，熟练掌握基本知识是关键．
14．-3
【分析】因为y随x增大而减小，故n＜0；又因为一次函数图象过点（0， 2），则代入求出n即可．
【详解】解：∵一次函数y随x增大而减小
∴n＜0
∵函数图象过点（0， 2），代入解析式得：
∴n=±3
∴n=-3．
故答案为-3.
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，根据y随x增大而减小，得出n＜0是解题的关键.
15．4
【分析】先由根与系数的关系求出m•n及m＋n的值，再把化为的形式代入进行计算即可．
【详解】，是一元二次方程的两实数根，
，
.
故答案为：4
【点睛】本题考查的是根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1＋x2＝− ，x1•x2＝．
16．①②④
【分析】连接OD，利用已知条件可以证明，即可知①正确；证明，即可知②正确；根据等腰三角形的判定可知、、、是等腰三角形，故③错误；作交于点H，找出，，即可求出，故④正确．
【详解】解：连接OD，

∵ABCD内接于圆O，且，
∴，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线DF是⊙O的切线，
故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
故②正确；
∵，，
∴、是等腰三角形，
∵，且，
∴是等腰三角形，
∵是等腰三角形，
∴图中共有4个等腰三角形，
故③错误；
作交于点H，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵是等腰直角三角形，
设，则，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故④正确；
综上所述正确的有①②④．
故答案为：①②④
【点睛】本题考查圆内接四边形性质，角平分线，切线的判定定理，等腰三角形的判定及性质，正切值，难度较大，解题的关键是熟练掌握以上知识点并理清角之间的关系．
17．
【分析】根据加减消元法求解即可．
【详解】解：，
①-②，得，
∴，
把代入①，得，
∴，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程组的解法有代入消元法和加减消元法，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
18．答案见解析
【分析】由AC∥DF，可推出∠ACB=∠DFE，从而得到△ACB≌△DFE，得到BC=EF，从而得出结论．
【详解】解：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ACB和△DFE中，

∴△ACB≌△DFE（AAS），
∴BC=EF，
∴BE=CF．
【点睛】本题考查平行线的性质，全等三角形的性质与判定，准确运用合适方法证明三角形全等是解题的关键．
19．(1)
(2)

【分析】（1）根据分式运算，化简求解即可得出答案；
（2）将点代入二次函数表达式，可求出x，在带入原式即可求出T．
【详解】（1）解：


．
（2）解：∵点（x，0）在二次函数y＝（x+1）（x+2）的图象上，
∴0＝（x+1）（x+2），解得或，
由（1）中分母可知，故舍去，
把代入，；
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简求值，二次函数的性质，仔细计算，注意分式有意义的条件．
20．(1)y=-
(2)(-4，3)

【分析】（1）先求出点B的坐标，进而求出反比例函数关系式；
（2）设点E的坐标，再根据点E在直线BO上，可表示横，纵坐标的关系，然后根据EO=AO，利用勾股定理表示横，纵坐标的关系，代入求出解，最后结合象限得出答案．
【详解】（1）由题意得点B纵坐标为5．
又∵点B在直线y=-x上，
∴ B点坐标为(-，5)．

设过点 B的反比例函数的表达式为y=，
k=-×5=-，
∴此反比例函数的表达式为；
（2）设点E坐标为(a，b)．
∵点E在直线y=-x上，
∴ b=-a.
∵ OE=OA=5，
∴ ，
解得或．
∵点E在第二象限，
∴ E点坐标为(-4，3)．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数关系式，勾股定理，翻折的性质，矩形的性质等，根据翻折的性质得出线段相等是解题的关键．
21．(1)抽样调查
(2)图见详解，
(3)

【分析】（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
（2）由题意得：所调查的4个班征集到的作品总数为：（件，班作品的件数为：（件；继而可补全条形统计图；用班作品数除以总作品数再乘即可求出扇形统计图中班作品数量所对应的圆心角度数．
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生性别不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
故答案为：抽样调查．
（2）所调查的4个班征集到的作品数为：（件，
班有（件，
补全条形图如图所示，

扇形统计图中班作品数量所对应的圆心角度数；
故答案为：；
（3）画树状图得：

共有20种等可能的结果，两名学生性别不同的有12种情况，
恰好选取的两名学生性别不同的概率为．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22．
【分析】通过作点过点D作于点E，，则得矩形，得，在中，，则可设，得，在中，利用，即可求出，则可得出．
【详解】解：过点D作于点E，如图．
  
由题意得矩形，则，
在中，，
设，则，
，
在中，
，
解得，
．
答：甲建筑物的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）cos∠DAQ的值为．
【分析】（1）作BC的垂直平分得到BC的中点O，然后作出⊙O；
（2）过Q点作QE⊥BC于E，交AD于F，连接BQ、OQ、OA，如图，利用勾股定理计算PC=6 ，证明Rt△BCQ∽Rt△CPD，利用相似比计算出CQ=，再利用射影定理计算CE=，则可得到QE=，所以FQ=，从而利用勾股定理计算出AQ=12，于是可证明△OAB≌△OQA得到∠OQA=∠OBA=90°，然后根据切线的判定定理可判断AQ为⊙O的切线；
（3）由（2）得CQ=，AF=，AQ=12，然后根据余弦的定义得到即cos∠DAQ的值．
【详解】解：（1）如图，点Q为所作；

（2）证明：过Q点作QE⊥BC于E，交AD于F，连接BQ、OQ、OA，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD=AD=AB=12，AD∥BC，
在Rt△PCD中，PC==6，
∵BC为直径，
∴∠BQC=90°，
∵PD∥BC
∴∠CPD=∠BCQ，
∴Rt△BCQ∽Rt△CPD，
∴CQ：PD=BC：CP，即CQ：6=12：6，
∴CQ=，
∵CQ2=CE•CB，
∴CE==，
在Rt△CEQ中，QE==，
∴FQ=12-=，
∵AF=AD-FD=AD-CE=12-=．
∴AQ==12，
在△OAB和△OQA中
，
∴△OAB≌△OQA（SSS），
∴∠OQA=∠OBA=90°，
∴OQ⊥AQ，
∴AQ为⊙O的切线；
（3）由（2）得CQ=，AF=，AQ=12，
∴cos∠EAQ==，
即cos∠DAQ的值为．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了正方形的性质、圆周角定理和切线的判定．
24．(1)
(2)
(3)的横坐标为或

【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）存在直线l ，证明得到，求出A点坐标即可求出D点坐标，再利用待定系数法求直线解析式即可；
（3）连接，，作交BC于H，求出，进一步可求出或，分情况讨论，即可求出M的横坐标为或．
【详解】（1）抛物线过两点，
∴，解得：，
∴函数解析式为：；
（2）存在直线l使得以C，D，E为顶点的三角形与相似，
当时，以C，D，E为顶点的三角形与相似，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
解，得：（不符合题意，舍去），，
∴，
∴，
设过，的解析式为，
则，解得：，
∴直线BD的解析式为：；
（3）连接，作交于，
∵抛物线对称轴为直线：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
当，如图：
  
由点的坐标得，直线解析式为：，
解方程，
解得：或3（舍去），
∴M的横坐标为；
当，如图：
  
同理可得，直线解析式为：，
解方程，
解得：（舍去）或，
∴M的横坐标为，
综上所述：的横坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数综合，难度较大，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求抛物线解析式，掌握勾股定理，正切函数．
25．(1)
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，则，即可求解；
（2）由题意可得，是的角平分线，且，故延长交于点M，可证，要证，而，即证明即可，延长交于N，过E作于P，先证明，可以得到，再证明四边形是正方形，得到，接着证明即可解决；
（3）如图3，分别以和为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到，所以，则，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的值最小，利用，解即可解决．
【详解】（1）解：∵，如图1，

∴，
E为的中点，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
（2）证明：如图2，设射线与射线交于点M，

由题可设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
延长交于N，
∴，
过E作于P，
则，
在与中，  
，
∴，
∴，
过E作于Q，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，
∴矩形为正方形，
∴，
∴，
在与中，
，  
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边，

∴，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
当B，F，M，N四点共线时，最小，
即为线段BN的长度，如图4，

过N作交其延长线于T，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中， ，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为 ．
【点睛】本题是一道四边形综合题，考查了线段的“截长补短”在证明三角形全等中的应用，同时要注意基本辅助线构造方法，比如第（2）问中的线段既是角平分线，又是垂线段，延长相交构等腰就是本题的突破口，再结合线段的截长补短来构造全等，还考查了多条线段和的最值问题，利用旋转变换来转化线段是解决此问的关键．