2023年湖南省长沙市雅境中学九年级中考二模数学试题（含解析）

2023年湖南省长沙市雅境中学九年级中考二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的值等于（　　）

A．4 B．﹣4 C．±4 D．

2．下列图标中是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3．下列运算中，计算正确的是        （　　）

A．2a•3a=6a B．（3a2）3=27a6 C．a4÷a2=2a D．（a+b）2=a2+ab+b2

4．2023年春节前夕，天府新区师生以“绘天府·迎新春”为主题，创作上万件艺术作品，在约8.8公里的兴隆湖环湖跑道上进行展览，某校九年级5个班提供的艺术作品数（单位：件）分别为：13，21，27，27，23，则这组数据的中位数是（    ）

A．23 B．21 C．26 D．27

5．若y=kx﹣4的函数值y随x的增大而减小，则k的值可能是下列的（　　）

A．﹣4 B．0 C．1 D．3

6．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（ ）

A．1 B． C．2 D．

7．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）

A． B．

C． D．

8．如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．

9．下列说法正确的是（    ）．

A．同位角相等 B．三点可以确定一个圆

C．等腰三角形两底角相等 D．对角线相等且垂直的四边形是正方形

10．《西游记》的故事家喻户晓，特别是书中的孙悟空嫉恶如仇斩妖除魔大快人心．在一次降妖过程中，孙悟空念动咒语将一片树叶放大后射向妖魔．假如这个过程可以看成是在平面直角坐标系中的一次无旋转的变换，设变化前树叶尖部点A坐标为，在咒语中变化后得到对应点为．则变化后树叶的面积变为原来的（    ）

A．300倍 B．3000倍 C．9000倍 D．90000倍

二、填空题

11．分解因式：x2y-4y=____．

12．如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=__________．

13．抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是_____．

14．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=________度．

15．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=_______

16．如图，△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______

三、解答题

17．计算：．

18．先化简，再求值：，其中．

19．如图，已知直线及直线外一点，按照如下步骤进行尺规作图：

①在直线上取一点，连接；

②分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，分别交于，两点，作直线，交于点，交直线于点；

③以点为圆心、长为半径画弧，交直线于另一点，作直线．

根据上述尺规作图的步骤和痕迹，请回答下列问题：

(1)下列结论不一定成立的是 （填序号）；

①；②；③；④

(2)若，，求的长．

20．一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右．

(1)则可估计箱子里白色小球的个数_________；

(2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（请用画树状图或列表的方法）．

21．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．

（1）求证：△AOE≌△COD；

（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．

22．随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径.某市2020年数字阅读市场规模为万元，2022年数字阅读市场规模为万元.

(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；

(2)若年平均增长率不变，求2023年该市数字阅读市场规模是多少万元?

23．如图，在中，，O、D分别为AB、BC上的点． 经过A、D两点的分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点．

(1)求证：BC与相切；

(2)当，时． 求的长．

24．若三个非零实数中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数三构成“雅境三元数”．

(1)实数可以构成“雅境三元数”吗？请说明理由；

(2)若M1(，)，M2(，)，M3(，)三点均在函数（为常数且）的图象上且这三点的纵坐标，，构成“雅境三元数”，求实数的值；

(3)设非负实数是“雅境三元数”且满足，其中是关于的一元二次方程的两个根，若过点A的二次函数同时满足以下两个条件：①；②当时，函数的最小值等于．求二次函数解析式．

25．已知二次函数图象的顶点坐标为，且与y轴交于点，B点坐标为，点C为抛物线上一动点，以C为圆心，为半径的圆交x轴于M，N两点（M在N的左侧）．

(1)求此二次函数的表达式；

(2)当点C在抛物线上运动时，弦的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦的长；

(3)当与相似时，求出M点的坐标．

参考答案：

1．A

【详解】解：根据二次根式的性质，可知，因此可求结果为4．

故选A．

【点睛】本题考查二次根式化简．

2．C

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

故选：C．

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3．B

【分析】分别利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、完全平方公式、单项式乘以单项式运算法则化简求出答案．

【详解】解：A、2a•3a＝6a2，故此选项错误；

B、（3a2）3＝27a6，正确；

C、a4÷a2＝a2，故此选项错误；

D、（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，故此选项错误；

故选：B．

【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、完全平方公式、单项式乘以单项式等知识，正确化简各式是解题关键．

4．A

【分析】根据中位数的定义，找到排序后处在中间位置的数即可．

【详解】将这五个数据从小到大排列：13，21，23，27，27，

∴中位数是23．

故选：A．

【点睛】本题考查中位数的意义，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．

5．A

【详解】解：∵y=kx﹣4的函数值y随x的增大而减小，

∴k＜0，

而四个选项中，只有A符合题意，

故选A．

【点睛】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．

6．C

【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出△DAB是等边三角形，进而得出BD的长，

【详解】解：∵菱形ABCD的边长为2，

∴AD=AB=2，

又∵∠DAB=60°，

∴△DAB是等边三角形，

∴AD=BD=AB=2，

则对角线BD的长是2．

故选C．

【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出△DAB是等边三角形是解题关键．

7．C

【分析】分别解出不等式组中的每一个不等式，再根据求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即得出其解集．最后在数轴上表示即可．

【详解】解不等式2x-1≥5，得：x≥3，

解不等式8-4x＜0，得：x＞2，

∴不等式组的解集为x≥3，

在数轴上表示为：

，

故选C．

【点睛】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．掌握求不等式组解集的口诀是解题关键．

8．C

【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．

【详解】从左边看竖直叠放2个正方形．

故选C．

【点睛】此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．

9．C

【分析】利用平行线的性质、确定圆的条件、等腰三角形的性质及正方形的判定分别判断后即可确定正确的选项；

【详解】A.两直线平行，同位角相等，故错误；

B.不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；

C.等腰三角形两底角相等，正确；

D.对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故错误；

故选：C.

【点睛】本题主要考查同位角，等腰三角形的性质，正方形的判定，确定圆的条件，熟练掌握相关性质定理是求解本题的关键.

10．D

【分析】根据题意树叶尖部点的变换是扩大300倍，然后向上平移200个单位，向下平移100个单位，根据位似变换的性质，以及平移的性质，根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方求解即可．

【详解】解：∵设变化前树叶尖部点A坐标为，在咒语中变化后得到对应点为．

∴树叶变换是扩大300倍，然后向上平移200个单位，向下平移100个单位，

根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方， 可得变化后树叶的面积变为原来的90000倍

故选D

【点睛】本题考查了位似变换，平移的性质，相似图形的性质，根据题意理解变换是位似变换加平移变换是解题的关键．

11．y(x+2)(x-2)

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．

【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)，

故答案为：y(x+2)(x-2)．

【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解．

12．110°/110度

【分析】由对顶角相等可得，然后根据平行线的性质求解即可得．

【详解】解：如图：

∵，

∴．

∵，

∴，

∴．

故答案是：110°．

【点睛】本题考查了平行线的性质及对顶角相等，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．

13．（2，5）．

【详解】试题分析：由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．

解：∵抛物线y=3（x﹣2）2+5，

∴顶点坐标为：（2，5）．

故答案为（2，5）．

考点：二次函数的性质．

14．50.

【详解】∠ACB=∠AOB=×100°=50°．

考点：圆周角定理．

15．k=2．

【详解】试题分析：把x=1代入已知方程列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值．

试题解析：依题意，得

2×12﹣3k×1+4=0，即2﹣3k+4=0，

解得，k=2．

考点：一元二次方程的解．

16．18.

【详解】∵在△ABC中，DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC．

∵，

∴，

∴．

故选：18．

17．

【分析】根据有理数的乘方，负整数指数幂，二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值，进行计算即可求解．

【详解】解：原式   

．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握有理数的乘方，负整数指数幂，二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值是解题的关键．

18．，

【分析】先利用通分和同分母分式加法法则计算括号里的，在利用平方差公式和完全平方公式进行变形，最后进行约分求得最简结果，将其代入，即可求得最简值．

【详解】解：

当时， ．

故答案为：，．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键在于熟练掌握运算法则．

19．(1)；

(2)．

【分析】（1）由作图可得垂直平分，，根据可得，根据全等三角形的性质可得可得，无法得出，即可得出结论；

（2）根据垂直平分得，则、是等腰直角三角形，可得．

【详解】（1）由作图可知：垂直平分，

∴，故正确；

∵，，，

∴，

∴，，

∴，

故正确，

∴不一定成立的结论为④，

故荅案为：④；

（2）（2），

，

垂直平分，

、是等腰直角三角形，

，，

垂直平分，

，

，，

．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了线段垂直平分线的定义．

20．(1)2

(2)

【分析】（1）先利用频率估计概率，得到摸到红球的概率为，再利用概率公式列方程，解方程可得答案；

（2）利用列表或画树状图的方法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．

【详解】（1）解：∵摸到红色小球的频率稳定于左右，

∴摸到红色小球的概率是，

设白色小球的个数为，由题意，得：

，

解得：，

经检验是原方程的解；

∴箱子里白色小球的个数为2；

故答案为：2

（2）解：根据题意，列出表格如下：

列表如下：

一共有25种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有12种，

所以两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为．

【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率，掌握实验次数足够多的情况下，频率会稳定在某个数值附近，这个常数视为概率，以及掌握列表与画树状图的方法是解题的关键．

21．（1）证明见解析；（2）.

【详解】试题分析：（1）根据矩形的对边相等可得AB=CD，∠B=∠D=90°，再根据翻折的性质可得AB=AE，∠B=∠E，然后求出AE=CD，∠D=∠E，再利用“角角边”证明即可；

（2）根据全等三角形对应边相等可得AO=CO，解直角三角形求出CO，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，∠B=∠D=90°，

∵矩形ABCD沿对角线AC折叠点B落在点E处，

∴AB=AE，∠B=∠E，

∴AE=CD，∠D=∠E，

在△AOE和△COD中，

，

∴△AOE≌△COD（AAS）；

（2）解：∵△AOE≌△COD，

∴AO=CO，

∵∠OCD=30°，AB=，

∴CO=CD÷cos30°=÷=2，

∴△AOC的面积=AO•CD=×2×=．

考点：翻折变换（折叠问题）

22．(1)

(2)预计2023年该市数字阅读市场规模是万元

【分析】（1）设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为，利用2022年该市数字阅读市场规模年该市数字阅读市场规模，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；

（2）利用2023年该市数字阅读市场规模年该市数字阅读市场规模，可预计出2023年该市数字阅读市场规模．

【详解】（1）解：设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为

根据题意得：

解得：，（不符合题意，舍去）

答：2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为

（2）（万元）

∴预计2023年该市数字阅读市场规模是万元．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．

23．(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接， 想要证明与相切，只要证明即可；

（2）连接，则根据直径所对的圆周角是直角知．利用（1）中的，可推知，由三角形的内角和定理求得，在中根据三角函数的定义求得的长，从而解得的半径的长，最后由弧长公式求解即可．

【详解】（1）证明：连接，则．

∴（等边对等角）；

∵，

∴,

∴，

∴；

又∵，

∴，即

∴与相切；

（2）解：连接，则．

∵，

∴；

在中，易求，

∴的半径，

∴的长．

【点晴】本题考查了解直角三角形、弧长公式即可切线的判定与性质，在判定圆的切线时，一般情况下是作辅助线，连接圆心与所求的线段和圆的交点．

24．(1)可以，见解析；

(2)或；

(3)或．

【分析】（1）根据“雅境三元数”的定义来判断求解即可；

（2）利用“雅境三元数”定义，分类讨论解含的一元二次方程即可；

（3）根据给定的满足条件求出二次函数对称轴，通过取值范围内的最值问题，确定，从而即可求解．

【详解】（1），

，1，4可以构成“雅境三元数”．

（2），，构成“雅境三元数”，

有三种可能

①当，可以根据条件得到，即，无解；

②当，可以根据条件得到，即，解得；

③当，可以根据条件得到，即，解得；

满足条件的或者．

（3）非负实数，，是“雅境三元数”且满足，

．                

又，是关于的一元二次方程的两个根，

，

或（舍去）．      

抛物线经过点，

，

又，

，，

，             　

对称轴，取值范围，

①若，则开口向上，

由题意时取得最小值，

解得或（舍去）．

二次函数解析式：．　

②若，则开口向下，

当时，即时，

由题意时取得最小值，

解得或2（舍去）．

二次函数解析式：．　

当时，即时，

由题意时取得最小值，

解得（舍去）或（舍去）．

综上所述，所求二次函数解析式为或．

【点睛】此题考查了一元二次方程、不等式、二次函数之间的关系，注意知识的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质和数学中的分类讨论思想．

25．(1)

(2)不变，4

(3)

【分析】（1）设抛物线的表达式为，然后将代入可求得a的值，从而可求得二次函数的表达式；

（2）过点C作轴，垂足为H，连接、，由勾股定理可知，依据两点间的距离公式可求得，结合垂径定理可求得的长；

（3）分为点C与点A重合，点C在点A的左侧，点C在点A的右侧三种情况画出图形，然后依据相似三角形的对应边成比例可求得的距离，从而可求得点M的坐标．

【详解】（1）设抛物线的表达式为，

将代入得：，解得：

∴抛物线的表达式为：

（2）的长不发生变化．

理由：如图1所示，过点C作轴，垂足为H，连接、．

设点C的坐标为．

∵，

∴，

∵，

∴．

∴，

∴，

∴不发生变化．

（3）如图2所示：

①当点C与点A重合时．

∵经过点C，

∴为圆C的直径，

∴，

∵点，

∴．

②如图3所示：

∵，

∴，即，

设，则，

解得：（舍去），

又∵点，

∴，

∴点M的坐标为．

如图4所示：

∵，

∴，

设，则，

解得：（舍去），

又∵点，

∴，

∴点M的坐标为．

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数函数的解析式、垂径定理、两点间的距离公式、勾股定理、相似三角形的性质，分为点C与点A重合，点C在点A的左侧，点C在点A的右侧三种情况画出图形，并由相似三角形的性质求得AM的长是解题的关键．