2023年黑龙江省哈尔滨市平房区中考三模数学试题（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市平房区中考三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的相反数是（    ）

A． B． C． D．

2．下列运算一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ）

A．   B．   C．   D．  

4．七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（    ）

A．   B．   C．   D．  

5．如图，为的两条切线，E、G为切点．点F为上一点．连接，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

6．方程的解为（    ）

A． B． C． D．

7．如图．将绕点C逆时针旋转得到，其中点A与点D是对应点，点B与点E是对应点，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

8．一个不透明的袋子中装有6个小球，其中2个红球、4个黑球，这些小球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（    ）

A． B． C． D．

9．在中，，若，则的长为（  ）

A． B． C． D．

10．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（  ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．哈尔滨到北京的路程约为1240000米，用科学记数法表示为____________米．

12．在函数中，自变量的取值范围是________________．

13．己知反比例函数的图像上一点A．过A作x轴、y轴的垂线．所形成的矩形的面积为3，则k的值为____________．

14．计算的结果是______．

15．把多项式分解因式的结果是______．

16．不等式组的解集是______．

17．把抛物线先向左移动2个单位，在向下移动4个单位，所得到的新的抛物线的顶点坐标为____________．

18．一个扇形的弧长是，面积为，则此扇形的圆心角为____________．

19．正方形中，点E是直线上一点，且．连接，则的值为____________．

20．如图．在四边形中，，、为对角线，，，若，，则的长为____________．

三、解答题

21．先化简，再求代数式的值，其中．

22．如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1.线段AB的两个端点在小正方形的顶点上．

(1)在图中画一个以AB为腰的等腰三角形△ABC点C在小正方形的顶点上,且tan∠B=3；

(2)在图中画一个以AB为底的等腰三角形△ABD点D在小正方形的顶点上,且△ABD是锐角三角形．连接CD,请直接写出线段CD的长．

23．随着2018年两会的隆重召开，中学校园掀起了关注时事政治的热潮我区及时开展“做一个关心国家大事的中学生”主题活动．为了了解我区中学生获取时事新闻的主要途径，分别从电脑上网、手机上网、听广播、看电视、看报纸五个方面，在全区范围内随机抽取了若干名中学生进行问卷调查(每名中学生只选一种主要途径)，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图请根据统计图的信息回答下列问题：

(1)本次调查共抽取了中学生多少人?

(2)求本次调查中，以听广播获取时事新闻为主要途径的人数并补全条形统计图；

(3)若本区共有中学生7000人，请你估计我区以看电视以看电视获取时事新闻为主要途径的中学生有多少人？

24．己知：如图，在中，于点．于点，与交于点．且．

(1)如图1，求证：；

(2)如图2，连接，当点为中点时，请直接写出图2中所有的等腰三角形．

25．计划对河道进行改造，现有甲乙两个工程队参加改造施工，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工天，再由乙工程队单独施工天，则可以完成米施工任务：若甲工程队先单独施工天，再由乙工程对单独施工天，则可以完成米的施工任务．

（1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？

（2）该河道全长米，若两队合作工期不能超过天，乙工程队至少施工多少天？

26．己知：是的外接圆，，点D为上一点，连接交于点E，连接，且．

(1)如图1，求证：；

(2)如图2，连接并延长交于点F．G为弧上一点，连接，分别交于点H、 P，若，求证：；

(3)如图3，在（2）的条件下，，，连接，求线段的长．

27．在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于点A、B，交y轴于点C，点A的坐标为，连接AC、BC，过点B作交y轴于点D．交于点E，．

(1)如图1，求抛物线解析式；

(2)如图2．点P为抛物线第一象限上的点，连接AP交线段于点F(F不与C、D重合)，设点P的横坐标为t，的长为d，求d与t的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；

(3)如图3，在（2）的条件下，连接，点G为BF上．一点．连接，若，，求点P坐标．

参考答案：

1．B

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．

【详解】解：的相反数是，

故选：B．

【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．

2．C

【分析】依据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、完全平方公式进行计算即可．

【详解】A.a3+a3=2a3，故A错误；

B.a•a3=a4，故B错误；

C.（a2）3=a6，故C正确；

D.，故D错误．

故选：C．

【点睛】本题主要考查的是合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、完全平方公式，熟练掌握相关法则是解题的关键．

3．B

【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义依次进行判断即可得．

【详解】解：A、不是中心对称图形是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；

B、是中心对称图形也是轴对称图形，选项说法正确，符合题意；

C、不是中心对称图形是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；

D、不是中心对称图形是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，解题的关键是掌握这些知识点．

4．A

【分析】根据几何体的主视图是从正面看到的图形判断即可．

【详解】解：从正面观察几何体可知，其主视图有2层，第一层有3个小正方形，第二层靠右有1个小正方形，故选项A符合．

故选：A．

【点睛】本题主要考查的知识点是几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到图是解题的关键．

5．D

【分析】根据切线的性质得，根据得，即可得．

【详解】解：∵为的两条切线，为的两条半径，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．

6．A

【分析】去分母，去括号，移项，进行检验即可得．

【详解】解：

检验：当时，，

∴是原方程的解，

故选：A．

【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．

7．D

【分析】根据旋转的性质得出，，根据三角形外角的性质即可求出结果．

【详解】解：根据旋转可知，，，

∵是的外角，

∴，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

8．B

【分析】根据袋子中装有6个小球，其中2个红球、4个黑球，即可得．

【详解】解：袋子中装有6个小球，其中2个红球、4个黑球，

则摸出的小球是红球的概率是：，

故选：B．

【点睛】本题考查了概率，解题的关键是理解题意，掌握概率．

9．A

【分析】由已知可得，变形可得结果.

【详解】在中，

所以，

所以，=

故选A

【点睛】本题考查了余弦的计算，熟练掌握余弦的定义是解题的关键.

10．C

【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得CD∥BF，依据平行线成比例的性质和相似三角形的性质即可得到答案．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∵EF∥CD，

∴EF∥AB，

∴，△DEF∽△DAB，

∴，

∵AB=AD=CD，

∴，，

∴选项A、B、D正确；选项C错误；

故选：C．

【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．

11．

【分析】将1240000写成（，n为整数）的形式即可．

【详解】解：．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成（，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键．

12．

【分析】在函数中，分母不为0，则x-3≠0，求出x的取值范围即可.

【详解】在函数中，分母不为0，

则，即，

故答案为：.

【点睛】本题是对分式有意义的考查，熟练掌握分母不为0是解决本题的关键.

13．

【分析】根据反比例函数解析式中k值的意义进行解答即可．

【详解】解：∵过A作x轴、y轴的垂线，所形成的矩形的面积为3，

∴，

∵，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了反比例函数解析中k值的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数上任意一点向x轴，y轴作垂线，与坐标轴所形成的矩形的面积等于．

14．

【分析】根据二次根式的性质和二次根式的减法法则，即可求解．

【详解】=

故答案是：．

【点睛】本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键．

15．

【分析】先提取公因式，再用公式法因式分解即可．

【详解】解：

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

16．x＞2/2＜x

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】解：

解不等式①，得：x≥﹣6，

解不等式②，得：x＞2，

则不等式组的解集为x＞2．

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

17．

【分析】根据上加下减，左加右减的规律即可求解．

【详解】解：抛物线平移后解析式为，

即，

所以新的抛物线的顶点坐标为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了抛物线的平移与求顶点坐标，需掌握以下两点：1.抛物线的平移规律是上加下减，左加右减；2.抛物线的顶点式解析式为，其中顶点为．

18．/90度

【分析】设扇形的圆心角为，半径为，根据扇形面积公式和弧长公式得出，解方程组即可．

【详解】解：设扇形的圆心角为，半径为，根据题意得：

，

由①得，

把代入②得，

解得：，

把代入①得，

解得：，

即此扇形的圆心角为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式，弧长公式．

19．或

【分析】分两种情况讨论，当点E在线段上时，当点E在延长线上时，分别画出图形，求出结果即可．

【详解】解：当点E在线段上时，如图所示：

∵四边形为正方形，

∴，，，

设，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

当点E在延长线上时，如图所示：

∵四边形为正方形，

∴，，，

设，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

综上分析可知，的值为或．

故答案为：或．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行线的性质，求角的正切值，解题的关键是画出图形，数形结合，并注意进行分类讨论．

20．

【分析】设，先证明从而得到，作于点E，作于点F，在得延长线上取，由，得到，设，推导，，，再由推出，继而得到，在中利用勾股定理列方程可得，解得，，最后在中使用勾股定理得．

【详解】解：设与交于点O，设

∵，

∴，

又∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴

作于点E，作于点F，在得延长线上取．

∵，，

∴

设，

则，

∵

∴，

∴

∵，，

∴

∴，

∴，

∴，

又∵，，

∴

∴

∴，

∴

在中，，即

解得：

∴

在中，，

∴

故答案为：．

【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据题意作出适用的辅助线是解题的关键．

21．；．

【分析】先计算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可．

【详解】原式， 

，

，

，

原式．

【点睛】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．

22．（1）详见解析；（2）图详见解析，.

【分析】(1)因为AB为腰、tan∠B=3的等腰△ABC,由此即可画出图形

(2)因为AB为底、△ABD是锐角三角形的等腰△ABC,所以点C在线段AB的垂直平分线上,由此即可画出图形,利用勾股定理计算CD的长

【详解】(1)如图所示:△ABC即为所求

(2)如图所示:△ABD即为所求

CD=

【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，作图-应用于设计作图，解题关键在于掌握作图法则

23．(1)300人

(2)30人，图见解析

(3)1050人

【分析】（1）依据手机上网的人数及百分比，即可得到本次抽样调查共抽取的中学生人数；

（2）依据总人数减去其它个项目的人数，即可得到以听广播获取时事新闻为主要途径的人数并补全条形统计图；

（3）依据学校总人数乘以以看电视获取时事新闻为主要途径的中学生所占的百分比，即可得到我区以看电视以看电视获取时事新闻为主要途径的中学生人数．

【详解】（1）解：（人），

∴本次抽样调查共抽取了中学生300人；

（2）（人），

∴被调查的中学生中以听广播作为主获取时事新闻主要途径有人，补全条形统计图：

（3）（人），

∴由样本估计总体全区以看电视作为获取时事新闻主要途径的中学生有人．

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

24．(1)证明见解析

(2)、、、

【分析】（1）根据可证明即可推出．

（2）根据三角形全等可以推出和从而证明和为等腰三角形，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边一半，即可推出，从而证明和为等腰三角形．

【详解】（1）证明：，

．

，．

，

．

，

．

．

（2）解：等腰三角形有：、、、，理由如下；

①为中点，，

，．  

，

．

．

为等腰三角形．

②由（1）可知，，

，

为等腰三角形．

③，为中点，

，

为等腰三角形，为等腰三角形．

故答案为：、、、．

【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定、三角形的全等的灵活运用、直角三角形的性质．解题的关键在于熟练掌握证明三角形全等的方法以及相关性质．

25．（1）甲工程队每天能完成施工任务米，乙工程队每天能完成施工任务米；（2）乙工程队至少施工天

【分析】（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据等量关系列出二元一次方程组，即可求解；

（2）设乙工程队施工a天，根据不等量关系，列出一元一次不等式，即可求解．

【详解】（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，

根据题意得：，解得：，

答：甲工程队每天能完成施工任务米，乙工程队每天能完成施工任务米；

（2）设乙工程队施工a天，

根据题意得：80a+50（90-a）≥6000，

解得：a≥50，

答：乙工程队至少施工天

【点睛】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，找出等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式，是解题的关键．

26．(1)见解析

(2)见解析

(3)

【分析】（1）由，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得出，即得；

（2）连接，得出，导角得出，证出，推出，得到，即可证得结论；

（3）由，证出，连接，利用三角函数求出，过O作，求出，得出．

【详解】（1）证明：∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，即；

（2）证明：连接，如图，

∵是圆的直径，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

又∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）解：连接，如图，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴设，则，

∴，，，

∵，为直径，

∴，设垂足为点M，则，

∵，，

∴，故，

∴，即，解得，

∴，

∵，

∴，即，

∴，

∵，

∴，

则，解得，

∴，，，

作于点Q，则，，

∴，

则在直角三角形中，

【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，综合性强、难度较大，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线、熟练运用解直角三角形的知识是解题的关键．

27．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先用证明，从而得到，抛物线交y轴于点C得到，继而得到，根据，利用待定系数法求抛物线解析式即可；

（2）过点P作轴与R，从而得到，证明得到，，从而得到，再用减法得到；

（3）过点G作交于点M，连接，得到点在以为直径得圆上，作出这个圆，得到，从而得到，延长至点N使得，连接，则，，利用推导点G是的中点，从而得到，利用平行线的性质和同圆中同弧所对的圆周角相等得到，，从而得到，，设设，则，，在中利用勾股定理列方程解得，从而得到，，最后代入得到．

【详解】（1）解：∵，

．

又∵，

∴．

∵，，，

∴．

∵，，，

∴，

∴，，

∴抛物线交y轴于点C，

∴，

∴，

  ∴ ．

将点，代入得：

，

解得：，

∴抛物线解析式为：．

（2）过点P作轴与R，

∵点P为抛物线第一象限上的点，点P的横坐标为t，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵

∴

∴

∴，

（3）过点G作交于点M，连接，则

∵，

∴点在以为直径得圆上，作出这个圆如图所示：

∴，

∴，

∴，

∴点M是的中点，

延长至点N使得，连接，则，

设

∵，

∴

∴点G是的中点，

又∵点M是的中点，

∴

∴，

∴，

∴

∴，

∴

又∵

∴

∴

设，则，

在中，

即：

解得：

即：

∴，

∴，

∴

【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质定理等，综合性很大，对知识的理解要求高，正确作出辅助线是解题的关键．第三问的解题关键是推导中位线和利用隐圆求解．