数学选择性必修 第二册4.2.1 随机变量及其与事件的联系学案及答案

4.2.1　随机变量及其与事件的联系

(教师独具内容)

课程标准：通过实例，了解随机变量的概念．

教学重点：理解随机变量的概念与随机变量之间的关系．

教学难点：了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解随机变量与事件的关系.

知识点一　　　随机变量

(1)定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量．

(2)随机变量的表示：随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，，ζ，…表示．

(3)随机变量的取值范围：随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围．

知识点二　　　随机变量与事件的联系

可以利用随机变量来表示事件．一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且：

(1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥；

(2)事件X≤a与X>a相互对立，因此P(X≤a)＋P(X>a)＝1.

知识点三　　　离散(连续)型随机变量

所有可能的取值都是可以一一列举出来的随机变量，是离散型随机变量．与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量的取值范围包含一个区间．

知识点四　　　随机变量之间的关系

一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)．

所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．随机变量和函数都是一种对应，随机变量是随机试验结果到实数的对应，函数是实数到实数的对应，随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)离散型随机变量的取值是任意的实数．(　　)

(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　)

(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．

(2)同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________．

(3)在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件取到次品就停止，抽取次数为X，则X＝3表示的试验是________．

答案　(1)0,1,2,3　(2){0,1,2,3,4,5}　(3)共抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品

题型一  随机变量的概念

例1　下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．

(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；

(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；

(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；

(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．

[解]　(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．

(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．

(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．

(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．

点睛

随机变量的辨析方法

(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．

(2)随机试验的结果的确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．

如果一个随机试验的结果对应的变量满足以上两点，则该变量即为随机变量．

　指出哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

(1)某人射击一次命中的环数；

(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；

(3)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；

(4)某个人的属相随年龄的变化．

解　(1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．

(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，因此出现正面向上的次数是随机变量．

(3)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．

(4)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．

题型二  随机变量与事件的关系

例2　连续投掷一枚质地均匀的硬币两次，用X表示两次投掷中正面朝上的次数，则X是一个随机变量，分别说明下列集合所代表的事件：

(1){X＝0}；

(2){X＝1}；

(3){X≤1}．

[解]　(1){X＝0}表示使得随机变量对应于0的那些结果组成的事件，即两次都掷得反面朝上，所以{X＝0}＝{两次都是反面朝上}．

(2){X＝1}＝{第一次正面朝上，第二次反面朝上}∪{第一次反面朝上，第二次正面朝上}＝{恰有一次正面朝上}．

(3){X≤1}表示使得随机变量X对应的数值不超过1的那些结果组成的事件，即{至多一次正面朝上}，也可以表示为{X≤1}＝{两次都是反面朝上}∪{第一次正面朝上，第二次反面朝上}∪{第一次反面朝上，第二次正面朝上}．

点睛

解此类题主要是运用离散型随机变量的定义，随机变量X满足三个特征：①可以用数来表示；②试验前可以判断其可能出现的所有值；③在试验前不能确定取何值．

　把一枚硬币先后抛掷两次，如果出现两个正面得5分，出现两个反面得－3分，其他结果得0分．用X来表示得到的分值，列表写出可能出现的结果与对应的X值．

解　已知出现两个正面得5分，出现两个反面得－3分，出现一个正面一个反面得0分．

列表如下：

题型三  随机变量之间的关系

例3　某市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4 km，则按10元的标准收租车费．若行驶路程超出4 km，则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km的部分按1 km计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1 km路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程X是一个随机变量，他收旅客的租车费Y也是一个随机变量．

(1)求租车费Y关于行车路程X的关系式；

(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？

(3)若P(Y>182)＝0.23，求P(X≤90)的值．

[解]　(1)依题意得Y＝2(X－4)＋10，即Y＝2X＋2.

(2)由38＝2X＋2，得X＝18,5×(18－15)＝15.

所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟．

(3)Y>182⇔2X＋2>182⇔X>90，

所以P(X>90)＝P(Y>182)＝0.23，

所以P(X≤90)＝0.77.

点睛

一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f(ξ)也是随机变量．也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量．

　已知随机变量X的取值范围是{1,2,3,4,5,6}，且Y＝2X，求Y的取值范围．

解　由于Y＝2X，且X的取值范围是{1,2,3,4,5,6}，故Y的取值范围是{2,4,6,8,10,12}．

1．下列变量中，不是随机变量的是(　　)

A．一射击手射击一次命中的环数

B．标准状态下，水沸腾时的温度

C．抛掷两枚骰子，所得点数之和

D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数

答案　B

解析　标准状态下，水沸腾时的温度是一个确定值，而不是随机变量．故选B.

2．若用随机变量X表示从一个装有1个白球、3个黑球、2个黄球的袋中取出的4个球中不是黑球的个数，则X的取值不可能为  (　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　A

解析　由于白球和黄球的个数和为3，所以4个球不是黑球的个数分别可能是1,2,3，X不可能取0.故选A.

3．掷一个均匀的骰子，设朝上的点数为随机变量Y，则P(Y≥5)＝(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　随机变量Y的所有可能取值有1,2,3,4,5,6.Y≥5包括向上的点数是5和6，故而P(Y≥5)＝，选C.

4．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是________．

答案　300,100，－100，－300

解析　可能有回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．

5．同时掷两枚质地均匀的硬币．

(1)用X表示掷出正面的个数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？

(2)X<2和X>0各表示什么？

解　(1)掷两枚硬币时，掷出正面的个数可能是0,1,2中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．

用X表示掷出正面的个数，X的值应随机地取0,1,2中的某个．

(2)X<2表示“正面个数小于2”，即“正面个数为0或1”；X>0表示“正面个数大于0”，即“正面个数为1或2”．

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　)

A．取到产品的件数  B．取到正品的概率

C．取到次品的件数  D．取到次品的概率

答案　C

解析　A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也都是定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．故选C.

2．数字1,2,3,4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置，则称有一个巧合，则排列中巧合的总数ξ的可能取值为(　　)

A．0,2,4  B．0,1,2,4  C．1,2,3,4  D．2,4

答案　B

解析　由题意，易知排列中的巧合数可能为0,1,2,4，不可能为3，故ξ的可能取值为0,1,2,4.

3．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能值的个数是(　　)

A．6  B．7  C．10  D．25

答案　C

解析　X的所有可能值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3，2×4，2×5，3×4，3×5,4×5，共计10个．

4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是(　　)

A．第5次击中目标  B．第5次未击中目标

C．前4次未击中目标  D．第4次击中目标

答案　C

解析　击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标．故选C.

5．袋中有10个红球，5个黑球，每次随机抽取1个球，若取得黑球，则另外换1个红球放入袋中，直到取到红球为止．若记抽取的次数为X，则表示“放入5个红球”的事件为(　　)

A．X＝7  B．X＝6  C．X＝5  D．X＝4

答案　B

解析　若第一次取到黑球，则放入1个红球，第二次取到黑球，则再放入1个红球，…，共放入了5个红球，说明第六次取到了红球．故选B.

二、填空题

6．从5张已编号(1～5号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和记为X，则X＝6表示的试验结果是____________________________________________．

答案　取出分别标有1,5或2,4的两张卡片

解析　X＝6＝1＋5，X＝6＝2＋4两种情况．

7．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．

答案　21

解析　ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C种方法，即21种．

8．先后掷一个均匀的骰子两次，如果两次出现的点数都是奇数得2分，两次出现的点数都是偶数得3分，其他结果得0分．设X表示所得分数，则P(X＝0)＝________.

答案　

解析　先后掷两次骰子，可能出现的结果有奇奇，奇偶，偶奇，偶偶，故而X的可能取值有0,2,3.X＝0对应的结果为奇偶，偶奇，所以P(X＝0)＝.

三、解答题

9．某地上网费用为月租费10元，上网时每分钟0.04元，某学生在一个月内上网的时间(分)为随机变量X(不足1分钟的按1分钟计算)，求该学生在一个月内上网的费用Y，并指出X与Y是否为离散型随机变量？

解　由于上网时间不足1分钟按1分钟计算，因此X的可能取值为1,2,3，…，

∴X是一个离散型随机变量．

又Y＝0.04X＋10，

∴Y也是一个离散型随机变量．

10．小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答问题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个，闯关就成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元、3000元、6000元的奖品(不重复得奖)，用ξ表示小王所获奖品的价值，写出ξ的所有可能取值，并说明所取的值表示的随机试验的结果．

解　ξ的所有可能取值为0,1000,3000,6000.

“ξ＝0”表示第一关就没有通过；

“ξ＝1000”表示第一关通过而第二关没有通过；

“ξ＝3000”表示第一关通过、第二关通过而第三关没有通过；

“ξ＝6000”表示三关都通过．

B级：“四能”提升训练

1．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X；

(2)在100张已编号的卡片(从0号到99号)中任取一张，被取出的号数为Y.

解　(1)X可取3,4,5.

“X＝3”表示“取出的3个球的编号为1,2,3”；

“X＝4”表示“取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4”；

“X＝5”表示“取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5”．

(2)Y可取0,1，…，99.

“Y＝i”表示“被取出的号数为i”，其中i＝0,1,2，…，99.

2．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ，

(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；

(2)若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．

解　(1)

(2)由题意可得η＝5ξ＋6，

而ξ可能的取值为{0,1,2,3}，

故η的可能取值为{6,11,16,21}，显然η为离散型随机变量．