高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.3 二项分布与超几何分布导学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.3 二项分布与超几何分布导学案及答案，共14页。

4.2.3　二项分布与超几何分布
(教师独具内容)
课程标准：通过具体实例，了解超几何分布，掌握二项分布．
教学重点：理解n次独立重复试验的模型、二项分布与超几何分布，并能解答简单的实际问题．
教学难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布、超几何分布有关的概率计算.



知识点一　　　n次独立重复试验
　在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．
知识点二　　　二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0,1，…，n，此时称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
知识点三　　　超几何分布
一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M 特别地，如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示．

X
0
1
…
k
…
s
P


…

…



1．如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.此概率公式恰为[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项，故称该公式为二项分布公式．
2．要注意区分二项分布、两点分布、超几何分布
(1)当n＝1时，二项分布就是两点分布；
(2)二项分布是有放回抽样，每次抽取时的总体没有改变，因此每次抽到某事物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验；超几何分布是不放回抽样，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的．即二项分布与超几何分布的最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)独立重复试验每次试验之间是相互独立的．(　　)
(2)独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果．(　　)
(3)独立重复试验每次试验发生的机会是均等的．(　　)
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知η～B，则P(η＝4)＝________.
(2)连续掷一枚硬币5次，恰好有3次出现正面向上的概率是________．
(3)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为________．
答案　(1)　(2)　(3)

　 　 　 　　　　　 　 　　　　 　 　　

题型一 独立重复试验的概率求法
例1　某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
[解]　(1)令X表示5次预报中预报准确的次数，则
“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X＝2)＝C×2×3＝10××≈0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C×0×5－C××4＝1－0.00032－0.0064≈0.99.
(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为P＝C××3×≈0.02.

点睛
独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．
(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．

　甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局．
(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，则甲获胜的概率是多少？
(2)若进行五局三胜制比赛，则甲获胜的概率是多少？
解　(1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则P1＝2＋C×××＝.
(2)甲前三局胜，或甲第四局胜而前三局仅胜两局，或甲第五局胜而前四局仅胜两局，则
P2＝3＋C×2××＋C×2×2×＝.
　　
题型二 二项分布
例2　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
[解]　(1)由题意知ξ～B，则
P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
所以ξ的分布列为

ξ
0
1
2
3
4
5
P







(2)η的分布列为Ρ(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝k×，k＝0,1,2,3,4；
P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝5，
故η的分布列为

η
0
1
2
3
4
5
P







(3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－5＝.

点睛
(1)二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．
(2)二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．

　(1)若随机变量ξ服从B，则P(ξ≤3)＝(　　)
A. B. C. D.
(2)某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．
答案　(1)C　(2)见解析
解析　(1)解法一：∵ξ～B，
∴P(ξ＝k)＝Ck6－k＝C6.
∴P(ξ≤3)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝(C＋C＋C＋C)6＝.故选C.
解法二：∵ξ～B，
∴P(ξ＝k)＝Ck6－k＝C6.
∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ≥4)
＝1－＝.
故选C.
(2)由题意可知，X～B3，，
所以P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.
从而X的分布列为

X
0
1
2
3
P




题型三 超几何分布
例3　某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数．
(1)求X的分布列；
(2)求至少有2名男生参加数学竞赛的概率．
[解]　(1)依题意，随机变量X服从参数为10,4,6的超几何分布，即X～H(10,4,6)，
∴P(X＝m)＝(m＝0,1,2,3,4)．
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
∴X的分布列为

X
0
1
2
3
4
P






(2)解法一：(直接法)
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋＋＝.
解法二：(间接法)
由分布列的性质，得P(X≥2)＝1－P(X<2)
＝1－[P(X＝0)＋P(X＝1)]
＝1－＝.

点睛
超几何分布的求解步骤
(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分，如“男生、女生”，“正品、次品”，“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．
(2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义．
(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．

　在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
解　(1)设“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”为事件M，
则P(M)＝＝.
(2)由题意知，X的可能取值为0,1,2,3,4，则
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为

X
0
1
2
3
4
P







　 　 　 　　　　　 　 　　　　 　 　　

1．下列随机变量X不服从二项分布的是(　　)
A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
答案　B
解析　选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义，可知被感染次数X～B(n,0.3)．
2．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
答案　C
解析　由1－C×0×n>0.9，得n<0.1，又n∈N*，∴n≥4.
3．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是(　　)
A．都不是一等品 B．恰有1件一等品
C．至少有1件一等品 D．至多有1件一等品
答案　D
解析　“2件都是二等品”的概率p1＝＝，“2件中有1件是一等品、1件是二等品”的概率p2＝＝，则p1＋p2＝＋＝.
4．将一枚硬币连掷7次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k＋1次正面向上的概率，那么k的值为________．
答案　3
解析　由题意，知Ck7－k
＝Ck＋17－k－1，
∴C＝C，∴k＋(k＋1)＝7，∴k＝3.
5．设10件产品中有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品件数X的分布列．
解　随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
X＝0表示取出的5件产品全是正品，
P(X＝0)＝＝＝；
X＝1表示取出的5件产品中有1件次品，4件正品，
P(X＝1)＝＝＝；
X＝2表示取出的5件产品中有2件次品，3件正品，
P(X＝2)＝＝＝；
X＝3表示取出的5件产品中有3件次品，2件正品，
P(X＝3)＝＝＝.
∴随机变量X的分布列为

X
0
1
2
3
P






A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率约为(　　)
A．0.33 B．0.66 C．0.5 D．0.45
答案　A
解析　由C×0.94×(1－0.9)≈0.33，知答案为A.
2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(恰好取到1件次品)＝＝.
3．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么等于(　　)
A．恰有1个是坏的的概率
B．恰有2个是好的的概率
C．4个全是好的的概率
D．至多有2个是坏的的概率
答案　B
解析　A中“恰有1个是坏的的概率”为p1＝＝；B中“恰有2个是好的的概率”为p2＝＝；C中“4个全是好的的概率”为p3＝＝；D中“至多有2个是坏的的概率”为p4＝p1＋p2＋p3＝.故选B.
4．已知位于坐标原点的质点P每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　质点P向右移动2次，向上移动3次才能到达点(2,3)，因此质点P移动5次后位于点(2,3)的概率P＝C×2×3＝C×5＝.
5．(多选)某班级的全体学生平均分成6个小组，且每个小组均有4名男生和多名女生，现从各个小组中随机抽取一名同学参加社区服务活动．若抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为，则下列说法正确的是(　　)
A．该班级共有36名学生
B．第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为
C．抽取的6名学生中男、女生数量相同的概率为
D．抽取的6名学生中女生人数不少于5的概率为
答案　ACD
解析　设每个小组有x名学生，则每个小组中女生人数为x－4.∵抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为，∴抽取的6名学生全是女生的概率为6＝，解得x＝6，∴该班级共有6×6＝36名学生，A正确；第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为，B错误；抽取的6名学生中男、女生数量相同的概率为C×3×3＝，C正确；抽取的6名学生中女生人数不少于5的概率为C××5＋C×0×6＝，D正确．故选ACD.
二、填空题
6．某气象台天气预报的准确率为0.9，则4次预报中至少有3次准确的概率为________．
答案　0.9477
解析　由条件可知P(有3次准确)＋P(有4次准确)＝C×(0.9)3×(0.1)＋(0.9)4＝0.9477.
7．20件货物中夹杂3件次品，如果从中任取4件，那么4件中至多含有1件次品的概率是________．
答案　
解析　P＝＋＝.
8．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y＝2)＝________.
答案　
解析　∵X～B(2，p)，
∴P(X≥1)＝Cp(1－p)＋Cp2＝，
得p＝，又Y～B(3，p)，
∴P(Y＝2)＝C×2×＝.
三、解答题
9．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布列．
解　依题意X～B3，，则
P(X＝0)＝C×0×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3×0＝，
所以X的分布列为

X
0
1
2
3
P





10．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．
(1)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
(2)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列；
(3)随机选取3件产品，求这3件产品都不能通过检测的概率．
解　(1)设随机选取一件产品，能够通过检测为事件A，则事件A等于事件“选取一等品通过检测或者是选取二等品通过检测”，
则P(A)＝＋×＝.
故随机选取1件产品，能够通过检测的概率为.
(2)由题可知X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为

X
0
1
2
3
P





(3)设随机选取3件产品都不能通过检测为事件B，则事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”，所以P(B)＝×3＝.
所以随机选取3件产品，这3件产品都不能通过检测的概率为.

B级：“四能”提升训练

1．某电影播放后，为了解观众的满意度，某影院随机调查了12名观看此影片的观众，并用“10分制”对该电影进行评分，分数越高表明观众的满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为满意观众．如图所示的茎叶图记录了他们对该电影的评分(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)．

(1)求从这12人中随机选取2人，至少有1人为满意观众的概率；
(2)以本次抽样的频率作为概率，从观看此影片的观众中任选3人，记ξ表示抽到满意观众的人数，求ξ的分布列．
解　(1)设“所选取的2人中至少有1人为满意观众”为事件A，则事件为“所选取的2人中没有满意观众”，
∴P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝，
即所选取的2人中至少有1人为满意观众的概率为.
(2)由茎叶图可以得到抽样中满意观众的频率为＝，
即从观看此影片的观众中抽到满意观众的概率为.
由题意，知ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝C×3＝，
P(ξ＝1)＝C××2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×＝，
P(ξ＝3)＝C×3＝，
∴ξ的分布列为

ξ
0
1
2
3
P





2．一批玉米种子，其发芽率是0.8.
(1)问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%?
(2)若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．(lg 2≈0.3010)
解　记事件A＝“种一粒种子，发芽”，则P(A)＝0.8，P()＝1－0.8＝0.2.
(1)设每穴至少种n粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.
∵每穴种n粒相当于n次独立重复试验，记事件B＝“每穴至少有一粒发芽”，则
P()＝P(每穴一粒芽都没有发)＝C0.80(1－0.8)n＝0.2n.
∴P(B)＝1－P()＝1－0.2n.
由题意，令P(B)>98%，所以0.2n<0.02，两边取常用对数得，
nlg 0.2 ∴n>≈≈2.43，且n∈N，∴取n≥3.
故每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.
(2)∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，
∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为P＝C×0.82×0.2＝0.384.