高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算导学案，共18页。

1.1.2　空间向量基本定理
(教师独具内容)
课程标准：1.了解共线向量，共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量基本定理和共面向量定理，并能判断空间向量或空间点的共面问题.3.了解空间向量基本定理及其意义．
学法指导：在运用空间向量基本定理时，首先选取空间基底，用它们表示指定向量时，要结合图形，联想相关的公式和运算法则表示出与指定向量相接近的向量，再变形整理直至符合目标．
教学重点：应用共线向量基本定理与共面向量定理解决共线问题与共面问题；空间向量基本定理的应用．
教学难点：证明四点共面问题；应用空间向量基本定理解决问题.




对比平面向量基本定理，生活实际需要向三维空间发展，如美伊战争中，地面的坦克如何瞄准空中的飞机，这样就推广到空间向量基本定理．

知识点一 共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
知识点二 共面向量定理
(1)如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.
(2)判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y.
知识点三 空间向量基本定理
(1)如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0.表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．
(2)如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量．因此，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底.此时，a，b，c都称为基向量；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．

1．共线向量基本定理的推论
如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式O＝O＋ta.①
如图所示．

若在l上取A＝a，则①式可以化为O＝O＋tA＝(1－t)＋t.②
可得如下结论：对于空间任意点O，若有O＝λ＋(1－λ)O成立，则A，B，C三点共线．
这一结论可作为证明三点共线的常用方法．
2．对共面向量定理的理解
共面向量定理给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另一种形式，可以借此将已知共面条件转化为向量式，以方便向量运算．另外，若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有O＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．这一结论可作为判定空间中四个点共面的常用方法．
3．对空间向量基本定理的理解
(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，所以基底的选择范围很广，但在具体的题目或几何体中往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底．
注意：基底与基向量的区别，一个基底是由三个不共面的基向量组成的．
(2)建立基底的作用
将空间不同向量用同一组基向量表示，便于判断向量与向量之间的关系(如共线、共面等)．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量a，b，c共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．(　　)
(2)若向量e1，e2不共线，则对于空间任意向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)．(　　)
(3)若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.(　　)
(4)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)设e1，e2是平面内不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝________.
(2)已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，
若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.
(3)在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________.
答案　(1)－8　(2)　(3)0



题型一 共线向量
例1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.

求证：E，F，B三点共线．
[证明]　连接EF，EB，设＝a，＝b，＝c.
∵＝2，＝，
∴＝，＝.
∴＝＝b，＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c＝(a－b－c)．
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝，∴E，F，B三点共线．

1．判断向量共线的策略
(1)熟记共线向量的充要条件
①若a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；
②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.
(2)判断向量共线的关键：找到实数λ.
2．证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线：
(1)存在实数λ，使＝λ成立；
(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)；
(3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．

[跟踪训练1]　如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面．M，N分别是AC，BF的中点．试判断与是否共线？

解　∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋.
又＝＋＋＋＝－＋－－，
∴＋＋＝－＋－－，
∴＝＋2＋＝2(＋＋)，
∴＝2.
∴∥，即与共线.
题型二 共面向量
例2　已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A，B，M一定共面？
(1)＋＝3－；
(2)＝4－－.
[解]　解法一：(1)原式可变形为＝＋(－)＋(－)＝＋＋，即＝－－.
由共面向量定理知P与A，B，M共面．
(2)原式可变形为＝2＋－＋－＝2＋＋.
由共面向量定理可得P位于平面ABM内的充要条件可写成＝＋x＋y.
而此题推得＝2＋＋，∴P与A，B，M不共面．
解法二：(1)原式可变形为＝3－－.
∵3＋(－1)＋(－1)＝1，
∴B与P，A，M共面，即P与A，B，M共面．
(2)＝4－－，
∵4＋(－1)＋(－1)＝2≠1，∴P与A，B，M不共面．

1．利用四点共面求参数
共面向量定理的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于共面向量定理，不仅要会正用，也要能够逆用它求参数的值．
2．证明空间向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．
(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．
(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．

[跟踪训练2]　已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断M是否在平面ABC内．
解　(1)要证明三个向量共面，只需证明存在实数x，y，使＝x＋y；
∵＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)＝＋，即＝＋＝－－，∴向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内.
题型三 空间向量基本定理
例3　如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，A＝a，A＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：

(1)A；(2)A；(3)A；(4)A.
[解]　连接AC，AC′，AD′.
(1)A＝(A＋)＝(A＋A＋)＝(a＋b＋c)．
(2)A＝(A＋)＝(A＋A＋A＋)
＝(a＋2b＋c)＝a＋b＋c.
(3)A＝(＋)
＝[(A＋A＋)＋(A＋)]
＝(A＋2A＋2)＝a＋b＋c.
(4)A＝A＋C＝A＋
＝A＋(C＋)＝A＋
＝(A＋A)＋＝a＋b＋c.

用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．

[跟踪训练3]　空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设O＝a，O＝b，O＝c，试用基底{a，b，c}表示向量O及.
解　如图，连接AG，OH并延长相交于D，所以D为BC的中点，

O＝O＋A＝O＋A
＝O＋(O－O)＝O＋×(O＋O)
＝a＋(b＋c)＝a＋b＋c.
∵＝－a，O＝O＝×(O＋O)＝(b＋c)，
∴＝＋＝－a＋b＋c.
题型四 利用空间向量基本定理求空间向量数量积
例4　已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
[解]　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝b·＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)·＝·
＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2.

在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的数量积满足的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可．注意利用几何体中的垂直关系或者特殊角．

[跟踪训练4]　如图所示，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则·等于(　　)

A．0 B．1
C．2 D．3
答案　A
解析　∵·＝(＋)·(－)＝(－＋－)·(－)＝(－2＋)·(－)＝·－2－·＋·＋2－·，又易知·＝0，·＝0，·＝0，||＝||，∴·＝0.故选A.
题型五 利用空间向量基本定理结合数量积求向量的夹角
例5　已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1，▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，求〈，〉．
[解]　设AB＝a.如图所示．

∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·.
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴·＝0，·＝0，·＝0且·＝－a2.∴·＝－a2.
又·＝||||cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝＝－.
又〈，〉∈[0°，180°]，∴〈，〉＝120°.

利用cos〈a，b〉＝求向量夹角时，可结合共面向量定理和空间向量基本定理，用分解向量法求a·b.

[跟踪训练5]　已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求cos〈，〉．
解　如图，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，则a·b＝b·c＝c·a＝.因为＝(＋)＝(a＋b)，＝－＝－＝c－b，||＝||＝，所以·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－，所以cos〈，〉＝＝－.

题型六 利用空间向量基本定理结合向量数量积求距离
例6　在正四面体A－BCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN.
[解]　如图所示，||＝||＝||＝a，把题中所用到的量都用向量，，表示，于是＝＋＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋.

又·＝·＝·＝||2cos60°
＝||2＝a2，
∴·＝·＝2－·－·＋·＋2＋2＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.
故||＝＝a，
即MN＝a.

利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．

[跟踪训练6]　平行四边形ABCD中，AB＝2AC＝2且∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求点B，D间的距离．
解　如图，连接BD.由已知得AC⊥CD，AC⊥AB，折叠后AB与CD所成角为60°，于是，·＝0，·＝0，

且〈，〉＝60°或120°.
||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝22＋12＋22＋2×2×2cos〈，〉，
故||2＝13或5，解得||＝或，
即B，D间的距离为或.



1．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
答案　A
解析　由已知可得＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b，所以＝2，即，是共线向量，所以A，B，D三点共线．
2．若{e1，e2，e3}是空间的一组基底，又a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为(　　)
A.，－1，－ B．，1，
C．－，1，－ D．，1，－
答案　A
解析　xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3，由空间向量基本定理，得y＝－1，z＝－.
3．(多选)已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{M，M，M}成为空间的一组基底的是(　　)
A．O＝O＋O＋O
B．M＝M＋M
C．O＝O＋O＋O
D．M＝2－M
答案　AC
解析　对于A，因为＋＋＝≠1，所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确；对于C，因为1＋1＋1＝3≠1，所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故C正确；对于B，D，易知M，M，M共面，不能构成空间的一组基底，故B，D错误．故选AC.
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，则·＝________，·＝________.

答案　1　－1
解析　由题意，得·＝(＋＋)·＝·＋·＋·＝||2＝1.·＝·＝(＋)·(－)＝·＋·－·－·＝－||2＝－1.
5．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，M是AA′的中点，点G在对角线A′C上且CG∶GA′＝2∶1，设＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示，，，.
解　如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，

＝＋＝＋＝a＋b.
＝＋＝＋＝a＋b＋c.
＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
＝＝(a＋b＋c)．



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知{a，b，c}是空间的一组基底，则下列向量可以与向量m＝a＋b，n＝a－b构成空间的另一组基底的是(　　)
A．a B．b
C．c D．a＋2b
答案　C
解析　m，n与a，m，n与b，m，n与a＋2b共面，故不能构成基底，故选C.
2．已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点(　　)
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断是否共面
答案　B
解析　＝＋＋＝＋(＋)＋(＋)＝＋＋，∴－＝＋，∴＝＋.由共面向量定理，知P，A，B，C四点共面．
3．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，M，N分别为A1C1，BC的中点，则·＝(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
答案　B
解析　∵＝＋，＝＋，∴·＝·(－)＝·＝·＝·＋·－2＝0＋0－2＝－2.故选B.
4．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则(　　)
A．a∥e1
B．a∥e2
C．a与e1，e2共面
D．以上三种情况均有可能
答案　D
解析　∵λ2＋μ2≠0，∴当μ＝0时，λ≠0，此时，a＝λe1，∴a∥e1，同理，当λ＝0时，μ≠0，此时，a＝μe2，∴a∥e2；当λ≠0且μ≠0时，a＝λe1＋μe2，由共面向量定理可知a与e1，e2共面，故选D.
5．(多选)设{a，b，c}是空间的一组基底，则下列结论正确的为(　　)
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面
C．对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc
D．{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一组基底
答案　BCD
解析　由{a，b，c}是空间的一组基底，可知，对于A，若a⊥b，b⊥c，则a与c不一定垂直，故A错误；对于B，由基底概念知a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面，故B正确；对于C，对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc，故C正确；对于D，由a，b，c不共面，易知a＋b，b＋c，c＋a不共面，故{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一组基底，故D正确．故选BCD.
二、填空题
6．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________.
答案　0
解析　∵A，B，C三点共线，∴存在唯一实数k使＝k，即－＝k(－)，∴(k－1)＋－k＝0，又λ＋m＋n＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0.
7．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1的中心，a＝，b＝，c＝，＝xa＋yb＋zc，则x＝________，y＝________，z＝________.
答案　2　1　
解析　如图，＝＋＝＋(＋)＝2a＋b＋c＝xa＋yb＋zc.
所以x＝2，y＝1，z＝.

8.如图，已知棱长为1的正四面体O－ABC，边OA的中点为M，自O作平面ABC的垂线OH与平面ABC交于点H，与平面MBC交于点I，将用，，表示为________.

答案　＝＋＋
解析　易知H是正三角形ABC的中心，所以＝(＋＋)．又I在OH上，故存在实数λ，满足＝λ，故＝(＋＋)＝(2＋＋)．因为I在平面MBC内，所以＋＋＝1，所以λ＝，于是＝＋＋.
三、解答题
9．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M分所成的比为2∶1，N分所成的比为1∶2，设＝m，＝n，＝t，试将表示成m，n，t的关系式．

解　连接AN，则＝＋，由已知得四边形ABCD为平行四边形，故＝＋＝m＋n，又＝－＝－(m＋n)，＝＋＝＋＝＋(－)＝(t＋2n)，＝＋＝－(m＋n)＋(t＋2n)＝(n＋t－m)．
10．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥面ABCD，M是PC上的点，＝2，N为PD的中点．

(1)求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝2，求MN的长．
解　(1)取PC的中点E，连接NE，则＝－＝－(－)＝－
＝－＝－－(－＋＋)
＝－－＋，
所以x＝－，y＝－，z＝.
(2)因为PA＝AB＝1，AD＝2，且PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD，而||2＝|－－＋|2＝2＋2＋2＝，故MN＝||＝.
B级：“四能”提升训练
1．已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.

求证：(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
(2)∥；
(3)＝k.
证明　(1)由＝＋m，＝＋m，知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面．
(2)∵＝＋m＝－＋m(－)
＝k(－)＋km(－)＝k＋km
＝k(＋m)＝k，
∴∥.
(3)由(2)知＝－＝k－k＝k(－)＝k，
∴＝k.
2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．

(1)求证：⊥；
(2)求cos〈，〉．
解　(1)证明：结合题图知，＝－，＝(＋)＝＝＋－，则·＝(－)·＝||2－||2＝0，
故⊥.
(2)设PA＝AD＝AB＝2BC＝2，
由于＝－，＝＋，
则||2＝|－|2＝2－2·＋2＝8，故||＝2，
||2＝|＋|2＝||2＋2·＋||2＝5，故||＝，·＝(－)·＝2，
故cos〈，〉＝＝.