高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算导学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算导学案及答案，共16页。

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系
(教师独具内容)
课程标准：1.了解空间向量坐标的定义.2.掌握空间向量的坐标运算，会计算向量的长度及两向量的夹角.3.会利用向量的坐标关系，判定两个向量平行或垂直.4.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.5.掌握空间直角坐标系中两点之间的距离公式和中点坐标公式．
学法指导：空间向量的坐标运算实质是平面向量坐标运算的推广，两种向量的不同点是坐标形式不同，即表达方式不同，但运算方式并没有变，正因为如此，空间向量的运算法则，仅是在平面向量运算法则的基础上增加了竖坐标的运算规定，使得其有不同的表示形式．通过具体情境感受建立空间直角坐标系的必要性，通过类比的方法得出空间直角坐标系的定义、建系方法、空间中点坐标公式及两点之间的距离公式．
教学重点：利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角和距离问题，及点在空间坐标系中的坐标表示．
教学难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，立体几何坐标化、代数化.




已知F1＝(1,2,3)，F2＝(－2,3，－1)，F3＝(3，－4,5)，若F1，F2，F3共同作用在一个物体上，使物体从点M1(1，－2,1)移动到点M2(3,1,2)．你知道用什么方法求出合力所做的功吗？怎样求？

知识点一 空间中向量的坐标
(1)单位正交基底
一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底．
(2)向量的单位正交分解
在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解．
(3)向量的坐标
如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量．
知识点二 空间向量的运算与坐标的关系
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
(1)a＝b⇔x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2；
(2)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；
(3)ua＋v b＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)(其中u，v是实数)；
(4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
(5)|a|＝＝ ；
(6)当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝
＝.
知识点三 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
(1)a∥b(a≠0)⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔＝＝；
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
知识点四 空间直角坐标系
(1)定义
在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz.
(2)坐标轴
在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴．
(3)坐标平面
通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面，yOz平面，zOx平面．
(4)z轴的正方向
一般按照如下方式确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合．
(5)画法
在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直，如图①②所示．

(6)空间中点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，设M为空间中的一个点，过M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，设这些平面与x轴、y轴、z轴依次交于点P，Q，R，且P，Q，R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，将(x，y，z)称为点M的坐标，记作M(x，y，z).此时，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标)．
(7)卦限
三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限.
知识点五 空间向量坐标的应用
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
(1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；
(2)AB＝||＝ ；
(3)线段AB的中点M的坐标为.

1．利用空间向量的坐标运算证明直线垂直(或平行)的方法
在空间的两直线l1，l2上，分别取对应向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
要证l1⊥l2，只需证a⊥b，即证a·b＝0，也就是证明a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
要证l1∥l2，只需证a∥b，且无公共点，即证明a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)．
2．利用空间向量的坐标运算求两异面直线夹角的方法
若两异面直线的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，应利用cosα＝|cosθ|
＝，以防止在问题的答案中出现两异面直线所成角为钝角或余弦值为负值的错误．
3．特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示
点的
位置
x轴
y轴
z轴
xOy
平面
yOz
平面
zOx
平面
坐标
表示
(x,0,0)
(0，y,0)
(0,0，z)
(x，y,0)
(0，y，z)
(x,0，z)
4．空间两点间距离的求解
(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．
(2)若所给题目中未建立空间直角坐标系，需结合已知条件建立适当的空间直角坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算．
(3)空间两点间距离公式是平面两点间距离公式的推广．动点P(x，y，z)到定点P0(x0，y0，z0)的距离等于定长r(r>0)的轨迹方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2，此方程表示以点P0为球心，以r为半径的球面．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．(　　)
(2)若p＝xa＋yb＋zc，则p的坐标为(x，y，z)．(　　)
(3)空间直角坐标系中，点(1，，2)关于yOz平面的对称点为(－1，，2)．(　　)
(4)在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1，2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则＝(2,1,3)．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．做一做
(1)在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是(　　)
A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
(2)已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是________.
(3)已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，则满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标为________.
答案　(1)A　(2)　(3)(－1,1,2)



题型一 空间向量的运算与坐标的关系
例1　已知向量a＝(2，－1,2)，b＝(3，－4,0)，试求：
(1)2a－3b；(2)a·(－b)；(3)|a|，|b|；
(4)(2a－3b)·(2a＋3b)；(5)cos〈a，b〉．
[解]　(1)2a－3b＝(4，－2,4)－(9，－12,0)＝(－5,10,4)．
(2)a·(－b)＝(2，－1,2)·(－3,4,0)
＝2×(－3)＋(－1)×4＋2×0＝－10.
(3)|a|＝＝3，
|b|＝＝5.
(4)(2a－3b)·(2a＋3b)＝(2a)2－(3b)2
＝4|a|2－9|b|2＝4×9－9×25＝－189.
(5)cos〈a，b〉＝＝＝.

用坐标进行空间向量运算的两种方法
(1)用坐标公式直接计算；
(2)把向量的坐标形式设出来，建立方程组求解．

[跟踪训练1]　(1)已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，求向量b的坐标；
(2)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·2b＝－2，求x的值．
解　(1)b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1，2，－1)＝(2，－4,2)．
(2)由题意得c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，
∴(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
题型二 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
例2　已知a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．
(1)若|c|＝3，d＝b－a，且c∥d，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[解]　(1)设c＝λd，∵d＝b－a＝(－2，－1,2)，
∴c＝(－2λ，－λ，2λ)，
∴|c|＝＝3|λ|＝3.
解得λ＝±1.
∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，
∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，
解得k＝2或k＝－.

(1)平行与垂直的判断
①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．
②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.
(2)平行与垂直的应用
①适当引入参数(比如向量a，b(b≠0)平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程．
②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．

[跟踪训练2]　已知向量a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与向量b＋c夹角的余弦值．
解　(1)因为a∥b，所以＝＝，且y≠0，
解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．
又由b⊥c得b·c＝0，
故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，
得z＝2，此时c＝(3，－2,2)．
(2)由(1)得，a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，
因此向量a＋c与向量b＋c夹角θ的余弦值为
cosθ＝＝＝－.
题型三 确定空间中点的坐标
例3　在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．试写出点E，F，G，H的坐标．


[解]　如图，点E在z轴上，它的横、纵坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.

过点F作FM⊥AD于M，FN⊥DC于N，由平面几何知FM＝，FN＝，故点F的坐标为.
点G在y轴上，其横、竖坐标均为0，又CG＝CD，所以GD＝，故点G的坐标为.
过点H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，
故HK＝，CK＝.
所以DK＝，故点H的坐标为.

空间中点M的坐标的三种确定方法
(1)过M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M的指向和线段M1M的长度确定z坐标．
(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标．
(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作坐标轴的垂线即可确定点M的坐标．

[跟踪训练3]　如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知AB＝2，VO＝3，建立如图所示的空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．

解　∵底面是边长为2的正方形，∴CE＝CF＝1.
∵O点是坐标原点，∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)．
∵V在z轴上，VO＝3，
∴V(0,0,3).
题型四 空间中点的对称
例4　在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于x轴对称的点的坐标是________；关于xOy平面对称的点的坐标是________；关于点A(1,0,2)对称的点的坐标是________.
[解析]　点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，
所以点P关于x轴的对称点P1的坐标为(－2，－1，－4)．
点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量均不变，在z轴的分量变为原来的相反数，
所以点P关于xOy平面的对称点P2的坐标为(－2,1，－4)．
设点P关于点A的对称点的坐标为P3(x，y，z)，由中点坐标公式可得解得故点P关于点A(1,0,2)对称的点P3的坐标为(4，－1，0)．
[答案]　(－2，－1，－4)　(－2,1，－4)　(4，－1,0)

求空间对称点的规律方法
(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，需要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
(2)空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：
①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；
②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；
③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；
④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；
⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；
⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；
⑦关于zOx坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．

[跟踪训练4]　已知在空间直角坐标系中点P(2,5，－3)．
(1)求点P关于y轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于yOz平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点N(－5,4,3)对称的点的坐标．
解　(1)由于点P关于y轴对称后，它在y轴的分量不变，在x轴、z轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P1(－2，5,3)．
(2)由于点P关于yOz平面对称后，它在y轴、z轴的分量不变，在x轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P2(－2,5，－3)．
(3)设所求对称点为P3(x，y，z)，则点N为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得－5＝，4＝，3＝，
即x＝2×(－5)－2＝－12，y＝2×4－5＝3，
z＝2×3－(－3)＝9，故P3(－12,3,9).
题型五 空间向量坐标的应用
例5　正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为面A1B1C1D1的中心，求AP，B1P，AB1的长度，并证明AP⊥B1P.
[解]　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，P，由空间两点间的距离公式得AP＝ ＝，

B1P＝ ＝，
AB1＝＝，
∴AP2＋B1P2＝AB，∴AP⊥B1P.

空间直角坐标系中的两点之间的距离公式
(1)本例的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该说是既简捷又易行，方法的对照比较，也更体现出了坐标法解题的优越性．
(2)依据题中的垂直关系，建立恰当的坐标系，利用空间中两点间的距离公式可以求距离、证垂直、求角度等，为我们提供了新的解题方法．
(3)在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|A|＝，即平面直角坐标系中的两点之间的距离公式可推广到空间直角坐标系中．

[跟踪训练5]　已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)．
(1)求△ABC中最短边的长度；
(2)求AC边上中线的长度．
解　(1)由空间两点间距离公式得
AB＝＝3，
BC＝＝，
AC＝＝，
∴△ABC中最短边是BC，其长度为.
(2)由中点坐标公式，得AC的中点坐标为.
∴AC边上中线的长度为
＝.



1．已知向量a＝(1，－2,1)，a＋b＝(3，－6,3)，则b等于(　　)
A．(2，－4,2) B．(－2,4,2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
答案　A
解析　b＝(a＋b)－a＝(3，－6,3)－(1，－2,1)＝(2，－4，2)，故选A.
2．已知向量a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于(　　)
A．3 B．2
C． D．5
答案　A
解析　∵a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(1＋2＋6,0＋1＋2,1－1＋0)＝(9,3,0)，∴|a－b＋2c|＝＝3.
3．(多选)已知向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值可能为(　　)
A．－3 B．1
C．3 D．－1
答案　AB
解析　∵|a|＝＝6，∴x＝±4.又a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3，当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.故选AB.
4．已知空间向量a＝(x－1,1，－x)，b＝(－x,3，－1)，若a⊥b，则x＝________.
答案　3或－1
解析　由题意，得(x－1)(－x)＋3＋x＝0，即x－x2＋3＋x＝0，解得x＝3或x＝－1.
5．已知点A(4,4,0)，B(3，a，a－2)，且AB＝.
(1)若点C的坐标为(2,2,2)，求证：A，B，C三点共线；
(2)若点D的坐标为(5,4,1)，试判断△ABD的形状．
解　(1)证明：由两点间的距离公式得
AB＝＝，解得a＝3，
所以B(3,3,1)，
所以AC＝＝2，
BC＝＝，
又AB＝，所以AB＋BC＝AC，故A，B，C三点共线．
(2)AD＝＝，
BD＝＝，又AB＝，
所以AB2＋AD2＝BD2，故△ABD为直角三角形．



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知向量a＝(1－t,2t－1,3)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为(　　)
A．2 B．
C． D．2
答案　D
解析　由题意知a－b＝(－1－t，t－1,3－t)，则|a－b|＝＝ .易知当t＝1时，|a－b|有最小值，为2，故选D.
2．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy和y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为(　　)
A．7 B．－7
C．－1 D．1
答案　D
解析　P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(－4，－2，－3)，点P(－4，－2,3)关于y轴的对称点的坐标为(4，－2，－3)，∵点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别为(a，b，c)，(e，f，d)，∴c＝－3，e＝4，∴c＋e＝1.
3．已知a＝(3,2－x，x)，b＝(x,2,0)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－4) B．(－4,0)
C．(0,4) D．(4，＋∞)
答案　A
解析　∵a，b的夹角为钝角，∴a·b<0，即3x＋2(2－x)＋0·x＝4＋x<0，∴x<－4.又若夹角为π，则存在λ<0，使a＝λb，∴此方程组无解，∴x∈(－∞，－4)，故选A.
4．正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，点P在对角线BD′上，且BP＝BD′，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P的坐标为(　　)

A. B．
C. D．
答案　D
解析　如图所示，过点P分别作平面xOy和z轴的垂线，垂足分别为E，H，过E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为F，G，由于BP＝BD′，所以DH＝DD′＝，DF＝DA＝，DG＝DC＝，所以点P的坐标为，故选D.

5．(多选)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(3,0，－1)，c＝(－1，5，－3)，下列等式中正确的是(　　)
A．(a·b)c＝b·c
B．(a＋b)·c＝a·(b＋c)
C．(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2
D．|a＋b＋c|＝|a－b－c|
答案　BCD
解析　A项，左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；B项，左边＝(4,2,2)·(－1,5，－3)＝0，右边＝(1,2,3)·(2,5，－4)＝2＋10－12＝0，∴左边＝右边，正确；C项，a＋b＋c＝(3,7，－1)，左边＝32＋72＋(－1)2＝59，右边＝12＋22＋32＋32＋0＋(－1)2＋(－1)2＋52＋(－3)2＝59，∴左边＝右边，正确；D项，由C可得左边＝，∵a－b－c＝(－1，－3,7)，∴|a－b－c|＝，∴左边＝右边，正确．故选BCD.
二、填空题
6．在空间直角坐标系中，过点A(1,2，－3)作z轴的垂线，交z轴于点M，则垂足M的坐标为________.
答案　(0,0，－3)
解析　由于z轴上的点的横、纵坐标都为0，且点M的竖坐标不变，仍为－3，所以垂足M的坐标为(0,0，－3)．
7．已知A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＝________，μ＝________.
答案　0　0
解析　＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，＝(2，－2,6)，由∥，得＝－＝.解得λ＝0，μ＝0.
8．已知边长为4的正方形ABCD所在平面外一点P与正方形的中心O的连线PO垂直于平面ABCD，且PO＝6，则PO的中点M到△PBC的重心N的距离为________.
答案　
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,2,0)，C(－2,2,0)，P(0,0,6)，由题意得，M(0，0,3)，N，

则＝，
于是||＝＝.
故点M到△PBC的重心N的距离为.
三、解答题
9．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝3，AA1＝1，点M在A1C1上，且MC1＝2A1M，点N在D1C上，且为D1C的中点，建立适当的空间直角坐标系，求M，N两点间的距离．

解　如图所示，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则C(2,3,0)，D1(0,3,1)，A1(0,0,1)，C1(2,3,1)．
∵N为D1C的中点，∴N.
又MC1＝2A1M，∴M.
∴MN＝＝，
即M，N两点间的距离是.
10．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以，为边的平行四边形的面积；
(2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标．
解　(1)由题意，可得＝(－2，－1,3)，＝(1，－3，2)，所以cos〈，〉＝＝＝＝，所以sin〈，〉＝，
所以以，为边的平行四边形的面积
S＝2×||||sin〈，〉＝14×＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，由题意，得
解得或
所以向量a的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
B级：“四能”提升训练
1．如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上．

(1)当2C1Q＝QC时，求PQ；
(2)当点Q在棱CC1上移动时，求PQ的最小值．
解　(1)由题意，知点C1(0,1,1)，点D1(0,0,1)，
点C(0,1,0)，点B(1,1,0)，点P是体对角线D1B的中点，则点P.
因为点Q在棱CC1上，且2C1Q＝QC，
所以点Q的坐标为.
由空间两点的距离公式，得
PQ＝＝
＝.
(2)当点Q在棱CC1上移动时，设点Q(0,1，a)，a∈[0,1]．
由空间两点的距离公式得
PQ＝
＝，
故当a＝时，PQ取得最小值，
此时点Q.
2．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)．
(1)若∥，∥，求点D的坐标；
(2)是否存在实数α，β，使得＝α＋β成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
解　(1)设D(x，y，z)，则＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)，＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)．
因为∥，∥，
所以
解得即D(－1,1,2)．
(2)依题意＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(0，－1,2)．
假设存在实数α，β，使得＝α＋β成立，
则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)，
所以
故存在α＝β＝1，使得＝α＋β成立．