新教材2023年高中数学第1章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.1空间中的点直线与空间向量导学案新人教B版选择性必修第一册

这是一份新教材2023年高中数学第1章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.1空间中的点直线与空间向量导学案新人教B版选择性必修第一册，共18页。

1．2　空间向量在立体几何中的应用
1.2.1　空间中的点、直线与空间向量
(教师独具内容)
课程标准：1.理解点的位置向量和直线的方向向量.2.会用向量方法证明空间的线线平行或不平行.3.会用向量运算证线线垂直，会求空间中两条直线所成的角.4.会用空间向量来研究异面直线，了解异面直线间的距离．
学法指导：用向量解决几何问题，建立点、直线与向量的关系，利用向量来确定空间直线的平行、垂直、异面、夹角等问题，体现向量解决问题的灵活性．
教学重点：利用向量方法解决空间两直线的平行、垂直、异面等位置关系；求空间两直线所成的角．
教学难点：利用直线的方向向量研究两直线的位置关系.




确定平面内点的位置，通常采用两种方法——“平面直角坐标系内的坐标(x，y)”或“该点相对于某一已知点的方向和距离”．那么空间呢？在空间，我们也可以用“该点在空间直角坐标系内的坐标(x，y，z)”或“在空间中该点相对于某一已知点的方向和距离”来描述．
两个词——“方向”“距离”，给我们什么启示？

知识点一 空间中的点与空间向量
一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量．
知识点二 空间中的直线与空间向量
(1)一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l.
(2)如果A，B是直线l上两个不同的点，则v＝就是直线l的一个方向向量．
(3)如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行.
(4)如果v为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定．
(5)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2，或l1与l2重合.
知识点三 空间中两条直线所成的角
设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则
①θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉.
②sinθ＝sin〈v1，v2〉或cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.
③l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝⇔v1⊥v2.
知识点四 异面直线与空间向量
(1)设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量
①如果l1与l2异面，则v1与v2是不可能平行的．
②如果v1与v2不平行，则l1与l2可能异面，也可能相交.
③“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件．
④如下图，A∈l1，B∈l2，“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件．

(2)一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段．空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．

1．直线的方向向量
(1)在直线上给定一个定点A和它的一个方向向量v，对于直线上的任意一点B，有＝λv，这样可以求直线上任一满足要求的点的坐标．
(2)空间中P，A，B三点共线的充要条件是
＝λ＋μ(λ＋μ＝1)．
2．空间中两条直线所成的角
设空间中两条直线所成的角为θ，当两直线垂直时θ＝90°，当两直线平行时θ＝0°，即不平行也不垂直的两条直线所成的角θ∈(0°，90°)，所以空间中两条直线所成角的范围为[0°，90°]．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l的方向向量是唯一的．(　　)
(2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　　)
(3)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．(　　)
(4)直线上任意两个不同的点A，B表示的向量都可作为该直线的方向向量．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知直线l1，l2的方向向量分别是v1＝(1,2，－2)，v2＝(－3，－6,6)，则直线l1与l2的位置关系为________.
(2)两向量v1＝(2,0,3)，v2＝(－3,0,2)，则以向量v1，v2为方向向量的直线l1，l2的夹角为________.
(3)已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
答案　(1)平行　(2)　(3)－14　6



题型一 空间中点的位置的确定
例1　已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且AC＝AB，则C点坐标为(　　)
A. B．
C. D．
[解析]　设C(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)，又＝(－2，－6，－2)，＝，∴(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)，解得x＝，y＝－1，z＝，
∴C，故选C.
[答案]　C

解决此类问题的关键是把已知的长度关系转化为向量关系，从而得到要求点的坐标．

[跟踪训练1]　已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以的方向为正方向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：

①AP∶PB＝1∶2；
②AQ∶QB＝2∶1.
求点P和点Q的坐标．
解　由AP∶PB＝1∶2，得＝2，
即－＝2(－)，＝＋.
设点P的坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)＝(2，4,0)＋(1,3,3)，
即x＝＋＝，y＝＋1＝，z＝0＋1＝1.
因此，P点的坐标是.
因为AQ∶QB＝2∶1，
所以＝－2，－＝－2(－)，＝－＋2.
设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)，
即x′＝0，y′＝2，z′＝6.
因此，Q点的坐标是(0,2,6).
题型二 向量法证明直线与直线平行
例2　如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q，R分别是O1B1，AE的中点．求证：PQ∥RS.

[证明]　证法一：如图，建立空间直角坐标系，

则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0，0,2)，A1(3，0,2)，B1(0,4,2)，E(3,4,0)．
∵AP＝2PA1，
∴P.
∵SB1＝2BS，∴S.
又Q，R分别为O1B1和AE的中点，
∴R(3,2,0)，Q(0,2,2)，
∴＝＝，∴∥，
又R∉PQ，∴PQ∥RS.
证法二：设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＋＝－＋＝c－a＋b，＝＋＋＋
＝－－＋＋＝－a＋b＋c.
∴＝，∴∥，又R∉PQ，∴PQ∥RS.

(1)通过建系，把证明平行问题转化为代数运算，思路清晰，在以后证线面关系时，只要能建系的尽量用此法，也就是坐标法．
(2)通过向量运算证明平行问题，此种方法往往在不建系的情况下选用，但要注意根据条件合理选取基底．

[跟踪训练2]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．

证明　以点D为坐标原点，{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F，∴＝，＝，＝，＝，∴＝，＝，∴∥，∥，
又F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四边形AEC1F是平行四边形.

题型三 利用向量证明两直线垂直或求两直线所成的角
例3　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD.应用空间向量方法解决下列问题：

(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值．
[解]　如图，建立空间直角坐标系．由已知得E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G.

(1)证明：E＝－＝，＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1，0，－1)，
·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0.
得E⊥，∴EF⊥B1C.
(2)＝－(0,1,1)＝，
||＝＝，
由(1)得|E|＝＝，且E·＝×0＋×＋×(－1)＝，
∴cos〈E，〉＝＝，
∴EF与C1G所成角的余弦值是.

(1)将线线垂直问题转化为向量垂直问题后，可以选择基向量法也可用坐标法，熟练掌握证明线线垂直的向量方法是关键．
(2)向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而异面直线所成角的范围是，故异面直线所成角的余弦值一定大于或等于0.
(3)利用向量求异面直线夹角的方法


[跟踪训练3]　(1)直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠ACB＝90°，D1，E1分别为A1B1，A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，则BD1与AE1所成角的余弦值为(　　)
A. B．
C． D．
(2)已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是BB1与CA1的中点．求证：MN⊥BB1，MN⊥A1C.
答案　(1)C　(2)见解析
解析　(1)如图所示，以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设||＝a，

则A(a,0,0)，B(0，a,0)，E1，D1，
＝，＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.故选C.
(2)证明：设正方体的棱长为1，如图，

以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则M，
B(1，0,0)，C(1，1,0)，A1(0,0,1)，N，B1(1，0,1)，所以＝，＝(1,1，－1)，＝(0,0,1)．
所以·＝×1＋×1＋0×(－1)＝0，·＝×0＋×0＋0×1＝0.
即MN⊥BB1，MN⊥A1C.



1．若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
答案　A
解析　由题意，可得直线l的一个方向向量＝(2,4,6)，又＝(2,4,6)＝(1,2,3)，∴向量(1,2,3)是直线l的一个方向向量．故选A.
2．设l1的方向向量a＝(1,2，－2)，l2的方向向量b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则m＝(　　)
A．1 B．2
C． D．3
答案　B
解析　∵l1⊥l2，∴a⊥b，即a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝0，∴m＝2，故选B.
3．(多选)如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA ，EA＝AB＝DA＝2CB，EA⊥AB，M是EC的中点．则下述结论正确的是(　　)

A．DM⊥EB B．BD⊥EC
C．DE⊥BM D．EA⊥CD
答案　AD
解析　以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，并设EA＝DA＝AB＝2CB＝2，则

E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,1)，
D(0,0,2)，M，＝，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝(0，－2,2)，＝(2,0，－2)，＝，＝(－2,0，0)，＝(0，－2,1)，仅有·＝0，·＝0，从而得DM⊥EB，EA⊥CD.故选AD.
4．已知直线l的方向向量v＝(2,1,3)，且l过A(0，y,3)和B(－1，－2，z)两点，则y＝________，z＝________.
答案　－　
解析　∵＝(－1，－2－y，z－3)＝λ(2,1,3)，
∴λ＝－，－2－y＝－，z－3＝－，即y＝－，z＝.
5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与C1A所成角的大小．
解　解法一：设AB＝AC＝AA1＝a，所以A1B＝a＝C1A，则cos〈，〉＝
＝
＝
＝＝，故向量，所成角为，
即异面直线A1B与C1A所成角的大小为.
解法二：以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB＝AC＝AA1＝1，则A(0，0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，
所以＝(1,0，－1)，
＝(0，－1，－1)，则
cos〈，〉＝
＝＝，从而〈，〉＝，即异面直线A1B与C1A所成角的大小为.
解法三：由题意可知直三棱柱ABC－A1B1C1可补成正方体ABCD－A1B1C1D1，如图，显然AC1∥BD1，则直线A1B和BD1所成角的大小等于直线A1B与C1A所成角的大小．设AB＝AC＝AA1＝1，易知A1B＝BD1＝A1D1＝，即△A1BD1是等边三角形，从而∠A1BD1＝，因此，直线A1B与C1A所成角的大小为.




A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知A，B，C三点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5，1)，C(3,7，λ)，若AB⊥AC，则λ等于(　　)
A．28 B．－28
C．14 D．－14
答案　D
解析　＝(－2，－6，－2)，＝(－1,6，λ－3)，∵AB⊥AC，∴·＝0，即2－36－2(λ－3)＝0，∴λ＝－14，故选D.
2．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为(　　)
A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17)
C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)
答案　B
解析　设B(x，y，z)，＝(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，λ>0，故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，由(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－7)2＝342，得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18,17，－17)．
3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)

A．45° B．60°
C．90° D．30°
答案　B
解析　以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则E，F，G，H.∴＝，＝，cos〈，〉＝＝－，故选B.
4．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝2，CC1＝，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为(　　)
A．1 B．
C． D．
答案　A
解析　设线段A1B1，AB的中点分别为O，D，连接OC1，OD，则OC1⊥平面ABB1A1，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则A(－1,0，)，B1(1,0,0)，B(1，0，)，C1(0，，0)，所以＝(2,0，－)，＝(－1，，－)，因为·＝(2,0，－)·(－1, ，－)＝0，所以⊥，即异面直线AB1和BC1所成的角为直角，则其正弦值为1.

5. (多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q分别为棱A1B1，DD1的中点，则下列说法正确的是(　　)

A．PQ⊥AC1
B．BQ⊥AC1
C．PQ⊥CD1
D．PC⊥AD1
答案　ACD
解析　设正方体的棱长为1，以点A1为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则P，Q，A(0，0,1)，C1(1，1,0)，B(1,0,1)，C(1，1,1)，D1(0,1,0)，∴＝，＝(1,1，－1)，＝，＝(－1,0，－1)，＝，＝(0,1，－1)．∵·＝－×1＋1×1＋×(－1)＝0，∴⊥，故A正确；∵·＝－1×1＋1×1＋×(－1)＝，故B错误；∵·＝－×(－1)＋1×0＋×(－1)＝0，∴PQ⊥CD1，故C正确；∵·＝×0＋1×1＋1×(－1)＝0，∴PC⊥AD1，故D正确．故选ACD.
二、填空题
6．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3，0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的位置关系是________.
答案　平行
解析　∵A＝(－2，－2,2)，C＝(1,1，－1)，∴A＝－2，即直线AB与CD平行．
7．已知直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－1)，b＝(x,2y,2)，若l1∥l2，则x＝________，y＝________.
答案　－2　－2
解析　由l1∥l2，可知a∥b，所以(x,2y,2)＝λ(1,2，－1)，解得x＝－2，y＝－2.
8．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则P点坐标为________.
答案　
解析　＝(－1，－1,1)，＝(2,0,1)，＝(－x,1，－z)，∴·＝0，·＝0，
即x－1－z＝0，①
－2x－z＝0，②
由①②得x＝，z＝－，∴P.
三、解答题
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，G，H分别是CC1，CD和A1C1的中点．
证明：AB1∥GE，AB1⊥EH.
证明　如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz，设正方体的棱长为1，则A(0，0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，由中点的性质得E，

G，H.＝(1,0,1)，＝，＝，
∵＝2，·＝1×＋0＋1×＝0，
∴∥，⊥.即AB1∥GE，AB1⊥EH.
10.如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．

(1)求cos〈，〉的值；
(2)求证：BN⊥C1M，BN⊥C1N.
解　(1)以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz.
依题意，得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，B(0,1,0)，
则＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3，
||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
(2)证明：依题意，得C1(0,0,2)，N(1,0,1)，M，
∴＝，＝(1,0，－1)，＝(1，－1，1)，
∴·＝×1＋×(－1)＋0×1＝0，
·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0，
∴⊥，⊥，即BN⊥C1M，BN⊥C1N.
B级：“四能”提升训练
1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置．

解　以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．

设E(1，t,0)(0≤t≤2)，则A(1，0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0，2,0)，＝(1,0，－1)，＝(1，t－2,0)，
根据数量积的定义及已知得，
cos60°＝＝＝，
解得t＝1，所以点E的位置是AB的中点．
2．如右图，正四棱锥S－ABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，O为底面ABCD的中心．

(1)求CE的长；
(2)求异面直线BE与SC所成角的余弦值；
(3)若OG⊥SC，垂足为G，求证：OG⊥BE.
解　如图，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．

因为侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，
所以A，S，C，B，E.
(1)＝，
所以CE＝||＝＝.
(2)因为＝，＝，
所以cos〈，〉＝＝＝－，
故异面直线BE和SC所成角的余弦值为.
(3)证明：因为G在SC上，所以与共线，
可设＝λ＝，
则＝＋＝＋
＝.
又⊥，所以·＝0，
即λ－(1－λ)＝0，所以λ＝，
所以＝.又＝，
所以·＝－＋0＋＝0，
所以⊥，即OG⊥BE.