人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量学案，共18页。

1.2.2　空间中的平面与空间向量
(教师独具内容)
课程标准：1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.2.会用平面的法向量证明直线与平面及平面与平面平行、垂直.3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题．
学法指导：在学习用空间向量方法证明平行关系、垂直关系时应先复习第四册中学习的线面、面面平行与垂直的判定定理，将这种关系的判断转化为向量间的代数运算，体现向量的工具性作用．
教学重点：利用向量的方法解决平行与垂直的证明问题；运用三垂线定理及其逆定理证明垂直问题．
教学难点：利用平面的法向量证明直线与平面平行、垂直以及三垂线定理及其逆定理的应用.




在解决空间中线面的位置关系时，我们常想到的方法是传统的立体几何法．然而此方法有时并不好用，特别是图形比较复杂时，那么还有别的什么方法吗？它又是通过什么途径来解决线面位置关系的相关问题呢？

知识点一 平面的法向量
(1)定义
如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量．此时，也称n与平面α垂直，记作n⊥α.
(2)性质
①如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量；
②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行；
③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定．
(3)判断直线与平面平行或垂直
已知v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则
n∥v⇔l⊥α；
n⊥v⇔l∥α，或l⊂α.
(4)判断两个平面平行或垂直
设n1，n2分别是平面α1，α2的法向量，则
n1⊥n2⇔α1⊥α2；
n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合.
知识点二 三垂线定理及其逆定理
(1)射影
①已知空间中的平面α以及点A，过点A作α的垂线l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的射影(也称为投影)．
②图形F上所有点在平面α内的射影所组成的集合F′，称为图形F在平面α内的射影．
(2)三垂线定理及其逆定理
①三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
②三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．

1．平面的法向量定义及应用
(1)平面的法向量不唯一，并且垂直于平面α的所有共面向量．
(2)直线与平面垂直的判定，必须证直线与平面内的两条相交直线垂直，至于两直线与已知直线是否有公共点，并不重要．
2．三垂线定理与逆定理
(1)从条件上看，三垂线定理的条件是平面内的直线和斜线的射影垂直，其逆定理的条件是平面内的直线和斜线垂直．
(2)从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题，而逆定理正好相反．
(3)不论定理还是逆定理，已知直线必须是平面内的一条直线．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知直线l垂直于α，向量a平行于直线l，则a是平面α的法向量．(　　)
(2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(　　)
(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(　　)
(4)平面的法向量唯一．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t的值为________.
(2)已知直线l∥平面α，且直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m＝________.
(3)在平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若n为平面ABC的法向量，且n＝(－1，y，z)，则y＝________，z＝________.
答案　(1)5　(2)－8　(3)1　0



题型一 求平面的法向量
例1　已知点A(2,0,0)，B(0,5,0)，C(0,0,3)，求平面ABC的单位法向量．
[解]　设单位法向量n＝(x，y，z)，因为＝(－2，5,0)，＝(－2,0,3)，
由法向量的定义及题意得
解得n＝或n＝.

利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的一个法向量为n＝(x，y，z)．
(2)选向量：在平面内选取两个不共线的向量，.
(3)列方程组：由列出方程组．
(4)解方程组：
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．
(6)得结论：得到平面的一个法向量．

[跟踪训练1]　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．

解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，，0)，E，B(1，0,0)，C(1，，0)，于是＝，＝(1，，0)．

设n＝(x，y，z)为平面ACE的一个法向量，
则即所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，).
题型二 证明平行问题
例2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，证明：平面A1BD∥平面CB1D1.

[证明]　以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1.

则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1，1,1)，C(0,1,0)．
∴＝(－1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(1,1,0)，＝(0,1，－1)，
设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则⇒
令z1＝1，得x1＝－1，y1＝1.
∴平面A1BD的一个法向量为n1＝(－1,1,1)．
设平面CB1D1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则⇒
令y2＝1，得x2＝－1，z2＝1.
∴n2＝(－1,1,1)，∴n1＝n2，即n1∥n2.
∴平面A1BD∥平面CB1D1.

利用向量证明平行问题时，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．

[跟踪训练2]　如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．

证明：直线MN∥平面OCD.
证明　如图，作AP⊥CD于点P，连接OP，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，则P，D，O(0,0,2)，

M(0,0,1)，N.
故＝，＝，＝.
设平面OCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，即
解得x＝0，y＝2z，取z＝，解得n＝(0,4，)．
∵·n＝×0＋×4＋(－1)×＝0，
又MN⊄平面OCD，∴MN∥平面OCD.
题型三 证明垂直问题
例3　在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
求证：(1)平面EFG⊥平面PBC；
(2)EG⊥BC，PG⊥EG.
[证明]　(1)证法一：如右图，以三棱锥的顶点P为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0，0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0，0,0)，于是＝(3,0,0)，＝(1,0,0)，

故＝3，∴PA∥FG.
而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.
又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
证法二：同证法一，建立空间直角坐标系，则E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，
∴＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．
设平面EFG的一个法向量是n＝(x，y，z)，
则有n⊥，n⊥，
∴令y＝1，得z＝－1，x＝0，
即n＝(0,1，－1)．
显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．
∵n·＝0，
∴n⊥，即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC.
(2)∵＝(1，－1，－1)，＝(0，－3，3)，＝(1,1,0)，
∴·＝3－3＝0，·＝1－1＝0，
∴EG⊥BC，PG⊥EG.

利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．

[跟踪训练3]　如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点．证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.

证明　由题意得AB，BC，B1B两两垂直，以B为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E.则＝(0,0,1)，
＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝.
设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
则⇒
令x1＝1，得y1＝1，∴n1＝(1,1,0)，
设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则⇒
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1，∴n2＝(1，－1,4)．
∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，
∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
题型四 三垂线定理及其逆定理的应用
例4　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点．求证：EO⊥平面A1DB.
[证明]　证法一：取F，G分别为DD1和AD的中点，连接EF，FG，GO，AC.
由正方体的性质知FG为EO在平面ADD1A1上的射影，OC为OE在平面ABCD上的射影．
又A1D⊥FG，∴A1D⊥EO(三垂线定理)．
又AC⊥BD，∴EO⊥BD(三垂线定理)．
又A1D∩BD＝D，∴EO⊥平面A1DB.
证法二：连接AC，A1O，A1E，A1C1，设正方体的棱长为2，由证法一已证BD⊥OE，又OE2＝()2＋12＝3，
A1O2＝22＋()2＝6，A1E2＝(2)2＋12＝9.
∴A1E2＝OE2＋A1O2.
∴A1O⊥OE，又A1O⊂平面A1DB，BD⊂平面A1BD，且A1O∩BD＝O，∴OE⊥平面A1DB.

三垂线定理及逆定理是证明空间两直线垂直的一种基本方法．从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题；逆定理恰好相反．用三垂线定理及其逆定理证明直线与直线垂直的关键是构造三垂线定理的基本图形．构造基本图形有以下三个环节：


[跟踪训练4]　如图，P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，若O，Q分别是△ABC和△PBC的垂心，且PQ∩AO＝E，求证：OQ⊥平面PBC.

证明　如图，连接BO并延长交AC于点F，连接BQ并延长交PC于点M，连接FM.

∵O是△ABC的垂心，
∴BC⊥AE，
∵Q是△PBC的垂心，
∴BC⊥PE，
又AE∩PE＝E，
∴BC⊥平面PAE，
∵OQ⊂平面PAE，∴OQ⊥BC.
∵PA⊥平面ABC，BF⊂平面ABC，∴BF⊥PA，
∵O是△ABC的垂心，∴BF⊥AC.
又PA∩AC＝A，∴BF⊥平面PAC，
则FM是BM在平面PAC上的射影，
∵Q为△PBC的垂心，∴BM⊥PC，
据三垂线定理的逆定理，得FM⊥PC，
又BM∩FM＝M，∴PC⊥平面BFM，
又OQ⊂平面BFM，∴OQ⊥PC，
又PC∩BC＝C.∴OQ⊥平面PBC.



1．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1,2,1)，c＝与平面α都平行，则向量a等于(　　)
A. B．
C. D．
答案　D
解析　由题意，知a·b＝0，a·c＝0，
即解得
所以a＝.
2．已知平面α的一个法向量为(1，－2,2)，平面β的一个法向量为(－2,4，k)，若α∥β，则实数k的值为(　　)
A．5 B．4
C．－4 D．－5
答案　C
解析　若α∥β，则向量(1，－2,2)与向量(－2,4，k)共线，∴存在实数λ使(－2,4，k)＝λ(1，－2,2)，
∴∴λ＝－2，k＝－4.故选C.
3．(多选)下列命题中正确的是(　　)
A．如果平面α内的一条直线l与平面α外的一条直线l′在平面α内的射影垂直，则l⊥l′
B．如果直线l与平面α外的一条直线l′垂直，则l与l′在平面α内的射影垂直
C．如果向量a和直线l在平面α内的射影垂直，则a⊥l
D．如果非零向量a和平面α平行，且和直线l垂直，直线l不与平面α垂直，则a垂直于l在平面α内的射影
答案　AD
解析　由三垂线定理及其逆定理，知A，D正确．
4．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
答案　2∶3∶(－4)
解析　由题意，知＝，＝.由于a为平面α的法向量，所以a·＝0，
a·＝0，即所以
所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
5．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.

证明　证法一：如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)．
∵D为BC的中点，
∴D点坐标为(1,1,0)，
∴＝(1,1,0)，＝(0,0，)，＝(－2,2,0)，
∴·＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，
·＝0×(－2)＋0×2＋×0＝0，
∴⊥，⊥，
∴BC⊥AD，BC⊥AA1.
又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD.
又BC⊂平面BCC1B1，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
证法二：同证法一建系后，得＝(0,0，)，
＝(1,1,0)，＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．
设平面A1AD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1,0)．
由得
令y2＝1，则x2＝1，z2＝，∴n2＝.
∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是(　　)
A．圆 B．直线
C．平面 D．线段
答案　C
解析　·n＝0是平面的向量表示式．
2．平面α与β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，则平面α与β的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．无法判断
答案　B
解析　a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，所以a·b＝0，所以a⊥b，所以α⊥β.
3．已知＝(－3,1,2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为(　　)
A．AB⊥α B．AB⊂α
C．AB与α相交但不垂直 D．AB∥α
答案　D
解析　因为n·＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D.
4．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，点G是点P在平面ABC上的射影，则点G是△ABC的(　　)

A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
答案　C
解析　连接AG，BG，则AG，BG分别为AP，BP在平面ABC上的射影．因为PA⊥BC，所以由三垂线定理的逆定理知AG⊥BC，同理，BG⊥AC，所以点G是△ABC的垂心．故选C.
5．(多选)如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为(　　)


答案　AD
解析　如图所示，

正方体ABCD－A′B′C′D′，连接AC，BD，∵M，P分别为其所在棱的中点，∴MP∥AC.∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB′⊥AC，∵AC⊥BD，BD∩BB′＝B，∴AC⊥平面DBB′，又DB′⊂平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵MP∥AC，∴DB′⊥MP，同理，可证DB′⊥NP，∵MP∩NP＝P，MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，∴DB′⊥平面MNP，即l垂直平面MNP，故A正确；

在D中，与A中证明同理，可证l⊥MP，l⊥MN，又MP∩MN＝M，∴l⊥平面MNP，故D正确；对于B，建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则M(1,0,0)，N(2,2,1)，直线l所在体对角线两个顶点坐标分别为(0,0,2)，(2,2,0)，∴直线l的方向向量n＝(2,2，－2)，M＝(1,2,1)，∵n·M＝4≠0，∴直线l不可能垂直于平面MNP，故B错误；

同理，可在C中建立相同的空间直角坐标系，则M(2,0,1)，N(1,2,0)，M＝(－1，2，－1)，∵n·M＝4≠0，∴直线l不可能垂直于平面MNP，故C错误．故选AD.
二、填空题
6．空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1＝(2,1,1)与n2＝(0,2,1)为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为________(写出一个方向向量的坐标)．
答案　
解析　设直线l的一个方向向量为a＝(x，y，z)，由两平面α与β分别以n1＝(2,1,1)与n2＝(0,2,1)为其法向量，可得a·n1＝2x＋y＋z＝0，a·n2＝2y＋z＝0，可得z＝－2y，x＝y，可设y＝1，则x＝，z＝－2，可得a＝.
7．已知平面α的一个法向量u＝(－2，x，－2)，平面β的一个法向量v＝(1，－2，y)，若α∥β，则x＋y＝________；若α⊥β，则x＋y＝________.
答案　5　－1
解析　因为α∥β，所以u∥v，所以＝＝，解得x＝4，y＝1，所以x＋y＝5.因为α⊥β，所以u⊥v，所以－2×1＋(－2)x＋(－2)y＝0，故x＋y＝－1.
8．若正三棱锥P－ABC侧面互相垂直，则棱锥的高与底面边长之比为________.
答案　∶6
解析　设高为h，底边长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P(0,0，h)，A，B，C，P＝，P＝，P＝，得平面PAB，PAC的一个法向量分别为，，
则3－9＋＝0，解得h＝.

三、解答题
9．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB.

(1)求证：平面BCE⊥平面CDE；
(2)若点M是CD的中点，证明：AM∥平面BCE.
证明　(1)设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2a，0,0)，B(0，0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)．

所以B＝(a，a，a)，B＝(2a,0，－a)，C＝(－a，a，0)，E＝(0,0，－2a)．
设平面BCE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由可得
即令z1＝2，可得n1＝(1，－，2)．
设平面CDE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
由可得
即令y2＝1，可得n2＝(，1,0)．
因为n1·n2＝1×＋(－)×1＋2×0＝0.
所以n1⊥n2，所以平面BCE⊥平面CDE.
(2)易得M，则A＝，
又平面BCE的一个法向量为n1＝(1，－，2)，
则A·n1＝×1＋a×(－)＋0×2＝0.
所以A⊥n1，又AM⊄平面BCE，所以AM∥平面BCE.
10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是BB1的中点，点F是CD的中点．

求证：(1)D1F⊥平面ADE；
(2)平面A1D1F⊥平面ADE.
证明　(1)以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为1，
由已知，得A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)，F，∴＝(1,0,0)，＝，＝.
设平面ADE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则取z1＝2，得n1＝(0，－1,2)．
∵n1＝－2，∴n1∥，即D1F⊥平面ADE.
(2)∵A1(1,0,1)，∴＝(－1,0,0)，
设平面A1FD1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则取y2＝2，得n2＝(0,2,1)．
∵n1·n2＝0×0＋(－1)×2＋2×1＝0，∴n1⊥n2.
∴平面A1D1F⊥平面ADE.
B级：“四能”提升训练
1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

解　以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0，1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a，0,1)，故＝(a,0,1)，＝.
假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，
使得DP∥平面B1AE.此时＝(0，－1，z0)．
设平面B1AE的一个法向量n＝(x，y，z)，
∴n⊥，n⊥，得
取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.
要使DP∥平面B1AE，只需n⊥，
∴n·＝－az0＝0，解得z0＝.
又DP⃘平面B1AE，
∴存在点P，使得DP∥平面B1AE，此时AP＝.
2．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.

(1)求证：E，B，F，D1四点共面；
(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，
求证：ME⊥平面BCC1B1.
证明　(1)连接BD1，以点B为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，

则＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，
＝(3,3,3)，
∴＝＋，
故，，共面．
又它们有公共点B，
∴E，B，F，D1四点共面．
(2)设M(0,0，z)，则＝，
而＝(0,3,2)．
由题设得·＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.
∵M(0,0,1)，E(3,0,1)，
∴＝(3,0,0)，
又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)，
∴·＝0，·＝0，
从而ME⊥BB1，ME⊥BC.
又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.