数学1.2.5 空间中的距离学案

这是一份数学1.2.5 空间中的距离学案，共24页。

1.2.5　空间中的距离
(教师独具内容)
课程标准：能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题．
学法指导：空间距离是学习的难点，用向量求距离是一种有效的方法，回避了作图，再次显现向量的威力．
教学重点：几种距离的求法．
教学难点：用向量方法求空间距离.




某旅游景区在坡度为30°的山坡上建有一观景亭，小明和小亮沿着坡面与坡底水平线成30°角的直道走了400米，来到观景亭，果然居高临下，景区的景点一览无余，但对于升高的高度两人发表了不同的意见，小明说：“我们升高了100米，当然看得更远”．小亮说：“不，我们升高了200米，否则哪能看到这么大的范围？”他们俩到底谁说得对？

知识点一 空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长.
知识点二 点到直线的距离
给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到直线l的距离．点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度．
知识点三 点到平面的距离
(1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离．点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度．
(2)一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝.
知识点四 相互平行的直线与平面之间的距离
(1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离．
(2)如图，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝.

知识点五  相互平行的平面与平面之间的距离
(1)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．
(2)一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段.显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长．
(3)如图，如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量)，A和B分别是平面α与平面β内的点，则平面α与平面β之间的距离为d＝.


1．几种距离的关系

2．点到面距离的求法

如图，BO⊥α，垂足为O，则点B到平面α的距离就是线段BO的长度．
若AB是平面α的任一条斜线段，则在Rt△BOA中，||＝||cos∠ABO＝.如果令平面α的法向量为n，考虑到法向量的方向，可以得到B点到平面α的距离为||＝.
因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：
(1)求出该平面的一个法向量．
(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量．
(3)求出法向量与斜线段的方向向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
由于＝n0.可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段的方向向量的数量积的绝对值，即d＝|·n0|.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与平面平行时，直线到平面的距离与直线上任意一点到平面的距离相等．(　　)
(2)两个图形之间的距离是指一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值．(　　)
(3)利用基向量或坐标表示向量后，两点间的距离就转化为向量的模，可以利用向量的数量积进行计算．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为________.
(2)设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________.
(3)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是________.
答案　(1)　(2)　(3)



题型一 两点间的距离
例1　如图，正方形ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，点M在AC上，点N在BF上．若CM＝BN＝，求MN的长．

[解]　解法一：建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)，
∵CM＝BN＝，且四边形ABCD，ABEF为正方形，
∴M，N，
∴M＝，
∴|M|＝＝，即MN＝.
解法二：以，，为基向量，
∵CM＝BN＝，∴A＝A，F＝F.
∴M＝M＋A＝－(A＋A)＋A＋(A－A)＝－A＋A，
∴|M|2＝A2＋A2＝，
∴|M|＝，
即MN＝.

求两点间的距离的向量法主要是坐标法(易建系的)和基向量法(各基向量的模和夹角已知或可求)，利用向量模的定义求解．

[跟踪训练1]　如图所示，在120°的二面角α－AB－β中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．

解　∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴C·A＝0，B·A＝0，
又二面角α－AB－β的平面角为120°，
∴〈C，B〉＝60°，
∴CD2＝|C|2＝(C＋A＋B)2
＝C2＋A2＋B2＋2(C·A＋C·B＋B·A)＝3×62＋2×62×cos60°＝144，∴CD＝12.
题型二 点到直线的距离
例2　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．
[解]　以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，如图．

设DA＝2，则A(2,0,0)，E(0，2,1)，F(1,0,2)，＝(1，－2，1)，＝(1,0，－2)．
∴||＝＝，·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，
∴在上的投影长为＝.
∴点A到直线EF的距离
d＝ ＝＝.

用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的方向向量．
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影长度．
(4)利用勾股定理求点到直线的距离．
另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．

[跟踪训练2]　如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．

解　∵AB＝1，BC＝2，AA′＝3，
∴A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，
∴＝(0,2,0)，＝(1,2，－3)．
∴在上的投影长为＝.
∴点B到直线A′C的距离
d＝＝＝.
题型三 点到平面的距离
例3　已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，求点D1到平面BDE的距离．
[解]　以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，如图，

∴D(0,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,2)，E(0,1,1)，故＝(1,1,0)，＝(0,1,1)．设平面DBE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，
故有∴
取x＝1，则y＝－1，z＝1，∴n＝(1，－1,1)，
∵点D1到平面BDE的距离d＝，
又＝(0,0,2)，∴·n＝2，|n|＝，
∴d＝＝，
即点D1到平面BDE的距离为.

利用向量法求点到平面的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求出该平面的一个法向量．
(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量．
(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离．

[跟踪训练3]　在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2.
(1)求证：A1C∥平面AB1D；
(2)求点C1到平面AB1D的距离．
解　(1)证明：如图，以D为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0,0)，C(1,0,0)，B1(－1,0,2)，A1(0，，2)，A(0，，0)，C1(1,0,2)，＝(1，－，－2)，＝(－1，－，2)，＝(0，－，0)．

设平面AB1D的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，则y＝0，x＝2，∴n＝(2,0,1)．
∵·n＝1×2＋(－)×0＋(－2)×1＝0，
∴⊥n.
∵A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.
(2)由(1)知平面AB1D的一个法向量n＝(2,0,1)，
且＝(－1，，－2)，
∴点C1到平面AB1D的距离
d＝＝＝.
题型四 相互平行的直线与平面之间的距离
例4　在棱长为a的正方体AC1中，E，F分别是BB1，CC1的中点．
(1)求证：AD∥平面A1EFD1；
(2)求直线AD与平面A1EFD1的距离．
[解]　(1)证明：如图，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.

因为＝(a,0,0)，＝(a,0,0)，
所以DA∥D1A1，
而D1A1⊂平面A1EFD1，DA⊄平面A1EFD1，所以DA∥平面A1EFD1.
(2)由图得D1(0,0，a)，F，
所以＝，＝.
设n＝(x，y，z)是平面A1EFD1的一个法向量，则

所以
取z＝1得n＝，所以在n上的射影长为
d＝＝＝a.
所以直线AD到平面A1EFD1的距离是a.

求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．

[跟踪训练4]　如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E，F分别在A1B，B1D1上，且A1E＝A1B，B1F＝B1D1.

(1)求证：EF∥平面ABC1D1；
(2)求EF与平面ABC1D1的距离．
解　(1)证明：如图，建立空间直角坐标系Bxyz，易得E，F，

故＝，
＝(a,0,0)，＝(0，a，a)．
设n＝(x，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量，
由n·＝0，n·＝0，
得
令z＝1，得n＝(0，－1,1)．
因为·n＝0－a＋a＝0，所以⊥n，
又EF⊄平面ABC1D1，故EF∥平面ABC1D1.
(2)由(1)得＝，
所以·n＝0＋0＋a＝a，
所以EF与平面ABC1D1的距离d＝＝a.
题型五 两平行平面间的距离
例5　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.

(1)求证：B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．
[解]　(1)证明：建立空间直角坐标系如图所示，

设A1(a,0,0)，则B1(0,0,0)，C1(0，2,0)，F(0,1,0)，E(0,0,1)，A(a，0,4)，B(0,0,4)，D(0,2,2)，G.
所以＝(0,2,2)，＝(－a,0,0)，＝(0,2，－2)．
又·＝0＋0＋0＝0，
·＝0＋4－4＝0，
所以⊥，⊥，
所以B1D⊥AB，B1D⊥BD.
又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.
(2)证明：由(1)可得＝(－a,0,0)，＝(0,2，－2)，＝，＝(0,1，－1)，
所以∥，∥.
所以GF∥AB，EF∥BD.
又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B.
所以平面EGF∥平面ABD.
(3)由(1)(2)知，是两平面的法向量．
又因为两平面平行，则E到平面ABD的距离就是两平面的距离，设为d.
因为＝(0,0,3)，＝(0,2,2)，
所以d＝＝＝.
即两平面间的距离为.

求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．

[跟踪训练5]　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．

解　∵B1D1∥BD，B1C∥A1D且B1D1∩B1C＝B1，BD∩A1D＝D，
B1D1⊂平面B1CD1，B1C⊂平面B1CD1，
BD⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，
∴平面A1BD∥平面B1CD1，
∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离．
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A1(1，0,1)，B(1，1,0)，D1(0，0,1)，

∴＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,0,0)．
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则⇒
令z＝1，得y＝1，x＝－1.
∴n＝(－1,1,1)，
∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝，
即平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.



1．在平面直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长为(　　)
A. B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′，则||＝3，||＝2，||＝5.又＝＋＋，所以||2＝32＋52＋22＋2×3×2×＝44，即||＝2.
2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点B1到平面ACD1的距离是(　　)

A.a B．a
C．a D．a
答案　B
解析　解法一：如图，连接BD，交AC于点O，连接D1O，B1D，交点为点H，易知DB1⊥平面ACD1.所以B1H就是点B1到平面ACD1的距离．

所以B1H＝B1D＝a.
解法二：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(a，0,0)，C(0，a,0)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a)，所以＝(－a，a,0)，＝(－a,0，a)．设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
取x＝1，得n＝(1,1,1)．又＝(0，a，a)，所以d＝＝＝a.
3．(多选)如图所示，在直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，BD⊥DC，BD＝DC＝1，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝C1F＝AA1＝，DC1⊥BE.则(　　)

A．C1E的长为
B．点D到直线EC1的距离为
C．点B到平面EDC1的距离为
D．直线D1F与平面BDE之间的距离为
答案　ACD
解析　以D为原点，DB，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1，－1,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，D1(0,0,2)，E，F.对于A，∵＝，

∴C1E＝||＝＝，A正确；对于B，∵＝，＝(0,1,2)，
∴在上的投影长为＝，
∴点D到直线EC1的距离为＝，B错误；对于C，∵＝(0,1,2)，D＝.设平面EDC1的一个法向量为n＝(x，y,1)，则解得∴n＝，又D＝(1,0,0)，∴点B到平面EDC1的距离为＝＝，C正确；对于D，∵E＝，＝，即E＝，∴D1F∥BE，又D1F⊄平面BDE，∴D1F∥平面BDE.又D＝(1,0,0)，设平面BDE的一个法向量为m＝(a，b，c)，则令c＝2，则m＝(0,1,2)，∵＝(0,0,2)，∴点D1到平面BDE的距离为＝＝，即直线D1F与平面BDE之间的距离为，D正确．故选ACD.
4．已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为________.
答案　
解析　∵＝(－2,0，－1)，∴||＝，＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝.
5．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，E是PA的中点．求PC到平面BED的距离．

解　取CD的中点F，连接AF，易证AB，AF，AP两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系，则B(4,0,0)，D(－2，2，0)，E(0,0,2)，P(0，0,4)，C(2,2，0)，∴＝(－4,0,2)，＝(2，－2，2)．设平面BED的一个法向量为n＝(x，y，z)，则⇒令z＝2，得平面BED的一个法向量为n＝(1，，2)．∵＝(2，2，－4)∴n·＝2＋6－8＝0，又PC⊄平面BED，∴PC∥平面BED，∴PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离．∵＝(0,0,2)，n＝(1，，2)，

∴|n|＝2，·n＝4，∴点P到平面BED的距离d＝＝＝，∴PC到平面BED的距离为.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知三棱锥O－ABC，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为(　　)
A. B．
C． D．3
答案　B
解析　以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可知A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0，0,2)，∴＝(－1,2，0)，＝(0，－2,2)，||＝＝，＝.

∴点A到直线BC的距离d＝＝.
2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3,0)在α内，则点P(－2,1,4)到α的距离为(　　)
A．10 B．3
C． D．
答案　D
解析　＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以点P到α的距离为
＝＝，故选D.
3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，M，N分别为AB，B1C1的中点，则MN到截面AB1D1的距离为(　　)
A. B．
C. D．
答案　C
解析　如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(2，0,0)，B1(2，2,4)，D1(0,0,4)，M(2，1,0)，N(1,2,4)，∴＝(2,2,0)，＝(2,0，－4)，＝(－1,1,4)，＝(0,1,0)，

设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的一个法向量，则n⊥，n⊥，∴令x＝2，则y＝－2，z＝1.∴n＝(2，－2,1)，∵·n＝－2－2＋4＝0，∴⊥n，又MN⊄平面AB1D1，∴MN∥平面AB1D1，∴d＝＝.
4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　)
A.a B．a
C.a D．a
答案　D
解析　由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，连接A1C，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，＝(a，－a，a)，＝(0，－a，0)，易知A1C⊥平面AB1D1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)，则两平面间的距离d＝＝＝a.

5．(多选)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，若CF⊥平面B1DF，则AF的长度可以为(　　)

A．a B．a
C．2a D．2a
答案　AC
解析　取BC的中点O，易知AO⊥BC，建立如图所示的空间直角坐标系．设AF＝m(0≤m≤3a)，则F(a，0，m)，C(0，a,0)，B1(0，－a,3a)，∴＝(a，－a，m)，＝(a，a，m－3a)．∵CF⊥平面B1DF，∴CF⊥B1F，∴·＝3a2－a2＋m2－3am＝0，解得m＝a或m＝2a.∴AF的长度为a或2a，故选AC.

二、填空题
6．直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________.
答案　3
解析　以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(4,0,0)，B(0,3,0)，P，所以A＝(－4,3,0)，A＝，
所以A在A上的投影长为＝，所以P到AB的距离为d＝＝＝3.
7．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________.
答案　
解析　如图，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则平面ACD1的一个法向量为(1,1,1)，∵M，A(1,0,0)，

∴＝，
∴点M到平面ACD1的距离为d＝＝.
又綊，MN⊄平面ACD1，
∴MN∥平面ACD1，
故MN到平面ACD1的距离也为d＝.
8．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为________.
答案　
解析　建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0，0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，A1(0，0,1)，∴＝(，1，－1)，＝(0,2，－1)．

设平面A1BC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝3，则n＝(，3,6)，n0＝.
又＝(0,0,1)，
∴点A到平面A1BC的距离d＝|·n0|＝.
三、解答题
9．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.

(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)，设F(0,0，z)．
易知截面AEC1F为平行四边形，
∴由＝，
得(－2,0，z)＝(－2,0,2)，
∴z＝2.∴F(0,0,2)．
∴＝(－2，－4,2)．
于是||＝2，即BF的长为2.
(2)设n1为平面AEC1F的一个法向量，
显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1＝(x，y,1)．
由得
即∴∴n1＝.
又＝(0,0,3)，设与n1的夹角为α，
则cosα＝＝＝.
∴C到平面AEC1F的距离为
d＝||cosα＝3×＝.
10．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
解　(1)以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．

则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，E＝，P＝，
设平面PEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·E＝0，且n·P＝0，所以
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2,2,3)，连接DE，
则点D到平面PEF的距离为
d＝＝＝，
因此，点D到平面PEF的距离为.
(2)因为E，F分别为AB，BC的中点，所以AC∥EF.又因为EF⊂平面PEF，AC⊄平面PEF，所以AC∥平面PEF.因为A＝，所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝，所以直线AC到平面PEF的距离为.
B级：“四能”提升训练
1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离．

解　如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0，2,4)，F(2，4,4)，N(4，2,4)，

∴E＝(2,2,0)，M＝(2,2,0)，A＝(－2,0,4)，B＝(－2，0,4)，
∴E＝M，A＝B，
∴EF∥MN，AM∥BF，EF∩BF＝F，
MN∩AM＝M.
∴平面AMN∥平面EFBD.
设n＝(x，y，z)是平面AMN的一个法向量，
∴解得
取z＝1，得n＝(2，－2,1)，由于A＝(0,4,0)，
∴A在n上的投影长为＝＝.
∴平面AMN与平面EFBD间的距离
d＝＝.
2．如图所示，P是正方形ABCD所在平面外一点，且PD⊥AD，PD⊥DC，PD＝3，AD＝2，已知M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：MN⊥DC；
(2)求点M到平面PAC的距离．
解　由题易知PD，DA，DC两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，则M(2,1,0)，N.

(1)证明：∵M＝，D＝(0,2,0)，∴M·D＝－2×0＋0×2＋×0＝0，
∴MN⊥DC.
(2)设n＝(x，y，z)为平面PAC的一个法向量．
P＝(2,0，－3)，P＝(0,2，－3)．
由得
∴x＝y＝，取z＝2，则x＝y＝3，∴n＝(3,3,2)，
又＝(0，－1,0)，∴＝＝，
即点M到平面PAC的距离为.