|学案下载
搜索
    上传资料 赚现金
    新教材2023年高中数学第2章平面解析几何2.5椭圆及其方程2.5.1椭圆的标准方程导学案新人教B版选择性必修第一册
    立即下载
    加入资料篮
    新教材2023年高中数学第2章平面解析几何2.5椭圆及其方程2.5.1椭圆的标准方程导学案新人教B版选择性必修第一册01
    新教材2023年高中数学第2章平面解析几何2.5椭圆及其方程2.5.1椭圆的标准方程导学案新人教B版选择性必修第一册02
    新教材2023年高中数学第2章平面解析几何2.5椭圆及其方程2.5.1椭圆的标准方程导学案新人教B版选择性必修第一册03
    还剩11页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    高中第二章 平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程导学案

    展开
    这是一份高中第二章 平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程导学案,共14页。

    2.5 椭圆及其方程
    2.5.1 椭圆的标准方程
    (教师独具内容)
    课程标准:1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.2.掌握椭圆的定义和标准方程.3.能利用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题.
    学法指导:学习本节内容时,应注意以下几点:1.要通过实际操作理解并熟练掌握椭圆的定义;2.利用图形的形象直观性,把握a,b,c的几何意义;3.要通过范例的学习与适度的练习,熟练掌握求椭圆标准方程的基本方法:待定系数法、定义法、直接法等.
    教学重点:椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程.
    教学难点:椭圆标准方程的推导.




    1997年初,中国科学院紫金山天文台发布了一条消息:从1997年2月中旬起,海尔波普彗星将逐渐接近地球,4月以后又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空.1997年2月至3月间许多人目睹了这一天文现象.你知道科学家是如何计算出彗星出现的准确时间吗?

    知识点一 椭圆的定义
    如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且2a>|F1F2|,则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹称为椭圆,其中,两个定点F1,F2称为椭圆的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距.
    知识点二 椭圆的标准方程
    焦点位置
    焦点在x轴上
    焦点在y轴上
    标准方程
    +=1(a>b>0)
    +=1(a>b>0)
    图形


    焦距
    |F1F2|=2c
    焦点坐标
    (±c,0)
    (0,±c)
    a,b,c的关系
    a2=b2+c2

    1.对椭圆定义的理解
    设两定点F1,F2,点到F1,F2的距离之和为2a.
    (1)当2a>|F1F2|时,点的轨迹是椭圆.
    (2)当2a=|F1F2|时,点的轨迹是以F1,F2为端点的线段.
    (3)当2a<|F1F2|时,点的轨迹不存在.
    2.用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
    (1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,还是两个坐标轴上都有可能;
    (2)设方程:
    ①依据上述判断设方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0);
    ②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n);
    (3)找关系:依据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组;
    (4)得方程:解方程组,将a,b,c或m,n代入所设方程即为所求.

    1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹称为椭圆.(  )
    (2)椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关,与位置无关.(  )
    (3)椭圆的两种标准形式中,虽然焦点位置不同,但都具备a2=b2+c2.(  )
    (4)设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+(m>2),则点P的轨迹是椭圆.(  )
    答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
    2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
    (1)设F1,F2是椭圆+=1的焦点,P为椭圆上一点,则△PF1F2的周长为________.
    (2)已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|F2A|+|F2B|=8,则|AB|=________.
    (3)若椭圆+=1的焦点分别为F1,F2,椭圆上一点P满足∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积是________.
    答案 (1)18 (2)4 (3)



    题型一 椭圆的定义
    例1 如图所示,已知经过椭圆+=1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.

    (1)求△AF1B的周长;
    (2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长有变化吗?为什么?
    [解] (1)如题图,由题意知,A,B在椭圆+=1上,故有|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,|AF2|+|BF2|=|AB|,
    所以△AF1B的周长=|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=4×5=20.
    所以△AF1B的周长为20.
    (2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长仍为20不变,因为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a,与AB和x轴是否垂直无关.

    1.椭圆定义的应用技巧
    (1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
    (2)椭圆的定义能够对一些距离问题进行转化,简化解题过程.因此,解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时,应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.
    2.椭圆中的焦点三角形
    椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2,称为焦点三角形,解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解.
    3.椭圆的标准方程中应注意的几个问题

    (1)a2=c2+b2,a>b>0,a最大,其中a,b,c构成如图的直角三角形,我们把它称为“特征三角形”.
    (2)方程中的两个参数a与b,确定椭圆的形状和大小;焦点F1,F2的位置,是椭圆的定位条件,它决定椭圆标准方程的类型.
    (3)方程Ax2+By2=C表示椭圆的充要条件:ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B.A>B时,焦点在y轴上;A
    [跟踪训练1] 已知F1为椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P为椭圆上半部分上任意一点,A(1,1)为椭圆内一点,求|PF1|+|PA|的最小值.
    解 由椭圆的方程5x2+9y2=45可知a2=9,b2=5,c2=4,左焦点F1(-2,0),右焦点F2(2,0),如图所示.P为椭圆上半部分上一点,由椭圆的定义有|PF1|+|PF2|=6.

    而|PF1|+|PA|=|PF1|+|PA|+|PF2|-|PF2|=6-(|PF2|-|PA|).
    在△PAF2中,因为||PF2|-|PA||<|AF2|,当且仅当P,A,F2三点共线时,|PF2|-|PA|=|AF2|=.所以当P,A,F2三点共线时,|PF1|+|PA|有最小值为6-.
    题型二 椭圆的标准方程
    例2 求经过P1,P2两点的椭圆的标准方程.
    [解] 解法一:①当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),
    依题意,知解得
    ∵a2=<=b2,∴焦点在x轴上的椭圆不存在.
    ②当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为
    +=1(a>b>0).
    由题意,得解得
    故所求椭圆的标准方程为+=1.
    解法二:设所求椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
    由题意,得解得
    ∴所求的椭圆方程为5x2+4y2=1,其标准方程为+=1.

    1.椭圆标准方程的两种求法
    (1)定义法:定义是研究椭圆问题的基础,先根据椭圆的定义得到相应的a,b,c,再写出椭圆的标准方程.
    (2)待定系数法
    ①先设出椭圆的标准方程+=1或+=1(a>b>0),然后求出待定的系数代入方程即可.
    ②若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).
    ③与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0,b2>-λ),与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0,b2>-λ).
    2.求椭圆标准方程的关注点
    确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面.
    (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在中心为
    原点的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式;
    (2)“定量”是指确定a2,b2的具体数值,常根据条件列方程求解.

    [跟踪训练2] 求满足下列条件的椭圆的标准方程.
    (1)两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点;
    (2)过点Q(2,1),且与椭圆+=1有公共的焦点.
    解 (1)易知椭圆的焦点在x轴上,所以设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
    由椭圆的定义,知2a=+
    =2,
    所以a=.
    又c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6.
    故所求椭圆的标准方程为+=1.
    (2)设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),
    由+=1,得c2=5,则a2-b2=5.①
    又点Q(2,1)在所求椭圆上,所以+=1,②
    由①②得a2=+5,b2=,
    故所求椭圆的标准方程为+=1.
    题型三 利用椭圆的定义求轨迹方程
    例3 已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于20,求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
    [解] 以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy.如图所示.

    由|BC|=8,可知点B(-4,0),C(4,0),c=4.
    由|AB|+|AC|+|BC|=20,|BC|=8,
    得|AB|+|AC|=12,
    因此点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=12;但点A不在x轴上.由a=6,c=4,得b2=a2-c2=36-16=20.所以点A的轨迹方程为+=1(y≠0).

    利用椭圆的定义求动点的轨迹方程,应先根据动点具有的特点,验证是否符合椭圆的定义,即动点到两定点距离之和是否是一常数,且该常数(定值)大于两点的距离,若符合,则动点的轨迹为椭圆,然后确定椭圆的方程,这就是利用定义求椭圆标准方程的方法,但注意检验.

    [跟踪训练3] 已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,圆C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部和圆C1相内切,和圆C2相外切,求动圆圆心的轨迹曲线的形状及方程.
    解 如图所示,由已知可得圆C1与C2的圆心坐标分别为C1(4,0),C2(-4,0),其半径分别为r1=13,r2=3.

    设动圆的圆心为C,其坐标为(x,y),动圆的半径为r.
    由于圆C1与圆C相内切,依据两圆内切的充要条件可得|CC1|=r1-r.①
    由于圆C2与圆C相外切,依据两圆外切的充要条件可得|CC2|=r2+r.②
    由①+②可得|CC1|+|CC2|=r1+r2=13+3=16,即点C到两定点C1与C2的距离之和为16,且|C1C2|=8,可知动点C的轨迹为椭圆,且以C1与C2为焦点.
    由题意,得c=4,a=8,
    所以b2=a2-c2=64-16=48.
    所以椭圆的方程为+=1,
    所以动圆圆心的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,其方程为+=1.



    1.已知椭圆+=1的一个焦点为(2,0),则椭圆的方程是(  )
    A.+=1 B.+=1
    C.x2+=1 D.+=1
    答案 D
    解析 由题意知,椭圆的焦点在x轴上,且c=2,所以a2=2+4=6,因此椭圆的方程为+=1.故选D.
    2.“2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
    答案 B
    解析 由方程+=1表示的曲线是椭圆,可得解得2 3.(多选)与椭圆+=1有公共焦点的椭圆是(  )
    A.+=1 B.+=1
    C.+=1 D.+=1
    答案 BCD
    解析 与椭圆+=1有公共焦点的椭圆系方程为+=1(λ>-16).对比各选项可知,当λ=-2时,得+=1;当λ=5时,得+=1;当λ=-9时,得+=1.故选BCD.
    4.椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________,∠F1PF2=________.
    答案 2 120°
    解析 由椭圆+=1知a=3,c==,
    ∵|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF2|=6-|PF1|=2.
    在△F1PF2中,由余弦定理,
    得cos∠F1PF2=
    ==-.
    又0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=120°.
    5.如图,已知定点A(-2,0),动点B是圆F:(x-2)2+y2=64上一点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,求动点P的轨迹方程.

    解 连接PA,圆F:(x-2)2+y2=64的圆心为F(2,0),半径R=8.
    ∵线段AB的垂直平分线交BF于点P,
    ∴|PA|=|PB|,
    ∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=R=8>|AF|=4.由椭圆的定义,知点P的轨迹是椭圆.
    依题意,有2a=8,c=2,
    ∴动点P的轨迹方程为+=1.



    A级:“四基”巩固训练
    一、选择题
    1.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点F在BC上,则△ABC的周长是(  )
    A.2 B.6
    C.4 D.12
    答案 C
    解析 由题可知a=,由椭圆的定义得|BF|+|BA|=|CF|+|CA|=2a=2,∴(|BF|+|CF|)+|BA|+|CA|=|BA|+|CA|+|BC|=4,即△ABC的周长为4.故选C.
    2.如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是(  )
    A.(3,+∞) B.(-∞,-2)
    C.(-∞,-2)∪(3,+∞) D.(-6,-2)∪(3,+∞)
    答案 D
    解析 由椭圆+=1的焦点在x轴上,可得解得所以a>3或-6<a<-2.故选D.
    3.已知动点M(x,y)满足+=4,则动点M的轨迹曲线的形状为(  )
    A.椭圆 B.直线
    C.圆 D.线段
    答案 D
    解析 设F1(-2,0),F2(2,0).由题意知动点M满足|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|,故动点M的轨迹是线段F1F2.
    4.已知椭圆+=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,O为坐标原点,则|ON|=(  )
    A.2 B.4
    C.6 D.
    答案 B
    解析 设F1为椭圆的左焦点,F2为椭圆的右焦点,连接MF2,由N是MF1的中点,O是F1F2的中点可知|ON|=|MF2|.又|MF2|=2a-|MF1|=10-2=8,所以|ON|=4.
    5.(多选)椭圆+=1上一点P到两焦点的距离之积为m,则m取最大值时,P点坐标可以是(  )
    A.(0,-3) B.
    C.(0,3) D.
    答案 AC
    解析 记F1(-4,0),F2(4,0),|PF1|·|PF2|≤2=2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|时,等号成立.∴P应在椭圆与y轴的交点处,
    ∴P(0,3)或(0,-3).
    二、填空题
    6.椭圆+=1的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的________倍.
    答案 7
    解析 由已知椭圆的方程得a=2,b=,c=3,不妨设F1(-3,0),F2(3,0).由于焦点F1和F2关于y轴对称,∴PF2必垂直于x轴.∴P或P,|PF2|=,∴|PF1|=2a-|PF2|=.∴|PF1|=7|PF2|.
    7.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为________.
    答案 7
    解析 由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.
    8.已知F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,M是椭圆上的一点,且在y轴的左侧,过点F2作∠F1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(O为坐标原点),则|MF2|-|MF1|=________,|OM|=________.
    答案 4 2
    解析 延长F2N,MF1并相交于Q点,由题知,MN⊥F2Q,且MN平分∠F1MF2,所以|MF2|=|MQ|,N为F2Q的中点,又因为O为F1F2的中点,所以ON綊F1Q,因为|ON|=2,所以|F1Q|=4,|MF2|-|MF1|=4,因为|MF2|+|MF1|=8,所以|MF2|=6,|MF1|=2,所以|MF2|2=|MF1|2+|F1F2|2,所以MF1⊥OF1,所以|OM|==2.
    三、解答题
    9.已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.
    解 (1)依题意,知c=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2,
    所以a2-a2=1,即a2=1,
    所以a2=4,b2=3,
    故椭圆的标准方程为+=1.
    (2)由于点P在椭圆上,
    所以|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4.
    又|PF1|-|PF2|=1,
    所以|PF1|=,|PF2|=.
    又|F1F2|=2c=2,
    所以由余弦定理得
    cos∠F1PF2==.
    故∠F1PF2的余弦值为.
    10.已知圆A:x2+(y+6)2=400,圆A内一定点B(0,6),圆C过B点且与圆A内切,求圆心C的轨迹方程.
    解 设动圆C的半径为r,则|CB|=r.
    ∵圆C与圆A内切,∴|CA|=20-r.
    ∴|CA|+|CB|=20.
    又|AB|=12,∴|CA|+|CB|=20>|AB|.
    ∴点C的轨迹是以A,B两点为焦点的椭圆.
    ∵2a=20,2c=12,
    ∴a=10,c=6,b2=64.
    又A,B在y轴上,∴C点的轨迹方程为+=1.
    B级:“四能”提升训练
    1.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
    (1)焦点在x轴上,且经过点(2,0)和点(0,1);
    (2)与椭圆+y2=1有相同的焦点,且经过点;
    (3)焦点在y轴上,且与y轴的一个交点为P(0,-10),P到它较近的一个焦点的距离等于2.
    解 (1)∵椭圆的焦点在x轴上,
    ∴可设它的标准方程为+=1(a>b>0).
    ∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)
    ∴∴
    故所求椭圆的标准方程为+y2=1.
    (2)解法一:∵椭圆+y2=1的焦点坐标分别为(-1,0),(1,0),
    ∴可设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),
    则解得a2=4,b2=3.
    故所求椭圆的标准方程为+=1.
    解法二:由题意知椭圆的焦点坐标分别为(-1,0),(1,0),
    又 + =+=4,
    ∴2a=4,即a=2,∴b2=a2-c2=22-12=3,
    ∴所求椭圆的标准方程为+=1.
    (3)∵椭圆的焦点在y轴上,
    ∴可设它的标准方程为+=1(a>b>0).
    ∵P(0,-10)在椭圆上,∴a=10.
    又P到它较近的一个焦点的距离等于2,
    ∴-c-(-10)=2,故c=8,
    ∴b2=a2-c2=36,
    ∴所求椭圆的标准方程为+=1.
    2.如图所示,△ABC的底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.

    解 以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(-6,0),CE,BD分别为AB,AC边上的中线,

    则|BD|+|CE|=30.
    由重心的性质可知,
    |GB|+|GC|=(|BD|+|CE|)=20.
    ∵B,C是两个定点,G点到B,C的距离和等于定值20,且20>12,
    ∴G点的轨迹是椭圆,B,C是椭圆的两个焦点,
    ∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,
    ∴b2=a2-c2=102-62=64,
    故G点的轨迹方程为+=1(x≠±10).
    设G(x′,y′),A(x,y),则有+=1.
    由重心坐标公式知
    故顶点A的轨迹方程为+=1(x≠±30),
    即+=1(x≠±30).

    相关学案

    人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程学案设计: 这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程学案设计,共3页。学案主要包含了学习目标,学习重难点,学习过程,学习小结,达标检测等内容,欢迎下载使用。

    人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程学案: 这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程学案,共4页。学案主要包含了学习目标,学习重难点,学习过程,学习小结,精炼反馈等内容,欢迎下载使用。

    人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程学案设计: 这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程学案设计,共8页。

    • 精品推荐
    • 所属专辑
    • 课件
    • 教案
    • 试卷
    • 学案
    • 其他

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        即将下载

        新教材2023年高中数学第2章平面解析几何2.5椭圆及其方程2.5.1椭圆的标准方程导学案新人教B版选择性必修第一册
        该资料来自成套资源,打包下载更省心 该专辑正在参与特惠活动,低至4折起
        [共10份]
        浏览全套
          立即下载(共1份)
          返回
          顶部
          Baidu
          map