高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.2 椭圆的几何性质学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.2 椭圆的几何性质学案，共15页。

2.5 椭圆及其方程
2.5.2　椭圆的几何性质
(教师独具内容)
课程标准：1.掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等几何性质.2.能用椭圆的几何性质求椭圆的方程.3.能用椭圆的几何性质分析解决有关问题．
学法指导：在研究椭圆的几何性质时，首先要从“形”的方面观察椭圆具有哪些几何性质；再从“数”的方面(即利用椭圆方程)推导椭圆具有哪些几何性质；然后要充分利用图形的形象直观性准确把握并熟记这些性质；最后，在解决具体问题时，要根据具体情况，灵活地运用这些性质解题．
教学重点：利用椭圆的几何性质解决问题．
教学难点：椭圆离心率对椭圆形状的影响.




从画椭圆的实际操作中，我们可以发现确定一个椭圆有两个参数，一个是|F1F2|的长度(即2c)，另一个是绳子长(即|PF1|＋|PF2|)，也就是2a.我们知道，当a＞c时，就可以画出椭圆，通过实际操作，我们可以发现，当c确定(即F1，F2确定)时，绳子越长，椭圆越圆，绳子越短，椭圆越扁．同样，若绳子长度确定，F1，F2两点相距越近，椭圆越圆，F1，F2两点相距越远(不超过2a)，椭圆越扁，这是为什么呢？由此可以得出什么结论？

知识点一　椭圆的几何性质
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形


标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
对称性
对称轴x轴、y轴，对称中心(0,0)
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(0，±a)，(±b,0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝(0 知识点二　椭圆几何性质的应用
(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质．
(2)明确a，b，c的几何意义，a是半长轴长，b是半短轴长，c是半焦距，不要与长轴长、短轴长、焦距混淆，由a2＝b2＋c2，可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边．这说明，以椭圆任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形，而且短轴端点与焦点的连线长为a.如图所示，|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a.

(3)椭圆上的所有点中，到给定焦点距离最大和最小的点，分别是长轴的两个端点．若椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1(－a,0)，A2(a,0)到右焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c.
知识点三　椭圆的离心率对椭圆形状的影响
(1)椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率，记作e＝.∵a>c>0，∴0 (2)＝＝＝，e越趋近于1，则的值越小，因此椭圆越扁；反之，e越趋近于0，则的值越大，这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2.

1．椭圆＋＝1(a>b>0)与椭圆＋＝λ和椭圆＋＝λ(a>b>0，λ>0)的离心率相同．
2．椭圆中的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2称为焦点三角形．其周长为2(a＋c)．令r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.(　　)
(2)椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．(　　)
(3)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长为a.(　　)
(4)椭圆＋＝1的焦距为6.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)椭圆＋y2＝1的离心率为________.
(2)设P(m，n)是椭圆＋＝1上任意一点，则m的取值范围是________.
(3)椭圆mx2＋ny2＝－mn(m 答案　(1)　(2)[－5,5]　(3)(0，±)



题型一 椭圆的几何性质
例1　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．
[解]　椭圆的方程可化为＋＝1，
∵m－＝>0，∴m>.
∴椭圆的焦点在x轴上．
即a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝，得 ＝，
∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，.

解决有关椭圆的问题一般应先弄清椭圆的类型，而椭圆的类型又决定于焦点的位置．
(1)要掌握好椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率．
(2)熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质，这些基本概念是解决计算问题、证明问题、求解轨迹问题及其他有关问题的基础和关键．

[跟踪训练1]　对椭圆C1：＋＝1(a>b>0)和椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的几何性质的表述，正确的是(　　)
A．范围相同 B．顶点坐标相同
C．焦点坐标相同 D．离心率相同
答案　D
解析　椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b，顶点坐标是(－a,0)，(a,0)，(0，－b)，(0，b)，焦点坐标是(－c,0)，(c,0)，离心率e＝；椭圆C2：＋＝1(a>b>0)范围是－a≤y≤a，－b≤x≤b，顶点坐标是(－b,0)，(b,0)，(0，－a)，(0，a)，焦点坐标是(0，－c)，(0，c)，离心率e＝，综上所述，二者只有离心率相同.
题型二 利用椭圆的几何性质求标准方程
例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是6，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[解]　(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．由已知得2a＝6，所以a＝3.
又e＝＝，所以c＝2.所以b2＝a2－c2＝9－4＝5.
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)由题意知焦点在x轴上，故可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，且两焦点为F′(－3，0)，F(3,0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，

OF为斜边A1A2的中线，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以c＝b＝3.所以a2＝b2＋c2＝18.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.

求椭圆标准方程的常用方法
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法．
(2)根据已知条件“选标准，定参数”．其一般步骤为：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a2，b2的值；③写出标准方程．

[跟踪训练2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)过点(3,0)，离心率e＝.
解　(1)由题意知2a＝4b，所以a＝2b.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．代入点(2，－6)，得＋＝1或＋＝1，将a＝2b代入，得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13，故所求的椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)当椭圆的焦点在x轴上时，有a＝3，＝，
所以c＝，所以b2＝a2－c2＝9－6＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
当椭圆的焦点在y轴上时，有b＝3，＝，
所以＝，解得a2＝27，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
题型三 椭圆的离心率问题
例3　已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．

[解]　解法一：由已知可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，因为c2＝a2－b2，F1(－c,0)，PF1⊥F1A，
所以P，即P，
因为AB∥PO，所以kAB＝kOP，即－＝－，
所以b＝c，所以a2＝2c2，所以e＝＝.
解法二：由解法一可知P，
又因为△PF1O∽△BOA，所以＝，
所以＝，所以b＝c，所以a2＝2c2，
所以e＝＝.

由离心率的定义可知，求e的值，就是求a和c的值或a与c的关系，很多题目由于受到已知条件的限制不能同时解出a和c的值，只能将条件整理成a与c的关系式，进而求出.

[跟踪训练3]　已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　设P(m，n)，∵·＝c2＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2，
∴m2＋n2＝2c2,2c2－m2＝n2，①
把P(m，n)代入椭圆＋＝1得b2m2＋a2n2＝a2b2，②
把①代入②得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2，
∴b2≤2c2，∴a2≤3c2，∴e＝≥.
又m2＝≤a2，∴a2≥2c2，∴e＝≤.综上，此椭圆离心率的取值范围是.故选C.
题型四 椭圆的实际应用题
例4　我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a，b分别为椭圆的半长轴长、半短轴长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)．
[解]　设所求轨道方程为＋＝1(a>b>0)，
且c＝.
∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34，∴a＝438，c＝396.
于是b2＝a2－c2＝35028.
∴所求轨道方程为＋＝1.
设变轨时，探测器位于点P(x0，y0)，则
x＋y＝ab≈81975.1，＋＝1，
解得x0≈239.7，y0≈156.7.
∴ －R≈187.
故探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里．

处理与椭圆有关的实际问题的一般步骤：首先结合所给的图形及题意建立适当的平面直角坐标系，然后利用相关的几何知识分析问题．
注意：椭圆上一点到焦点的距离d的取值范围为a－c≤d≤a＋c，等号分别对应天文上的近日点与远日点．

[跟踪训练4]　已知某荒漠上F1，F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1，F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园，按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.
(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；
(2)问农艺园的最大面积能达到多少？
解　(1)以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则F1(－1,0)，F2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P(x，y)，Q(x′，y′)，则由已知得|PF1|＋|PF2|＝4.由椭圆定义知点P在以F1，F2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a＝2，c＝1，则b＝.∴P点轨迹方程为＋＝1(y≠0)，
同理Q点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．

(2)S▱PF1QF2＝|F1F2|·|yP|≤2c·b＝2(km2)，
所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大，为2 km2.



1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(　　)
A．(±13,0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
答案　D
解析　由题意知a＝13，b＝10，焦点在y轴上．所以c＝＝＝.故焦点坐标为(0，±)．
2．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于(　　)
A．4 B．5
C．7 D．8
答案　D
解析　因为椭圆的长轴在y轴上，所以a2＝m－2，b2＝10－m，因为焦距为4，所以c＝2.所以c2＝a2－b2＝2m－12＝4.所以m＝8.
3．(多选)已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则(　　)
A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为
C．圆D在椭圆C的内部 D．|PQ|的最小值为
答案　BC
解析　由椭圆方程可得，a2＝6，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝5，∴焦距为2c＝2，A错误；离心率e＝＝＝，B正确；设P(x，y)(－≤x≤)，则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝2＋≥>，∴圆D在椭圆C的内部，C正确；|PQ|的最小值为 －＝，D错误．故选BC.
4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________，△AF1F2的面积的最大值为________.
答案　＋＝1　8
解析　由△ABF2的周长＝4a＝16，得a＝4，又由离心率为，即＝，得c＝2，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，所以椭圆C的方程为＋＝1.当点A为短轴的端点时，△AF1F2的面积最大，S△AF1F2＝×2cb＝8.
5．若椭圆mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
解　(1)当0 (2)当m>4时，长轴长和短轴长分别为，4，
焦点坐标为，，
顶点坐标为，，(－2,0)，(2,0).



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　)
A．＋＝1 B．x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
答案　B
解析　椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知其焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝，又2b＝2，所以b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，故所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　因为焦点在x轴上，所以a＝，b＝，所以c＝＝，e＝＝＝，所以m＝.
3．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则△B2OF2为等腰直角三角形，所以＝.

4．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．
C． D．
答案　C
解析　设该椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为a，b，c，因为·＝0，所以点M的轨迹是以原点O为圆心，半焦距长c为半径的圆．又点M总在椭圆内部，所以该圆在椭圆的内部，因此c 5．(多选)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是(　　)
A．|PF1|＋|PF2|＝2
B．离心率e＝
C．△PF1F2面积的最大值为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切
答案　AD
解析　对于A，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以正确；对于B，依题意知，a＝，b＝1，c＝1，所以e＝＝＝，所以错误；对于C，因为|F1F2|＝2c＝2，当P为椭圆短轴的顶点时，△PF1F2的面积取得最大值为·2c·b＝c·b＝1，所以错误；对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径r＝c＝1，圆心到直线x＋y－＝0的距离为＝1，也即圆心到直线x＋y－＝0的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切，所以正确．故选AD.
二、填空题
6．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于________.
答案　
解析　根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9.又因为a2－b2＝c2，c>0，所以a＝5，c＝4，故e＝＝.
7．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为________.
答案　－1
解析　如图，连接BF2.因为△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点．所以F2B⊥BF1，∠BF2F1＝30°，又因为|F1F2|＝2c，所以|BF1|＝c，|BF2|＝c，由椭圆的定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以＝－1.所以椭圆的离心率e＝－1.

8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________，此时点P的坐标为________.
答案　6　(2,0)
解析　由椭圆＋＝1可得F(－1,0)，O(0,0)．设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.当x＝2时，y＝0，即此时点P的坐标为(2,0)．
三、解答题
9．求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；
(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为.
解　(1)由题意知，2c＝8，c＝4，所以e＝＝＝，所以a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由已知，得所以从而b2＝9，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
10．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．

解　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则有F1(－c,0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a,0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程＋＝1，得y＝±，所以P.
又PF2∥AB，所以△PF1F2∽△AOB.
所以＝，即＝，所以b＝2c.
则b2＝4c2，即a2－c2＝4c2，所以＝.
所以e＝＝.
B级：“四能”提升训练
1．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离之和为8海里的地方发现过鱼群．以A，B所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，问能否确定P处的位置(点P的坐标)?
解　(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆，
则c＝2，a＝4，故b2＝a2－c2＝12，
所以曲线C的标准方程是＋＝1.
(2)由于A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，
故点P距A，B两岛的距离比为5∶3，
故点P距A，B两岛的距离分别为5海里，3海里．
设P(x，y)，由|PB|＝3，得＝3，
由
得x＝2，y＝±3，
∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3)．
2．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
解　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－32＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．
∴≥，即e≥.
又0 ∴离心率e的取值范围是.
(2)证明：由(1)知mn＝b2，
∴S△PF1F2＝mnsin60°＝b2，
即△PF1F2的面积只与短轴长有关．