数学选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系导学案

这是一份数学选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系导学案，共21页。

2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
(教师独具内容)
课程标准：1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系，并掌握判断方法.2.掌握直线与圆锥曲线相交时弦长的计算，弦的中点以及与之相关的问题等．
学法指导：通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，能用坐标法解决直线与圆锥曲线有关的问题，体会数形结合思想．
教学重点：直线与圆锥曲线的位置关系及直线与圆锥曲线相交时弦长、弦中点等问题．
教学难点：直线与圆锥曲线的综合问题.




我们知道，通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，而且这些问题都可以转化为方程组的解的问题．那么，在平面直角坐标系中我们可以通过方程组的解的问题来探讨直线与圆锥曲线的位置关系吗？

知识点一　直线与圆锥曲线的位置关系
(1)判断方法
①代数法：将问题转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数问题，进而转化为一元二次(或一次)方程解的情况去研究．
ax2＋bx＋c＝0.

方程特征
交点个数
位置关系
直线与椭圆
a≠0，Δ>0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ<0
0
相离
直线
与双
曲线
a＝0
1
直线与双曲线的渐近线平行且两者相交
a≠0，Δ>0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ<0
0
相离
直线
与抛
物线
a＝0
1
直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交
a≠0，Δ>0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ<0
0
相离
②几何法：这种用数形结合的方法可以迅速判断某些直线与圆锥曲线的位置关系．尤其是在解决有关直线与双曲线的位置关系问题时，灵活利用直线与渐近线的位置关系可以快速解题．
(2)直线与圆锥曲线相切：一般地，给定直线l与圆锥曲线C(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解(即有两个相等的实数解)，则称直线与圆锥曲线相切.
(3)直线与椭圆只有一个公共点是直线与该椭圆相切的充要条件；但直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点不是直线与它们相切的充分条件．
知识点二　直线与圆锥曲线相交的弦长问题
(1)一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长．简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段.
(2)设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝ |x1－x2|
＝
＝ |y1－y2|
＝ .

1．通径：过焦点且垂直于对称轴的弦．
圆锥曲线
椭圆
双曲线
抛物线
通径长度


2p
2．圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表：
圆锥方程
直线斜率
椭圆：＋＝1(a>b>0)
k＝－
双曲线：－＝1(a>0，b>0)
k＝
抛物线：y2＝2px(p>0)
k＝
其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．
3．与圆锥曲线的切线有关的直线方程

椭圆
双曲线
抛物线
圆锥曲线的方程
＋＝1
(a>b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
曲线上一点P(x0，y0)处的切线方程
＋＝1
－＝1
y0y＝p(x＋x0)
从曲线外一点P(x0，y0)所引的两条切线的切点弦方程
＋＝1
－＝1
y0y＝p(x＋x0)

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切．(　　)
(2)直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立所得方程组的解的个数．(　　)
(3)直线y＝x与双曲线x2－y2＝1有一个公共点．(　　)
(4)直线y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1相交．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为________.
(2)若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是________.
(3)已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________.
答案　(1)1或0　(2)　(3)



题型一 公共点的个数问题
例1　k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
[解]　联立方程
得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
因为Δ＝24(3k2－2)，
当Δ>0，即k>或k<－时，直线与曲线有两个公共点．
当Δ＝0，即k＝±时，直线与曲线有一个公共点．
当Δ<0，即－
(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.
(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是不是0，若是0，则方程为一次方程；若不是0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．

[跟踪训练1]　已知双曲线C：x2－＝1，直线l过点P(1,1)，当k为何值时，直线l与双曲线C：
(1)有一个公共点；
(2)有两个公共点；
(3)无公共点．
解　设直线l：y－1＝k(x－1)，
即y＝kx＋(1－k)．
由得
(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.(*)
当k2－2＝0，即k＝±时，(*)式只有一解，直线l与双曲线相交，只有一个公共点．
当k2－2≠0时，Δ＝24－16k，
若Δ＝0，即k＝时，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切，只有一个公共点；
若Δ>0，即k<时，方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若Δ<0，即k>时，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点．
综上，(1)当k＝±或k＝时，直线l与双曲线只有一个公共点．
(2)当k<且k≠±时，直线l与双曲线有两个公共点．
(3)当k>时，直线l与双曲线无公共点.
题型二 弦长问题
例2　已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)．

(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
[解]　(1)由题设知
解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题设知以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
圆心到直线l的距离d＝＝，
由d<1得|m|<.(*)
∴|CD|＝2＝2＝ .
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴|AB|＝
＝.
由＝得 ＝1，
解得m＝±，满足(*)．
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.

有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
(1)涉及弦长的问题中，应熟练利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；
(2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系，用设而不求法简化运算；
(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

[跟踪训练2]　已知双曲线的焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．
解　(1)设双曲线的标准方程为－＝1(a，b>0)，
由已知可得双曲线的左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，
又c＝2，所以b＝，
所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
(2)由题意可知直线m的方程为y＝x－2，
联立双曲线与直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0，
设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，
由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|＝·＝6.
题型三 弦中点问题
例3　已知椭圆＋＝1，过点P(2,1)作一条弦，使弦在该点被平分，求此弦所在直线的方程．
[解]　解法一：如图，易知所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，

代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，(*)
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是(*)方程的两个根，
∴x1＋x2＝.
∵P为弦AB的中点，
∴2＝＝.
解得k＝－，
∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵P为弦AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B在椭圆上，∴x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝＝－，即kAB＝－.
∴所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
解法三：设所求直线与椭圆的一交点为A(x，y)，另一交点为B(4－x,2－y)，∵A，B在椭圆上，
∴x2＋4y2＝16，①
(4－x)2＋4(2－y)2＝16.②
由①－②得x＋2y－4＝0，则A，B在直线x＋2y－4＝0上，而过A，B的直线只有一条，
∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

处理中点弦问题的常用方法
(1)点差法：设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线的方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就将中点和直线的斜率联系起来了，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．

[跟踪训练3]　已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．
(1)求抛物线E的方程；
(2)求直线AB的方程．
解　(1)由于抛物线E的焦点为(1,0)，
所以＝1，p＝2，所求抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，①
y＝4x2，②
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
由②－①得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，所以＝2，
所以所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
解法二：显然弦AB不垂直于x轴，
故可设弦AB所在的直线方程为y－1＝k(x－2)，k≠0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程
消去x整理得ky2－4y－8k＋4＝0，所以y1＋y2＝，
又M点是AB的中点，所以y1＋y2＝2，所以k＝2，
故直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
题型四 对称问题
例4　已知抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线l：y＝－kx＋对称，求k的取值范围．
[解]　解法一：由题意可知k≠0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上关于直线l对称的两点，则MN的方程可设为y＝x＋b，
代入y＝x2得x2－x－b＝0，且Δ＝＋4b>0.①
又x1＋x2＝，
∴MN的中点的横坐标为x0＝，
纵坐标为y0＝＋b.
∵点(x0，y0)在直线l：y＝－kx＋上，
∴＋b＝－k·＋，∴b＝4－.②
把②代入①得＋16－>0，
∴<16，即k2>，∴k>或k<－.
解法二：设点M(x1，x)，N(x2，x)关于直线l对称，则MN⊥l，
∴＝，即x1＋x2＝.
又MN的中点在l上，
∴＝－k·＋＝－k·＋＝4.
又中点必在抛物线的内部，
∴>2，即4>2.
∴k2>，即k>或k<－.

圆锥曲线上两点的对称问题是圆锥曲线的常见题型，处理方法如下：
(1)设对称两点所在的直线方程与圆锥曲线方程联立，由Δ>0建立不等关系，再由对称两点的中点在所给直线上，建立相等关系，由相等关系消参，由不等关系确定范围．
(2)用参数表示中点坐标，利用中点在圆锥曲线的内部建立关于参数的不等式，解不等式得参数范围．

[跟踪训练4]　试确定m的取值范围，使得椭圆＋＝1上有两点关于直线y＝4x＋m对称．
解　如图所示，设椭圆＋＝1上以A(x1，y1)，A′(x2，y2)为端点的弦关于直线y＝4x＋m对称，且AA′的中点M(x0，y0)是椭圆

＋＝1内的点，从而有x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.
由
由①－②得，4(y－y)＝－3(x－x)，
所以kAA′＝＝－＝－.
由kAA′＝－得－＝－，所以y0＝3x0.
由M(x0，y0)在直线y＝4x＋m上，
得x0＝－m，y0＝－3m，
所以M(－m，－3m)．
从而有＋<1，所以m2<，
所以m∈.
题型五 综合问题
例5　设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．
[解]　(1)将y＝－x＋1代入双曲线C：－y2＝1，
得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
∴解得0 又双曲线C的离心率e＝＝，
∴e>且e≠.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．
∵＝，
∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．
由此得x1＝x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0.
由根与系数的关系，
得x2＝－，x＝－.
消去x2，得－＝，由a>0，得a＝.

圆锥曲线的综合问题最终仍体现在直线与圆锥曲线的位置关系、向量的应用及参数范围的探求上，直线与圆锥曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况，如本题，若注意不到1－a2≠0，则会造成离心率范围扩大，另外，设而不求、利用根与系数的关系消参也是常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度．

[跟踪训练5]　椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且⊥(O为坐标原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．
解　(1)证明：椭圆的方程可化为
b2x2＋a2y2－a2b2＝0.
由消去y，
得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
由Δ＝4a4－4(a2＋b2)·a2·(1－b2)>0得a2＋b2>1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.
∴x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝0.
∴2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.
即－＋1＝0.
∴a2＋b2＝2a2b2，即＋＝2.
∴＋等于定值．
(2)∵e＝，∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2.
又a2＋b2＝2a2b2，
∴2－e2＝2a2(1－e2)，
即a2＝＝＋.
∵≤e≤，
∴≤a2≤，即≤a≤，
∴≤2a≤ ，即椭圆长轴长的取值范围是[，]．



1．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是(　　)
A．－＜k＜ B．k＝或k＝－
C．k＞或k＜－ D．k＜且k≠－
答案　C
解析　由可得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)＞0，即k＞或k＜－时，直线与椭圆有两个公共点．故选C.
2．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则|AB|等于(　　)
A．3 B．4
C．3 D．4
答案　C
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝x＋b，由消去y化简整理得x2＋x＋b－3＝0，∴x1＋x2＝－1，∴AB的中点M，又由M在直线x＋y＝0上，可得b＝1，∴x2＋x－2＝0，∴x1＋x2＝－1，x1x2＝－2，
∴|AB|＝＝＝＝3.故选C.
3．(多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是(　　)
A．直线AB与OM垂直
B．若点M的坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0
C．若直线方程为y＝x＋1，则点M的坐标为
D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝
答案　BD
解析　对于A，因为在椭圆中，根据椭圆中点弦的性质有kAB·kOM＝－＝－2≠－1，故A错误；对于B，根据kAB·kOM＝－2，kOM＝1，得kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，故B正确；对于C，若直线方程为y＝x＋1，点M，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，故C错误；对于D，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，得2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以|AB|＝·|－－0|＝，故D正确．故选BD.
4．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________.
答案　
解析　如图，双曲线的一条渐近线方程为

y＝x，F(5,0)，
∴直线过F且斜率为，
∴直线方程为y＝(x－5)，
由得－＝1，
整理得10x＝34，
∴x＝，y＝－，
而|AF|＝c－a＝5－3＝2，
∴S△AFB＝·|AF|·|y|＝×2×＝.
5．已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是时，＝4.
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
解　(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，直线l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.
联立
得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝4.
由已知＝4得y2＝4y1.
∴y1＝1，y2＝4，p＝2，
∴抛物线G的方程为x2＝4y.
(2)设直线l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，
由
得x2－4kx－16k＝0，
由Δ>0得k<－4或k>0，
∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k，
∴BC的中垂线为y－2k2－4k＝－(x－2k)，
∴b＝2(k＋1)2，∴b>2.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
答案　C
解析　因为通径为2p＝8，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.故选C.
2．直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点(　　)
A．至多有一个 B．有2个
C．有1个 D．没有
答案　B
解析　∵直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴>2，∴m2＋n2<4，∴＋<＋＝1－m2<1，∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个．
3．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(　　)
A．± B．±
C．± D．±2
答案　A
解析　将直线与椭圆方程联立得化简整理得(3＋4k2)x2＝12，(*)因为分别过A，B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，故方程的两个根为±1，代入方程(*)，得k＝±.故选A.
4．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝(　　)
A． B．2
C． D．3
答案　A
解析　设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．∴由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝，y0＝n.将x0，y0代入＋y2＝1，得×2＋2＝1.解得n2＝1，∴||＝＝＝.故选A.
5．(多选)过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则(　　)
A．以线段AB为直径的圆与直线x＝－相离
B．以线段AB为直径的圆与y轴相切
C．当＝2时，|AB|＝
D．|AB|的最小值为4
答案　ACD
解析　对于选项A，B，因为点M到准线x＝－1的距离为(|AF|＋|BF|)＝|AB|，所以以线段AB为直径的圆与直线x＝－1一定相切，与直线x＝－一定相离，故A正确，B错误．对于选项C，D，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋1，联立直线与抛物线的方程可得y2－4my－4＝0，故y1y2＝－4，x1x2＝1，若设A(4a2,4a)，则B，于是|AB|＝x1＋x2＋p＝4a2＋＋2，故|AB|的最小值为4，故D正确；当＝2时，可得y1＝－2y2，即4a＝－2，所以a2＝，|AB|＝，故C正确．故选ACD.
二、填空题
6．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
答案　6
解析　由于x2＝2py(p>0)的准线为y＝－，由解得准线与双曲线－＝1的交点为A，B，或A，B，则|AB|＝2，由△ABF为等边三角形，得|AB|＝p，解得p＝6.
7．椭圆Г：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________.
答案　－1
解析　因为tan∠MF1F2＝，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，F1M⊥F2M，且|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以c＋c＝2a，所以＝e＝－1.
8．双曲线的中心在原点，一个焦点坐标为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则双曲线的方程为________，弦MN的长为________.
答案　－＝1　
解析　由题意可得MN中点的坐标为，
设双曲线的方程为－＝1，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，则－＝1，①
－＝1，②
由①－②得＝，
即＝·，
所以＝，解得a2＝2，
故双曲线的方程为－＝1.
联立
得3x2＋4x－12＝0，则
x1＋x2＝－，x1x2＝－4，
故|MN|＝ ＝.
三、解答题
9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点的横坐标为2，求k的值．
解　(1)由题意，设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，
由抛物线的定义，得4－＝6，解得p＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝8x.

(2)将抛物线C的方程与直线的方程联立，得

消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
∵直线y＝kx－2与抛物线C相交于不同的两点A，B，则有k≠0，Δ＝64(k＋1)>0，解得k>－1且k≠0.
∴x1＋x2＝.
∵AB中点的横坐标为2，
∴＝＝2，解得k＝2或k＝－1(舍去)．
∴k的值为2.
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，直线l过A(a,0)，B(0，－b)两点，原点O到直线l的距离是.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点B作直线m交双曲线于M，N两点，若·＝－23，求直线m的方程．
解　(1)依题意，直线l的方程为＋＝1，
即bx－ay－ab＝0.
由原点O到直线l的距离是，得＝＝，
又e＝＝，所以b＝1，a＝.
故所求双曲线的方程为－y2＝1.
(2)显然直线m不与x轴垂直，
设直线m的方程为y＝kx－1，
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
联立方程
消去y得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0.①
依题意知1－3k2≠0，由根与系数的关系知
x1＋x2＝，x1x2＝.
则·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－23，解得k＝±，
当k＝±时，判别式Δ＝15>0，方程①有两个不相等的实数根，满足条件．
故直线l的方程为y＝x－1或y＝－x－1.
B级：“四能”提升训练
1．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是椭圆C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与椭圆C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求椭圆C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b的值．
解　(1)根据c＝及题意可得
M，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝，＝－2(舍去)．
故椭圆C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，
故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入椭圆C的方程，得＋＝1.　②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，所以b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
2．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，交准线l于点M，准线l与x轴交于点H.
(1)已知＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值；
(2)是否存在常数λ∈R，使得＝λ且|HA|2＋|HB|2＝都成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)由题设，得F(1,0)，准线l：x＝－1，H(－1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1≠0，y2≠0)，直线AB的方程为x＝my＋1，m≠0，
则M.
联立方程整理，得y2－4my－4＝0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
由＝λ1，＝λ2，得y1＋＝－λ1y1，
y2＋＝－λ2y2，即λ1＝－1－，λ2＝－1－，
所以λ1＋λ2＝－2－·＝－2＋2＝0.
(2)存在λ＝2或满足题意．理由如下：
由(1)知①
因为＝λ，所以y1＝－λy2，
代入①，得
消去y2，得4m2＝λ＋－2.
又H(－1,0)，所以|HA|2＋|HB|2
＝(x1＋1)2＋y＋(x2＋1)2＋y
＝(my1＋2)2＋y＋(my2＋2)2＋y
＝(m2＋1)y＋4my1＋4＋(m2＋1)y＋4my2＋4
＝(m2＋1)(y＋y)＋4m(y1＋y2)＋8
＝(m2＋1)[(y1＋y2)2－2y1y2]＋4m(y1＋y2)＋8
＝(m2＋1)(16m2＋8)＋16m2＋8
＝16m4＋40m2＋16，
所以16m4＋40m2＋16＝，
解得m2＝，
所以＝λ＋－2，
解得λ＝2或λ＝.
故存在满足条件的λ，且λ＝2或λ＝.