高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示课时作业

第一章　1.3　1.3.2

A组·素养自测

一、选择题

1．已知向量a＝(2,3,1)，b＝(1,2,0)，则|a－b|等于( B )

A．1  B．

C．3  D．9

[解析]　∵a＝(2,3,1)，b＝(1,2,0)，

∴a－b＝(1,1,1)，∴|a－b|＝＝.

2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( B )

A．x＝，y＝1  B．x＝，y＝－4

C．x＝2，y＝－  D．x＝1，y＝－1

[解析]　a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，

2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，

∵(a＋2b)∥(2a－b)，

∴∴

3．在空间中，已知＝(1，－1,0)，＝(－1,0,1)，则异面直线AB与DC所成角的大小为( B )

A．30°  B．60°

C．120°  D．150°

[解析]　令异面直线AB与DC所成角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，所以AB与DC的夹角为60°，故选B．

4．已知空间四点A(1,2，－1)，B(2,5,1)，C(－3,2,0)，D(－1,3,2)，则在的投影向量为( C )

A．(6，3，6) 

B．(2，，2)

C．(2,1,2) 

D．(6,3,6)

[解析]　∵＝(1,3,2)，＝(2,1,2)，

∴在的投影向量为·＝·＝(2,1,2)．

5．(多选)若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( AD )

A．cos 〈a，b〉＝－  B．a⊥b

C．a∥b　　  D．|a|＝|b|

[解析]　因为向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，

所以|a|＝，|b|＝，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos〈a，b〉＝＝－.

所以A正确，B不正确，D正确，C显然也不正确．

二、填空题

6．若向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)＝_3__.

[解析]　∵b＋c＝(2,0,3)＋(0,2,2)＝(2,2,5)，

∴a·(b＋c)＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝4－6＋5＝3.

7．已知a＝(1，－2,1)，b＝(3,0,5)，c＝(0,0，λ)，若a·(b－c)＝0，则λ＝_8__.

[解析]　b－c＝(3,0,5－λ)，因为a·(b－c)＝0，则3＋5－λ＝0，所以λ＝8.

8．(2023·莆田高二检测)在△ABC中，已知＝(2,4,0)，＝(－1,3,0)，则∠ABC＝ 　.

[解析]　由题意可得||＝2，||＝，

·＝2×(－1)＋4×3＋0×0＝10，

因为·＝||||cos 〈，〉，

所以cos 〈，〉＝＝，

所以〈，〉＝，

所以∠ABC＝π－＝.

三、解答题

9．已知点A(2,3，－1)，B(8，－2,4)，C(3,0,5)，是否存在实数λ，使与＋λ垂直？

[解析]　＝(6，－5,5)，＝(1，－3,6)，

＋λ＝(6＋λ，－5－3λ，5＋6λ)，

∵⊥(＋λ)

∴6(6＋λ)－5(－5－3λ)＋5(5＋6λ)＝0，

∴λ＝－，∴存在实数λ＝－，

使与＋λ垂直．

10．已知向量a＝(1,2，－2)，b＝(4，－2,4)，c＝(3，m，n)．

(1)求a－b；

(2)若a∥c，求m，n；

(3)求cos〈a，b〉．

[解析]　(1)因为a＝(1,2，－2)，b＝(4，－2,4)，

所以a－b＝(1,2，－2)－(4，－2,4)

＝(1－4,2－(－2)，－2－4)

＝(－3,4，－6)．

(2)因为a＝(1,2，－2)，c＝(3，m，n)，若a∥c，

则＝＝，解得m＝6，n＝－6.

(3)因为a＝(1,2，－2)，b＝(4，－2,4)，

所以a·b＝1×4＋2×(－2)＋(－2)×4＝－8，

|a|＝＝3，

|b|＝＝6，

cos〈a，b〉＝＝＝－.

B组·素养提升

一、选择题

1．已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( B )

A．(－1,1,0)  B．(1，－1,0)

C．(0，－1,1)  D．(－1,0,1)

[解析]　设b1＝(－1,1,0)，b2＝(1，－1,0)，b3＝(0，－1,1)，b4＝(－1,0,1)．

因为cos〈a，b1〉＝＝＝－，所以〈a，b1〉＝120°；

因为cos〈a，b2〉＝＝＝，所以〈a，b2〉＝60°；

因为cos〈a，b3〉＝＝＝－，所以〈a，b3〉＝120°；

因为cos〈a，b4〉＝＝＝－1，所以〈a，b4〉＝180°.

2．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(－1，x－1,1)且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是( B )

A．(－3，＋∞)

B．∪

C．(－∞，－3)

D．

[解析]　由a与b夹角为钝角得a·b<0，

即(2，－1，－2)·(－1，x－1,1)＝－3－x<0，x>－3，

当a∥b时＝＝，x＝，又a，b反向时夹角为平角，∴x>－3且x≠，选B．

3．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是( C )

A．  B．

C．  D．

[解析]　b－a＝(1＋t,2t－1,0)，

所以|b－a|＝＝.

所以当t＝时，|b－a|min＝.

4．(多选)(2023·鄂州高二检测)点P是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则·的值可能是( CD )

A．－3　　  B．－

C．－2　　  D．－1

[解析]　如图建系：

因为P在底面A1B1C1D1内，

所以设P(x，y,0)，(x∈[0,2]，y∈[0,2])，

又A(2,0,2)，C1(0,2,0)，所以＝(2－x，－y,2)，＝(－x,2－y,0)，·＝(2－x)(－x)＋(－y)(2－y)＝x2－2x＋y2－2y＝(x－1)2＋(y－1)2－2，

因为x∈[0,2]，y∈[0,2]，

所以·＝(x－1)2＋(y－1)2－2的最小值为－2，最大值为0，所以·的值可能是－2，－1.

二、填空题

5．(2023·河南安阳高二检测)已知a＝(2,3，－1)，b＝(－2，1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为　 6　.

[解析]　a·b＝(2,3，－1)·(－2,1,3)＝－4＋3－3＝－4，

|a|＝，|b|＝，

所以cos〈a，b〉＝＝－.所以sin〈a，b〉＝.

所以平行四边形的面积为S＝|a||b|sin〈a，b〉＝××＝6.

6．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则向量a－b与a的夹角为 　；若ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是 　.

[解析]　因为a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则a－b＝(2,1，－2)，

所以cos〈a－b，a〉＝＝＝，

又因为向量夹角的取值范围是[0，π]，所以〈a－b，a〉＝；

因为ka＋b和2a－b垂直，

则有(ka＋b)·(2a－b)＝0，即2ka2＋(2－k)a·b－b2＝0，

所以有2k×2＋(2－k)(－1＋0＋0)－5＝0，解得k＝.

7．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos∠EAF＝ 　，EF＝ 　.

[解析]　以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系(图略)，因为正方体棱长为1，则E，F，∴＝，＝，＝，

∴cos〈，〉＝＝＝，

∴cos∠EAF＝，EF＝||＝.

三、解答题

8．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,2)．

(1)若∥，∥，求点D的坐标；

(2)问是否存在实数α、β，使得＝α＋β成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，说明理由．

[解析]　(1)设D(x，y，z)，则＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)，＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)．

因为∥，∥，

所以，

解得，即D(－1,1,2)．

(2)依题意＝(－1,1,0)、＝(－1,0,2)、＝(0，－1，2)，

假设存在实数α、β，使得＝α＋β成立，则有(－1,0，2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)，

所以，故存在α＝β＝1，使得＝α＋β成立．

9．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？

[解析]　以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意知A(0,0,0)，C(0,2,0)，

B(，1,0)，B1(，1,2)，M.

又点N在CC1上，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，则＝(，1,2)，

＝，

所以||＝2，||＝，

·＝2m－1.

如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°，那么向量和的夹角等于45°或135°.

又cos〈，〉＝＝，

所以＝±，解得m＝－，

这与0≤m≤2矛盾．

所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.