新教材2023年高中数学第1章空间向量与立体几何

第一章　1.4　1.4.1　第1课时A组·素养自测一、选择题1．已知A(3,5,2)，B(－1,2,1)，把eq \o(AB,\s\up6(→))沿x轴正方向平移2个单位后所得的向量是( B )A．(－4，－3,0)　　 B．(－4，－3，－1)C．(－2，－1,0)　　 D．(－2，－2,0)[解析]　eq \o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3，－1)．平移后向量的模和方向是不改变的，是与eq \o(AB,\s\up6(→))相等的向量．2．下列命题中，正确的个数有( C )(1)直线l的方向向量是唯一的；(2)若点A、B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则eq \o(AB,\s\up6(→))·n＝0；(3)若向量n1、n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行；(4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[解析]　只有①错误，其余都正确．3．已知直线l1的一个方向向量a＝(x2＋x,1,3)，直线l2的一个方向向量b＝(2，y,3)，若l1∥l2，则x＋y的值是( A )A．－1或2 B．1或－2C．－1 D．2[解析]　∵a＝(x2＋x,1,3)，b＝(2，y,3)，l1∥l2，∴a∥b，∴(x2＋x,1,3)＝λ(2，y,3)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋x＝2λ,1＝λy,3＝3λ))解得x＝－2或1，y＝1，λ＝1，所以x＋y＝－1或2，故选A．4．已知向量a＝(2,4,5)、b＝(5，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( D )A．x＝6，y＝15　 B．x＝3，y＝eq \f(15,2)C．x＝10，y＝15 D．x＝10，y＝eq \f(25,2)[解析]　∵l1∥l2，∴a∥b，∴eq \f(5,2)＝eq \f(x,4)＝eq \f(y,5)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝10,y＝\f(25,2))).5．(多选)(2023·武汉高二检测)已知空间中三点A(0，1,0)，B(2,2,0)，C(－1,3,1)，则下列说法正确的是( BD )A．eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(AC,\s\up6(→))是共线向量B．与eq \o(AB,\s\up6(→))同向的单位向量是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)，0))C．eq \o(AB,\s\up6(→))和eq \o(BC,\s\up6(→))夹角的余弦值是eq \f(\r(55),11)D．平面ABC的一个法向量是(1，－2,5)[解析]　对于A，eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2,1,0)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(－1,2,1)，可知eq \o(AB,\s\up6(→))≠λeq \o(AC,\s\up6(→))，eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(AC,\s\up6(→))不共线，A错误；对于B，因为eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2,1,0)，所以|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，所以eq \f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)，0))，即与eq \o(AB,\s\up6(→))同向的单位向量是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)，0))，B正确；对于C，因为eq \o(BC,\s\up6(→))＝(－3,1,1)，所以cos 〈eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(－5,\r(5)×\r(11))＝－eq \f(\r(55),11)，即eq \o(AB,\s\up6(→))和eq \o(BC,\s\up6(→))夹角的余弦值为－eq \f(\r(55),11)，C错误；对于D，设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝2x＋y＝0,n·\o(BC,\s\up6(→))＝－3x＋y＋z＝0))，令x＝1，解得y＝－2，z＝5，所以n＝(1，－2,5)，即平面ABC的一个法向量为(1，－2,5)，D正确．二、填空题6．已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为_l∥α或l⊂α__.[解析]　u·v＝2×(－2)＋0×1＋(－1)×(－4)＝0，∴l∥α或l⊂α.7．已知A、B、C三点的坐标分别为A(1,2,3)、B(2，－1，1)、C(3，λ，λ)，若eq \o(AB,\s\up6(→))⊥eq \o(AC,\s\up6(→))，则λ等于 eq \f(14,5)　.[解析]　eq \o(AB,\s\up6(→))＝(1，－3，－2)、eq \o(AC,\s\up6(→))＝(2，λ－2，λ－3)，∵eq \o(AB,\s\up6(→))⊥eq \o(AC,\s\up6(→))，∴eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝0，∴2－3(λ－2)－2(λ－3)＝0，解得λ＝eq \f(14,5).8．若Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2，\f(19,8)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(5,8)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，1，\f(5,8)))是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝ 2∶3∶(－4)　.[解析]　因为eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－3，－\f(7,4)))，eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(7,4)))，又因为a·eq \o(AB,\s\up6(→))＝0，a·eq \o(AC,\s\up6(→))＝0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3y－\f(7,4)z＝0，,－2x－y－\f(7,4)z＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)y，,z＝－\f(4,3)y.))所以x∶y∶z＝eq \f(2,3)y∶y∶eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)y))＝2∶3∶(－4)．三、解答题9．设a、b分别是不重合的直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：(1)a＝(4,6，－2)、b＝(－2，－3,1)；(2)a＝(5,0,2)、b＝(0,1,0)；(3)a＝(－2，－1，－1)、b＝(4，－2，－8)．[解析]　(1)∵a＝(4,6，－2)、b＝(－2，－3,1)，∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.(2)∵a＝(5,0,2)、b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，a⊥b，∴l1⊥l2.(3)∵a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)，∴a与b不共线也不垂直．∴l1与l2相交或异面．10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝eq \f(π,4)，PA⊥底面ABCD，PA＝2，点M为PA的中点，点N为BC的中点．AF⊥CD于F，如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD．[解析]　由题设知：在Rt△AFD中，AF＝FD＝eq \f(\r(2),2)，A(0,0,0)，B(1,0,0)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，P(0,0,2)，M(0,0,1)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，0)).eq \o(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，－1))，eq \o(PF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)，－2))，eq \o(PD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，－2))设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(PF,\s\up6(→))＝0，,n·\o(PD,\s\up6(→))＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)y－2z＝0，,－\f(\r(2),2)x＋\f(\r(2),2)y－2z＝0，))令z＝eq \r(2)，得n＝(0,4，eq \r(2))．因为eq \o(MN,\s\up6(→))·n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，－1))·(0,4，eq \r(2))＝0，又MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD．B组·素养提升一、选择题1．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝34，则B点的坐标为( A )A．(18,17，－17) B．(－14，－19,17)C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(7,2)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(11,2)，13))[解析]　设B点坐标为(x，y，z)，则eq \o(AB,\s\up6(→))＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，因为|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝34，即eq \r(64λ2＋81λ2＋144λ2)＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17.2．(多选)若eq \o(PA,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是( ABC )A．eq \o(PA,\s\up6(→))⊥eq \o(AB,\s\up6(→))　 B．eq \o(PA,\s\up6(→))⊥eq \o(CD,\s\up6(→))C．eq \o(PC,\s\up6(→))⊥eq \o(BD,\s\up6(→))　 D．eq \o(PC,\s\up6(→))⊥eq \o(AB,\s\up6(→))[解析]　由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面内的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．3．(多选)下面各组向量为直线l1与l2方向向量，则l1与l2平行的是( ABC )A．a＝(1,2，－2)、b＝(－2，－4,4)B．a＝(1,0,0)、b＝(－3,0,0)C．a＝(2,3,0)、b＝(4,6,0)D．a＝(－2,3,5)、b＝(－4,6,8)[解析]　l1与l2不平行则其方向向量一定不共线．A中：b＝－2a，B中：b＝－3a，C中：b＝2A．故选ABC．4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq \f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( B )A．相交　 B．平行C．垂直　 D．不能确定[解析]　分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．∵A1M＝AN＝eq \f(\r(2),3)a，eq \o(MB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \o(A1B,\s\up6(→))，eq \o(CN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \o(CA,\s\up6(→))，∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2,3)a，\f(a,3)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(2,3)a，a))，∴eq \o(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，0，\f(2,3)a)).又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴eq \o(C1D1,\s\up6(→))＝(0，a,0)，∴eq \o(MN,\s\up6(→))·eq \o(C1D1,\s\up6(→))＝0，∴eq \o(MN,\s\up6(→))⊥eq \o(C1D1,\s\up6(→)).∵eq \o(C1D1,\s\up6(→))是平面BB1C1C的法向量，且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C．二、填空题5．已知向量b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)，若在直线AB上，存在一点E，使得eq \o(OE,\s\up6(→))⊥b(O为原点)，则E点的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5)))　.[解析]　eq \o(OE,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋teq \o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，因为eq \o(OE,\s\up6(→))⊥b，则eq \o(OE,\s\up6(→))·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝eq \f(9,5)，因此存在点E，使得eq \o(OE,\s\up6(→))⊥b，此时E点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5))).6．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_x＋2y－3z＝0__.[解析]　由题意得e⊥eq \o(OM,\s\up6(→))，则eq \o(OM,\s\up6(→))·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0.7．在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(1，－2,3)、B(2,1，－1)，向量eq \o(AB,\s\up6(→))的坐标为_(1,3，－4)__，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，0，\f(1,3)))　.[解析]　设点C的坐标为(x,0，z)，则eq \o(AC,\s\up6(→))＝(x－1,2，z－3)，eq \o(AB,\s\up6(→))＝(1,3，－4)，因为eq \o(AC,\s\up6(→))与eq \o(AB,\s\up6(→))共线，所以eq \f(x－1,1)＝eq \f(2,3)＝eq \f(z－3,－4)，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3),z＝\f(1,3)))，所以点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，0，\f(1,3))).三、解答题8.如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝eq \r(5)，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．求证：MN∥平面ABCD．[解析]　如图所示，以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0)，C(2,0,0)，D(1，－2,0)，B1(0,1,2)，D1(1，－2,2)．因为M，N分别为B1C，D1D的中点，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，1))，N(1，－2,1)．依题意，可得n＝(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，又eq \o(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,2)，0))，则eq \o(MN,\s\up6(→))·n＝0，又MN⊄平面ABCD，所以MN∥平面ABCD．9．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求证：平面AB′D′∥平面BDC′.[证明]　方法一：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B′(1,1，1)，D′(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，C′(0,1,1)，于是eq \o(AB′,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq \o(D′B′,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \o(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \o(DC′,\s\up6(→))＝(0,1,1)．设平面AB′D′的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1⊥eq \o(AB′,\s\up6(→))，n⊥eq \o(D′B′,\s\up6(→))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n1·\o(AB′,\s\up6(→))＝y1＋z1＝0，,n1·\o(D′B′,\s\up6(→))＝x1＋y1＝0.))令y1＝1，则x1＝－1，z1＝－1，可得平面AB′D′的一个法向量为n1＝(－1,1，－1)．设平面BDC′的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．则n2⊥eq \o(DB,\s\up6(→))，n2⊥eq \o(DC′,\s\up6(→))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n2·\o(DB,\s\up6(→))＝x2＋y2＝0，,n2·\o(DC′,\s\up6(→))＝y2＋z2＝0.))令y2＝1，则x2＝－1，z2＝－1，可得平面BDC′的一个法向量为n2＝(－1,1，－1)．所以n1＝n2，所以n1∥n2，故平面AB′D′∥平面BDC′.方法二：由方法一知eq \o(AD′,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq \o(BC′,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq \o(AB′,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq \o(DC′,\s\up6(→))＝(0,1,1)，所以eq \o(AD′,\s\up6(→))＝eq \o(BC′,\s\up6(→))，eq \o(AB′,\s\up6(→))＝eq \o(DC′,\s\up6(→))，即AD′∥BC′，AB′∥DC′，所以AD′∥平面BDC′，AB′∥平面BDC′.又AD′∩AB′＝A，所以平面AB′D′∥平面BDC′.方法三：同方法一得平面AB′D′的一个法向量为n1＝(－1,1，－1)．易知eq \o(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \o(DC′,\s\up6(→))＝(0,1,1)．因为n1·eq \o(DB,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)·(1,1,0)＝0，n1·eq \o(DC′,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)·(0,1,1)＝0，所以n1也是平面BDC′的一个法向量，所以平面AB′D′∥平面BDC′.