数学选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率复习练习题

第二章　2.1　2.1.1

A　组·素养自测

一、选择题

1．下图中，α能表示直线l的倾斜角大小的是( C )

A．①　　　　  B．①②　　　

C．①③　　　  D．②④

[解析]　①③中直线的倾斜角为α，故选C.

2．已知直线l经过A(1,2)，B(3,5)，则直线l的一个方向向量为( A )

A．(2,3)　　  B．(3,2)

C．(1,5)　　  D．(－3,2)

[解析]　因为直线经过A(1,2)，B(3,5)，所以＝(3－1,5－2)＝(2,3)，所以直线l的一个方向向量为(2,3)．

3．已知A(2，)，B(1,0)，则直线AB的倾斜角为( B )

A.  B．

C.  D．

[解析]　因为A(2，)，B(1,0)，

所以直线AB的斜率k＝＝，

所以直线AB的倾斜角为.

4．如果过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，那么m的值为( A )

A．1  B．4

C．1或3  D．1或4

[解析]　由斜率公式得k＝＝1，解得m＝1.

5．(多选)下列说法中，正确的是( CD )

A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α

B．一条直线的倾斜角为－30°

C．若直线的倾斜角为α，则sin α≥0

D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α

[解析]　根据题意，依次分析选项：

对于A，直线的倾斜角为α，当α＝90°时，斜率不存在，A错误；对于B，直线的倾斜角的范围为[0°，180°)，B错误；对于C，直线的倾斜角的范围为[0°，180°)，则有sin α≥0，C正确；对于D，任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α，D正确．

二、填空题

6．已知点A(n，－n－3)，B(2，n－1)，C(－1,4)，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，则实数n的值为_1或2__.

[解析]　由题意知n≠－1，直线AC的斜率为，直线BC的斜率为，所以＝3×，整理得n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2.

7．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是_[0,2]__.

[解析]　如图，当直线l在l1位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0,2]．

三、解答题

8．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．

(1)求直线AB和AC的斜率；

(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．

[解析]　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.

(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.

B　组·素养提升

一、选择题

1．(多选)在下列四个结论中，错误的有( ACD )

A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率

B．直线的倾斜角的取值范围为[0，π)

C．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α

D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α

[解析]　对于A，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，A错误；对于B，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，B正确；对于C，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，如直线y＝x的斜率为tan，它的倾斜角为，C错误；对于D，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在，D错误．故选ACD.

2．一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( D )

A．α  B．180°－α

C．180°－α或90°－α  D．90°＋α或90°－α

[解析]　如图(1)，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；如图(2)，当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.

二、填空题

3．已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)、P2(x2,5)、P3(3,1)是此直线上的三点，则x2＋y1＝_7__.

[解析]　∵α＝45°，∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，

又P1，P2，P3都在此直线上，

故kP1P3＝kP2P3＝k，即＝＝1，解得x2＝7，y1＝0.

∴x2＋y1＝7.

4．已知A(3，－1)，B(1,2)，P(x，y)是线段AB上的动点，则的取值范围是 　.

[解析]　表示直线OP的斜率，当点P与点A重合时，取最小值－，当点P与点B重合时，取最大值2.

所以∈.

5．光线从点A(－2，)射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1,2)，则光线BC所在直线的倾斜角为_60°__.

[解析]　点A(－2，)关于x轴的对称点为A′(－2，－)由物理知识知kBC＝kA′C＝＝，所以所求倾斜角为60°.

三、解答题

6．过点A(2,1)，B(m,3)的直线的倾斜角α的范围是，求实数m的取值范围．

[解析]　由直线的倾斜角α的范围是得，直线的斜率存在时，有k≤－1或k≥1又kAB＝＝，所以≤－1或≥1，

解得0≤m＜2或2＜m≤4.

当直线的斜率不存在时，m＝2.

综上，实数m的取值范围是[0,4]．