高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程课后复习题

第二章　2.2　2.2.3

A　组·素养自测

一、选择题

1．直线x－y＋2＝0的倾斜角是( B )

A．30°  B．45°

C．60°  D．90°

[解析]　由x－y＋2＝0，得y＝x＋2.

其斜率为1，倾斜角为45°.

2．经过点A(3,0)且斜率为1的直线的方程是( B )

A．x＋y－3＝0  B．x－y－3＝0

C．x＋y＋3＝0  D．x－y＋3＝0

[解析]　由点斜式可得y－0＝x－3，化为一般式为x－y－3＝0.

3．已知点(－3，－1)和点(b，－4)均在直线3x－2y－a＝0上，则ab的值为( C )

A.  B．－35

C．35  D．－

[解析]　∵点(－3，－1)在直线3x－2y－a＝0上，

∴3×(－3)－2×(－1)－a＝0，解得a＝－7.

又点(b，－4)在直线3x－2y＋7＝0上，

∴3b＋8＋7＝0，解得b＝－5，

∴ab＝35.

4．(2023·吉林高二检测)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为( C )

A．2x＋y－1＝0　　  B．x－2y－3＝0

C．x＋2y＋1＝0　　  D．2x－y－3＝0

[解析]　因为直线l与直线2x－y－5＝0垂直，所以直线l可设为x＋2y＋m＝0，

因为直线l经过点(1，－1)，

所以1＋2×(－1)＋m＝0，解得m＝1，

则直线l的方程为x＋2y＋1＝0.

5．直线l：(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒过定点( B )

A．(－1,1)  B．(1，－1)

C．(－1，－1)  D．(1,1)

[解析]　由(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0，得k(x－y－2)＋x＋y＝0，

由，得.

∴直线l过定点(1，－1)．

二、填空题

6．已知2a1＋3b1＝1,2a2＋3b2＝1，则过点A(a1，b1)，B(a2，b2)的直线方程为_2x＋3y＝1__.

[解析]　由条件知，点A，B的坐标满足方程2x＋3y＝1，又经过A，B两点有且仅有一条直线，∴过A，B的直线方程为2x＋3y＝1.

7．若直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋y＋9＝0平行，则a＝_±2__.

[解析]　∵l1∥l2，∴解得a＝±2.

8．若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围是 　.

[解析]　直线方程可化为y＝(3－2t)x－6，

∴3－2t≤0，∴t≥.

三、解答题

9．求与直线3x－4y＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程．

[解析]　方法一：由题意知：可设l的方程为3x－4y＋m＝0，(m≠7)，

则l在x轴、y轴上的截距分别为－，.

由－＋＝1知，m＝－12.

∴直线l的方程为：3x－4y－12＝0.

方法二：设直线方程为＋＝1，

由题意得 解得.

∴直线l的方程为：＋＝1.

即3x－4y－12＝0.

10．当0<a<2时，直线l1：ax－2y＝2a－4与l2：2x＋a2y＝2a2＋4和两坐标轴围成一个四边形，问a取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值．

[解析]　如图，由已知l1：a(x－2)－2(y－2)＝0，

l2：2(x－2)＋a2(y－2)＝0.

∴l1、l2都过定点P(2,2)，且l1在y轴上的截距为2－a，l2在x轴上的截距为a2＋2，连结OP.

∴四边形面积：S＝S△AOP＋S△OBP＝×2×(2－a)＋×2×(2＋a2)＝a2－a＋4＝2＋，又0<a<2，故当a＝时，Smin＝.

B　组·素养提升

一、选择题

1．(多选)直线l1：ax－y＋b＝0与直线l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象可能是( BC )

[解析]　A中，由l1可知a>0，b<0，则－b>0，与l2不符．

B中，由l1可知a>0，b>0，则－b<0，与l2相符．

C中，由l1可知a<0，b>0，则－b<0，与l2相符．

D中，由l1可知a>0，b>0，则－b<0，与l2不符．

2．(多选)已知直线l1：3x＋y－3＝0，直线l2：6x＋my＋1＝0，则下列表述正确的有( BD )

A．直线l2的斜率为－

B．若直线l1垂直于直线l2，则实数m＝－18

C．直线l1倾斜角的正切值为3

D．若直线l1平行于直线l2，则实数m＝2

[解析]　当m＝0时，直线l2的斜率不存在，故选项A错误；当直线l1垂直于直线l2，则有3×6＋1×m＝0，解得m＝－18，故选项B正确；

直线l1的斜率为－3，故倾斜角的正切值为－3，故选项C错误；

当直线l1平行于直线l2，则

解得m＝2，故选项D正确．

3．两直线mx＋y－n＝0与x＋my＋1＝0互相平行的条件是( D )

A．m＝1  B．m＝±1

C.  D．或

[解析]　根据两直线平行可得＝，所以m＝±1，又两直线不可重合，所以m＝1时，n≠－1；m＝－1时，n≠1.

4．一条光线从点A(2,4)射出，倾斜角为60°，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为( C )

A.x－y＋4－2＝0  B．x－y－2－4＝0

C.x＋y＋4－2＝0  D．x＋y－2－4＝0

[解析]　光线的直线方程为y－4＝(x－2)，即x－y－2＋4＝0，则与x轴交点为且倾斜角为120°，则y＝－，即x＋y＋4－2＝0，选C.

二、填空题

5．已知直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为_3x＋4y±24＝0__.

[解析]　设直线l方程为3x＋4y＋b＝0，

令x＝0得y＝－；令y＝0得x＝－.

由条件知··＝24.解之得b＝±24.

∴直线l方程为3x＋4y±24＝0.

6．若直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1在y轴上截距等于1，则实数m的值_3__.

[解析]　直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1的方程可化为(m＋1)x＋(m＋1)(m－2)y＝m＋1，

由题意知m＋1≠0，令x＝0得(m－2)y＝1，由题意得＝1，∴m＝3.

7．(2023·青岛检测)已知直线l过点P(－2,3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为_3x－2y＋12＝0__.

[解析]　方法一：设直线l的方程为＋＝1(a≠0，b≠0)，则由题意可知A(a,0)，B(0，b)．

因为P(－2,3)是AB的中点，

所以＝－2，＝3，解得a＝－4，b＝6.

所以直线l的方程为＋＝1，即3x－2y＋12＝0.

方法二：设直线l的方程为y－3＝k(x＋2)(k≠0)．令x＝0，得y＝2k＋3；令y＝0，得x＝－－2，故A，B(0,2k＋3)．

因为P是AB的中点，所以＝－2，

＝3，解得k＝.

故直线l的方程为y－3＝(x＋2)，即3x－2y＋12＝0.

三、解答题

8．已知直线l：(3m＋1)x＋y－3m－4＝0(m∈R)．

(1)求证：不论m为何值，直线l总经过第一象限；

(2)若l经过第一、二、三象限，求m的取值范围．

[解析]　(1)直线l的方程整理为m(3x－3)＋(x＋y－4)＝0，

由得即l恒过定点(1,3)，因为(1,3)点在第一象限，所以不论m为何值，直线l总过第一象限．

(2)直线l的方程整理得y＝－(3m＋1)x＋(3m＋4)，

因为l经过第一、二、三象限，

所以解得－<m<－.

所以m的取值范围为－<m<－.

9．求满足下列条件的直线方程．

(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0的斜率的2倍；

(2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12.

[解析]　(1)因为3x＋8y－1＝0可化为y＝－x＋，

所以直线3x＋8y－1＝0的斜率为－，

则所求直线的斜率k＝2×＝－.

又直线经过点(－1，－3)，

因此所求直线的方程为y＋3＝－(x＋1)，

即3x＋4y＋15＝0.

(2)设直线与x轴的交点为(a,0)，

因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意有4＋＋|a|＝12，解得a＝±3，

所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，

即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.