高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式课时作业

第二章　2.3　2.3.1  2.3.2

A　组·素养自测

一、选择题

1．直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是( C )

A．(2,0)  B．(2,1)

C．(0,2)  D．(1,2)

[解析]　解方程组得即直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是 (0,2)．

2．已知A(2,1)、B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于( C )

A．－3  B．5

C．－3或5  D．－1或－3

[解析]　由两点间的距离公式知

|AB|＝＝，

由5＝，

解得b＝－3或b＝5.

3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为( B )

A．2x＋y＝0  B．2x－y＝0

C．x＋2y＝0  D．x－2y＝0

[解析]　解法一：由，

解得，

∴kl＝2.∴l的方程为y＋2＝2(x＋1)，即2x－y＝0.

解法二：设l：2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0.

∵l过原点，

∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴l方程为2x－y＝0.

4．直线l1：x＋my－6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，则( A )

A．m≠－1且m≠3　  B．m≠－1且m≠－3

C．m≠1且m≠3　  D．m≠1且m≠－1

[解析]　因为直线l1：x＋my－6＝0与直线

l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，

所以两条直线不平行也不重合，

∴m(m－2)≠3，解得m≠－1，m≠3，

∴m的取值范围是m≠－1且m≠3，故选A.

5．(多选)两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值可以是( BC )

A．－24　　  B．6　　

C．－6　　  D．24

[解析]　2x＋3y－m＝0在y轴上的截距为，直线x－my＋12＝0在y轴上的截距为，由＝，得m＝±6.

二、填空题

6．三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，则a的值为 －　.

[解析]　解方程组得所以两条直线的交点坐标为(4，－2)．由题意知点(4，－2)也在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－.

7．已知A(1，－1)、B(a,3)、C(4,5)，且|AB|＝|BC|，则a＝ 　.

[解析]　＝，

解得a＝.

8．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a＋2)x＋(2a＋3)y＋2＝0不相交，则实数a＝ －2或－　.

[解析]　由题意，得(a＋2)(2a＋3)－(1－a)(a＋2)＝0，解得a＝－2或－.经检验a＝－2或－均满足题意．

三、解答题

9．已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点M在第四象限，求实数m的取值范围．

[解析]　由，得.

∴交点M的坐标为.

∵交点M在第四象限，∴，

解得－1<m<.

∴m的取值范围是.

10．已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)、B(－1,3)、C(3,0)．

(1)判断△ABC的形状；

(2)求△ABC的面积．

[解析]　(1)如图，△ABC为直角三角形，下面进行验证

方法一：∵|AB|＝＝＝2，

|AC|＝＝，

|BC|＝＝＝5，

∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，

即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．

方法二：∵kAB＝＝－2，kAC＝＝，

∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，

∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．

(2)∵∠A＝90°，∴S△ABC＝|AB|·|AC|＝5.

B　组·素养提升

一、选择题

1．若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是( C )

A．{θ|0°<θ<60°}  B．{θ|30°<θ<60°}

C．{θ|30°<θ<90°}  D．{θ|60°<θ<90°}

[解析]　由题可知k≠－1，联立解得x＝，y＝，

∴两直线的交点坐标为.

∵两直线的交点在第一象限，∴

解得k>.又直线l的倾斜角为θ，则tan θ>，

∴30°<θ<90°.故选C.

2．(多选)已知两点P(m,1)和Q(1,2m)之间的距离大于，则实数m可以取的值是( BC )

A．2  B．3

C．－1  D．－

[解析]　根据两点间的距离公式

|PQ|＝＝＞，∴5m2－6m－8＞0，∴m＜－或m＞2.

由选项可知，BC正确．

3．(多选)若三条直线2x＋y－4＝0，x－y＋1＝0与ax－y＋2＝0共有两个交点，则实数a的值可以为( AC )

A．1　　  B．2

C．－2　　  D．－1

[解析]　由直线2x＋y－4＝0，x－y＋1＝0与ax－y＋2＝0共有两个交点，

所以这三条直线必有两条直线平行，

又直线2x＋y－4＝0，x－y＋1＝0不平行，

所以当直线2x＋y－4＝0与ax－y＋2＝0平行时，a＝－2；当直线x－y＋1＝0与ax－y＋2＝0平行时，a＝1；综上知，实数a的值为1或－2.

4．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为( B )

A．24  B．20

C．0  D．－4

[解析]　∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，

∴－·＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)，

∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，

将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，

∴m－n＋p＝20.

二、填空题

5．已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是 －<a<2　.

[解析]　解方程组，得.交点在第四象限，所以，解得－<a<2.

6．(2023·吉林检测)已知点A(1,1)，B(4,3)，点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为_5__.

[解析]　如图所示，作点A关于x轴的对称点A′(1，－1)，则|PA′|＝|PA|.∴|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|.

∵|A′B|＝

＝5，

∴|PA|＋|PB|≥5.

故|PA|＋|PB|的最小值为5.

7．已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上存在一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为_(1,0)__，|PA|＝ 2　.

[解析]　根据题意可设点P的坐标为(x,0)，于是有|PA|＝＝，|PB|＝＝.

由|PA|＝|PB|，得＝，

即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.

所以点P的坐标为(1,0)，|PA|＝＝2.

三、解答题

8．如图，△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠BAC的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．

[解析]　由方程组

得顶点A(－1,0)，则边AB所在直线的斜率kAB＝＝1.

∵∠BAC的平分线所在直线的方程为y＝0，

∴直线AC的斜率为－1，AC所在直线的方程为y＝－(x＋1)．

∵BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，

∴kBC＝－2.

又点B的坐标为(1,2)，

∴BC所在直线的方程为y＝－2(x－1)＋2.

由得C(5，－6)．

综上，A(－1,0)，C(5，－6)．

9．如图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问是否在BC上存在一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？若存在，则求出小路DM的长．

[解析]　以B为坐标原点，BC、BA所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．

因为AD＝5 m，AB＝3 m，

所以C(5,0)、D(5,3)、A(0,3)．

设点M的坐标为(x,0)，因为AC⊥DM，

所以kAC·kDM＝－1，即·＝－1.

所以x＝3.2，即|BM|＝3.2，

即点M的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC与DM相互垂直．

故在BC上存在一点M(3.2,0)满足题意．

由两点间距离公式得|DM|＝＝.所以小路DM的长为 m.