高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程练习

第二章　2.4　2.4.1

A　组·素养自测

一、选择题

1．已知点A(－2,1)，B(0，－3)，则以线段AB为直径的圆的方程为( B )

A．(x－1)2＋(y－1)2＝5

B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5

C．(x－1)2＋(y－1)2＝20

D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝20

[解析]　因为点A(－2,1)，B(0，－3)，故AB的中点即为圆心，

则圆心坐标为(－1，－1)，AB为圆的直径，根据两点间距离公式

|AB|＝＝＝2，

故圆的半径为＝，

所以以线段AB为直径的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝5.

2．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆心C的轨迹是( D )

A．点  B．直线

C．线段  D．圆

[解析]　∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，

∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，即(a－1)2＋b2＝1，

∴圆心C的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．

3．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)满足( C )

A．是圆心  B．在圆上

C．在圆内  D．在圆外

[解析]　因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，

故点P(3,2)在圆内．

4．若圆(x－1)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝kx＋2对称，则k＝( D )

A．2　　  B．－2

C．1　　  D．－1

[解析]　因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝kx＋2对称，所以圆心(1,1)在直线y＝kx＋2上，所以1＝k＋2，得k＝1－2＝－1.

5．(多选)已知圆C的圆心在直线3x－y＝0上，半径为1且与直线4x－3y＝0相切，则圆C的标准方程有( CD )

A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1

B．(x－2)2＋(y－1)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1

D．(x＋1)2＋(y＋3)2＝1

[解析]　设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，

则解得或

所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1或(x＋1)2＋(y＋3)2＝1.

二、填空题

6．若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝_±2__.

[解析]　∵点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，

∴1＋3＝m2，∴m＝±2.

7．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为 1＋　.

[解析]　的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1,1)的距离，因此最大值为＋1.

8．(2023·山东省济南市期中)若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为　_2__.

[解析]　圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．由题设知，圆的圆心为(－1,3)，直线kx＋2y－4＝0过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，所以k＝2.

三、解答题

9．写出下列各圆的标准方程．

(1)圆心在原点，半径长为2；

(2)圆心是直线x＋y－1＝0与2x－y＋3＝0的交点，半径长为.

[解析]　(1)∵圆心在原点，半径长为2，

即a＝0，b＝0，r＝2.

∴圆的标准方程为x2＋y2＝4.

(2)∵圆心是两直线的交点，

由，得.∴圆心为，

又∵半径长为.

∴圆的标准方程为2＋2＝.

10．(2023·浙江省杭州市质检)已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为的点的轨迹，求这条曲线的方程．

[解析]　设M(x，y)是曲线上的任意一点，则＝，

由两点间的距离公式，得＝，两边平方并化简，得曲线方程为x2＋y2＋2x－3＝0.

B　组·素养提升

一、选择题

1．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y＋1)2＝5的内部，则a的取值范围是( B )

A．(－∞，1]  B．(－1,1)

C．(2,5)  D．(1，＋∞)

[解析]　点(2a，a－1)在圆x2＋(y＋1)2＝5的内部，则(2a)2＋a2＜5，解得－1＜a＜1.

2．(多选)若圆(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)上总存在到原点的距离为3的点，则实数a的取值可以是( BC )

A．1  B．

C．2  D．3

[解析]　由(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)可知圆心坐标为(a，a)，半径为1，圆心到原点的距离为a.若圆(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)上总存在到原点的距离为3的点，则圆心到原点的距离a∈[2,4]，即2≤a≤4，解得≤a≤2.故选BC.

3．点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，则点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为( D )

A．9  B．8

C．5  D．2

[解析]　圆心(5,3)到直线3x＋4y－2＝0的距离为d＝＝5.又r＝3，则M到直线的最短距离为5－3＝2.

4．(多选)若经过点P(5m＋1,12m)可以作出圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，则实数m的取值可能是( AD )

A.  B．

C．－  D．－

[解析]　过P作圆的两条切线，说明点P在圆的外部，所以(5m＋1－1)2＋(12m)2>1，解得m>或m<－，故选AD.

二、填空题

5．已知圆C经过A(5,1)、B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为 (x－2)2＋y2＝10　.

[解析]　设所求圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2，

把所给两点坐标代入方程得

，解得，

所以所求圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.

6．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为_(x－1)2＋(y＋1)2＝5__.

[解析]　方法一：设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则，解得

∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.

方法二：设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则M，

∴，

解得，∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.

方法三：设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r，则kAB＝＝－，AB的中点坐标为，

∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y－4＝0.联立得，

解得M(1，－1)，

∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，

∴⊙M的方程为(x－1)2 ＋(y ＋1)2＝5.

7．(2023·绍兴高二检测)在平面直角坐标系中，A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，△ABC恰好被面积最小的圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则a－2b＝ －5　，r＝ 　.

[解析]　因为A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，

所以|AB|＝＝.

|BC|＝＝，

|AC|＝＝2，

所以()2＋()2＝(2)2，所以△ABC为等腰直角三角形．

由于△ABC恰好被面积最小的圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，

所以该圆为三角形的外接圆．所以r＝AC＝，

所以a＝＝＝1，b＝＝＝3，

所以a－2b＝1－2×3＝－5.

8．求圆心在直线4x＋y＝0上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程，并写出圆的圆心及半径．

[解析]　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意有，

化简得，

解得.所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8，它是以(1，－4)为圆心，以2为半径的圆．

9．已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)，端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？

[解析]　设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，由于点B的坐标为(8,6)，且P为线段AB的中点，

∴x＝，y＝，于是有x0＝2x－8，y0＝2y－6.

∵点A在圆C上运动，∴点A的坐标满足方程x2＋y2＋4x＝0，

即x＋y＋4x0＝0，

∴(2x－8)2＋(2y－6)2＋4(2x－8)＝0，化简整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0，

即(x－3)2＋(y－3)2＝1.

故点P的轨迹是以(3,3)为圆心，1为半径的圆．