高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程练习

第二章　2.5　2.5.2

A　组·素养自测

一、选择题

1．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为( C )

A.　　  B．

C．2　　  D．3

[解析]　圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的方程相减得x－y＋2＝0.

∵圆心(0,0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，r＝2.

则公共弦长为2＝2.故选C.

2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为( A )

A．x＋y－1＝0　  B．2x－y＋1＝0

C．x－2y＋1＝0  D．x－y＋1＝0

[解析]　方法一：线段AB的中垂线即两圆的连心线所在直线l，由圆心C1(1,0)，C2(－1,2)，得l方程为x＋y－1＝0.

方法二：直线AB的方程为：4x－4y＋1＝0，因此线段AB的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，故选A.

3．圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的公切线有( B )

A．2条  B．3条

C．4条  D．1条

[解析]　∵圆C1的圆心为C1(－2,2)，半径r1＝1，圆C2的圆心为C2(2,5)，半径r2＝4，

∴圆心距|C1C2|＝＝5，r1＋r2＝5，故两圆外切，故公切线的条数为3.

4．设a＞0，若圆M：x2－6x＋y2－2y＋9＝0与圆N：x2－2ax＋y2＋2y＋1＝0相交，则实数a的取值范围为( A )

A.　  B．(3，＋∞)

C.　  D．(0,3)

[解析]　根据题意，圆M：x2－6x＋y2－2y＋9＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝1，其圆心为M(3,1)，半径R＝1.

圆N：x2－2ax＋y2＋2y＋1＝0，即(x－a)2＋(y＋1)2＝a2，其圆心为N(a，－1)，半径r＝|a|＝a.

若圆M：x2－6x＋y2－2y＋9＝0与圆N：x2－2ax＋y2＋2y＋1＝0相交，

则有|a－1|＜＜a＋1，

解得＜a＜3，即a的取值范围为.

5．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，下列说法正确的为( AD )

A．两圆有两条公切线

B．直线AB的方程为y＝2x＋2

C．线段AB的长为

D．圆O上点E，圆M上点F，|EF|的最大值为＋3

[解析]　根据题意，圆O：x2＋y2＝4，

圆心为(0,0)，半径r＝2，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，

即(x＋2)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(－2,1)，半径R＝1，

依次分析选项：对于A，圆O与圆M相交，有两条公切线，A正确，

对于B，

联立可得：2x－y＋4＝0，即y＝2x＋4，

直线AB的方程为y＝2x＋4，B错误，

对于C，由B的结论，直线AB的方程为y＝2x＋4，

圆心O到AB的距离d＝＝，

则|AB|＝2×＝，C错误，

对于D，圆O上点E，圆M上点F，

|EF|的最大值为|MO|＋r＋R＝＋1＋2＝＋3，D正确．

二、填空题

6．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是_相交__.

[解析]　圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O2(0，－3)，半径r2＝6，∴|O1O2|＝＝3，

∴r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，故两圆相交．

7．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：x2＋y2＝1，则过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为 x2＋y2－x－2y＝0　.

[解析]　设所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y＋1＋λ(x2＋y2－1)＝0(λ≠－1)，

把原点代入可得1－λ＝0，所以λ＝1，

即可得过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为：x2＋y2－x－2y＝0.

8．圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为_x－2y＋4＝0__，公共弦长为 2　.

[解析]　方法一：设两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标满足方程组解得或

所以|AB|＝＝2，即公共弦长为2.

方法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝3.

设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3)2＋l2，解得l＝，故公共弦长为2.

三、解答题

9．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．

[解析]　方法一：联立两圆方程

，

相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.

再由，

联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．

∵所求圆以公共弦为直径，

∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)，半径为

＝5.

∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.

方法二：由方法一可知公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.设所求圆的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ为参数)．

可求得圆心C.

∵圆心C在公共弦所在直线上，

∴4·＋3·－2＝0，

解得λ＝.

∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0.

10．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，满足以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

[解析]　设直线l的方程为y＝x＋b，

则

消元得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0.

设此方程两根为x1，x2，

则A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－(b＋1)，

x1x2＝.

以AB为直径的圆过原点O，

∴kOA·kOB＝＝－1.

∴x1x2＋y1y2＝0，

∴x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，

即2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，

∴b2＋3b－4＝0，

∴b＝－4或b＝1.

又Δ＝(2b＋2)2－8(b2＋4b－4)，

经检验当b＝－4或b＝1时满足Δ>0.

∴存在这样的直线l为y＝x－4或y＝x＋1.

B　组·素养提升

一、选择题

1．过点P(x，y)作圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝1的切线，切点分别为A，B，若|PA|＝|PB|，则x2＋y2的最小值为( B )

A.  B．2

C．2  D．8

[解析]　由(x2＋y2－1)－(x2＋y2－4x－4y＋7)＝0得x＋y－2＝0，则P点在直线l：x＋y－2＝0上，原点到直线l的距离d＝，所以(x2＋y2)min＝d2＝2，故选B.

2．已知两圆相交于A(－1,3)，B(－6，m)两点，且这两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋2c的值为( B )

A．－1  B．26

C．3  D．2

[解析]　由圆的性质可知，直线AB与直线x－y＋c＝0垂直，且线段AB被直线x－y＋c＝0平分，∴kAB＝＝－1，∴m＝8.

∵线段AB的中点在直线x－y＋c＝0上，

∴将线段AB的中点的坐标代入上述直线方程得c＝9，∴m＋2c＝8＋18＝26.

3．已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，圆C2：x2＋y2＋x－y－m2＝0(m＞0)，若圆C2平分圆C1的圆周，则正数m的值为( A )

A．3　　  B．2

C．4　　  D．1

[解析]　圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，

转换为标准式为：(x－1)2＋(y＋2)2＝1；

圆C2：x2＋y2＋x－y－m2＝0(m＞0)，

两圆相减得：3x－5y－m2－4＝0，即相交弦方程，

由于：圆C1的圆心(1，－2)满足相交弦的方程，

故3＋10－m2－4＝0，解得m＝3.

4．(多选)若圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0没有公共点，则实数k的取值可能是( AD )

A．－16  B．－9

C．11  D．12

[解析]　化圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0为(x－3)2＋(y－4)2＝25＋k，则k>－25，圆心坐标为(3,4)，半径为；

圆C1：x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径为1.

要使圆C1和圆C2没有公共点，则|C1C2|>＋1或|C1C2|<－1，

即5>＋1或5<－1，

解得－25<k<－9或k>11.

∴实数k的取值范围是(－25，－9)∪(11，＋∞)．

满足这一范围的有A和D.

二、填空题

5．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1相外离，则a，b满足的条件是 a2＋b2>3＋2　.

[解析]　两圆的连心线的长为d＝.

∵两圆相外离，∴d>＋1，∴a2＋b2>3＋2.

6．已知圆(x－1)2＋y2＝1与圆(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)无公切线，则r的取值范围为 (＋1，＋∞)　.

[解析]　由题意，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为C1(1,0)，半径为r1＝1，圆(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)的圆心坐标为C2(2,1)，半径为r，因为两圆无公切线，则两圆的位置关系为两个圆内含，则圆心距d＝＝，则d<r－1，即r>＋1，

所以r的取值范围是(＋1，＋∞)．

7．已知圆C：x2＋y2＝1，过点P向圆C引两条切线PA，PB，切点为A，B，若点P的坐标为(2,1)，则直线AB的方程为_2x＋y－1＝0__；若P为直线x＋2y－4＝0上一动点，则直线AB经过定点 　.

[解析]　圆C：x2＋y2＝1的圆心坐标为C(0,0)，

则以C(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为，

半径为r＝＝.

可得以CP为直径的圆的方程为(x－1)2＋2＝，即x2＋y2－2x－y＝0，

两圆的方程相减可得直线AB的方程：2x＋y－1＝0.

因为点P为直线x＋2y－4＝0上一动点，

设P(4－2m，m)，因为PA，PB是圆C的切线，

所以CA⊥PA，CB⊥PB，所以AB是圆C与以PC为直径的两圆的公共弦，以PC为直径的圆的方程为[x－(2－m)]2＋2＝(2－m)2＋，

又由圆C的方程为x2＋y2＝1，

两圆的方程相减，则AB的方程为2(2－m)x＋my＝1，

可得满足上式，即AB过定点.

三、解答题

8．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求过两圆的交点的圆中面积最小的圆的方程．

[解析]　由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0.因为圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，

圆心C1(－2,0)，C2(－1，－1)，

所以两圆连心线所在直线的方程为＝，

即x＋y＋2＝0.过两圆的交点的圆中面积最小的圆也就是以公共弦为直径的圆．

由得所求圆的圆心为(－1，－1)．

又圆心C1(－2,0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离d＝＝，

所以所求圆的半径r＝＝1，

所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.

9．已知两个圆C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直线l：x＋2y＝0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程．

[解析]　设所求圆的方程为x2＋y2＋4－2x－4y＋λ(x2＋y2－4)＝0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0.所以圆心为，

半径为，

即＝.

解得λ＝±1，舍去λ＝－1，圆x2＋y2＝4显然不符合题意，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0.