数学3.2 双曲线一课一练

第三章　3.2　3.2.1

A组·素养自测

一、选择题

1．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是( D )

A．焦点在x轴上的椭圆

B．焦点在x轴上的双曲线

C．焦点在y轴上的椭圆

D．焦点在y轴上的双曲线

[解析]　方程mx2－my2＝n可化为：－＝1，

∵mn<0，∴－>0，

∴方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线．

2．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则标准方程是( D )

A.－＝1 B.－＝1

C.－＝1 D.－＝1或－＝1

[解析]　应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求．

3．(多选)已知方程＋＝1表示曲线C，则下列判断正确的是( BCD )

A．当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆

B．当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线

C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜

D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4

[解析]　由4－t＝t－1，得t＝，此时方程＋＝1表示圆，故A选项错误；由双曲线的定义可知，当(4－t)·(t－1)＜0时，即t＜1或t＞4时，方程＋＝1表示双曲线，故B选项正确；由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在x轴上时，满足4－t＞t－1＞0，解得1＜t＜，故C选项正确；当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线时，满足解得t＞4，故D选项正确．故选BCD.

4．(2023·房山区期末检测)已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，P为其上一点．若点P到F1的距离为15，则点P到F2的距离是( A )

A．31  B．1

C．－1  D．－1或31

[解析]　双曲线－＝1的焦点为F1，F2，P为其上一点．所以||PF1|－|PF2||＝2a＝16，

若点P到F1的距离为|PF1|＝15，

∴|15－|PF2||＝16，

解得|PF2|＝31或|PF2|＝－1(舍去)，所以点P到F2的距离是31.故选A.

5．(2023·福州一中学段模考)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，且PF2的中点M在以O为圆心OF1为半径的圆上，则|PF2|＝( C )

A．12  B．9

C．4  D．2

[解析]　如图，连接F1M、F1P，由圆的性质可得F1M⊥F2P，又M为PF2的中点，

所以|F1P|＝|F1F2|＝2＝12，

则|PF2|＝|F1P|－8＝4.故选C.

二、填空题

6．与双曲线－＝1有相同焦点，且过点的双曲线方程为 －＝1　.

[解析]　设所求双曲线的方程为－＝1(－64<λ<36)．将x＝10，y＝代入方程，得－＝1，解得λ＝－4或λ＝(舍去)．故所求双曲线的方程为－＝1.

7．已知双曲线方程为2x2－y2＝k(k≠0)，焦距为6，则k的值为_6或－6__.

[解析]　若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，

所以＋k＝32，即k＝6.

若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，所以－k＋＝32，即k＝－6.

综上，k的值为6或－6.

8．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝_4__.

[解析]　方法一：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则

∴

∴mn＝4，即|PF1|·|PF2|＝4.

方法二：|PF1|·|PF2|＝

＝＝＝4.

三、解答题

9．已知双曲线经过两点M(1,1)、N(－2,5)，求双曲线的标准方程．

[解析]　设所求双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，将点M(1,1)、N(－2,5)代入上述方程，得到

解得

所以所求双曲线的标准方程为－＝1.

10．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

[解析]　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，

∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.

设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，

∴|MF2|－|MF1|＝3<|F1F2|＝10.

∴M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，且a＝，c＝5.

∴b2＝c2－a2＝.

∴双曲线方程为－＝1.

B组·素养提升

一、选择题

1．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的方程是( C )

A.－＝1  B．－＝1

C.－y2＝1  D．x2－＝1

[解析]　∵PF1⊥PF2，∴θ＝∠F1PF2＝90°，又|PF1|·|PF2|＝2，S△PF1F2＝＝|PF1|·|PF2|，即＝1，∴b＝1，又c＝，∴a＝＝2，故双曲线的方程为－y2＝1.

2．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( D )

A．16  B．18

C．21  D．26

[解析]　|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，

∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，

∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，

∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.

3．(多选)已知方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围可以是( BC )

A．m＜2　　  B．m＜－2

C．m＞－1  D．1＜m＜2

[解析]　∵－＝1表示双曲线，

∴(2＋m)(m＋1)＞0，解得m＜－2或m＞－1.

∴m的取值范围是m＜－2或m＞－1.故选BC.

4．(多选)在平面直角坐标系中，有两个圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和C2：(x－2)2＋y2＝r2，其中常数r满足1≤r≤2，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是( BC )

A．两个椭圆 B．两个双曲线

C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线

[解析]　由题意得，圆C1的圆心为C1(－2,0)，半径为1，圆C2的圆心为C2(2,0)，半径为r，所以|C1C2|＝4，

设动圆P的半径为R，已知两圆相离，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切，

①若均内切，则|PC1|＝R－1，|PC2|＝R－r，此时|PC1|－|PC2|＝r－1，

当r≠1时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支；当r＝1时，点P在线段C1C2的垂直平分线上．

②若均外切，则|PC1|＝R＋1，|PC2|＝R＋r，此时|PC2|－|PC1|＝r－1，当r≠1时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的左支，

当r＝1时，点P在线段C1C2的垂直平分线上．

③若一个外切，一个内切，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，则|PC1|＝R－1，|PC2|＝R＋r，|PC2|－|PC1|＝r＋1.同理当与圆C2内切，与圆C1外切时，|PC1|－|PC2|＝r＋1.

此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①②中双曲线不一样．

综上所述，BC满足条件．

二、填空题

5．设点P在双曲线－＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1||PF2|＝13，则△F1PF2的周长等于_22__.

[解析]　由题意知|F1F2|＝2×＝10，||P2F|－|PF1||＝6，又|PF1||PF2|＝13，∴|PF1|＝3，|PF2|＝9，故△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.

6．双曲线－＝1的一个焦点到中心的距离为3，若焦点在x轴上，那么m＝_7__，若焦点在y轴上，那么m＝_－2__.

[解析]　当焦点在x轴上时，有m>5，则c2＝m＋m－5＝9，

∴m＝7；当焦点在y轴上时，有m<0，则c2＝－m＋5－m＝9，∴m＝－2.

7．已知双曲线x2－＝1(n>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则△AF1F2的面积为 4－2　.

[解析]　双曲线x2－＝1的焦点在x轴上，

所以a＝1,2a＝2.

设|AF2|＝m，由|AF1|－|AF2|＝2a＝2，

得|AF1|＝2＋|AF2|＝2＋m，

又|AF1|＝|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m＋|BF2|，

∴|BF2|＝2，又|BF1|－|BF2|＝2，∴|BF1|＝4，

根据题意，知|BF1|＝|AF1|，

即4＝(2＋m)，∴m＝2(－1)，∴|AF1|＝2，

∴△AF1F2的面积为S＝·|AF2|·|AF1|＝×2×(－1)×2＝4－2.

三、解答题

8．某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形坑洞，挖出的土只能沿道路AP或BP运到P处，已知|AP|＝100，|BP|＝150，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．

[解析]　如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线(沿AP，BP到点P的路程相等的点的轨迹)上的点，连接MA，MB，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，于是有|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50，这说明分界线是以A，B为左、右焦点的双曲线的右支，且a＝25.在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|AP|·|BP|cos 60°＝17 500，从而c2＝2＝4 375，b2＝3 750，故所求分界线的方程为－＝1(x≥25)．即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工．

9．在△ABC中，A、B、C所对三边分别为a、b、c，B(－1,0)、C(1,0)，求满足sin C－sin B＝sin A时顶点A的轨迹，并画出图形．

[解析]　∵sin C－sin B＝sin A，∴c－b＝a＝×2＝1，

即|AB|－|AC|＝1<|BC|＝2.

∴动点A(x，y)的轨迹是以B、C为焦点的双曲线，

∴，∴.

∴A点轨迹方程为－＝1.

由于c>b就是|AB|>|AC|，可知A点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点，如图所示．