高中人教A版 (2019)3.3 抛物线第1课时同步训练题

第三章　3.3　3.3.2　第1课时

A组·素养自测

一、选择题

1．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( D )

A．x2＝16y　　  B．x2＝8y

C．x2＝±8y　　  D．x2＝±16y

[解析]　顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)，由顶点到准线的距离为4，知p＝8，故所求抛物线的方程为x2＝16y或x2＝－16y.

2．(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为( AB )

A．y2＝8x  B．y2＝－8x

C．x2＝8y  D．x2＝4y

[解析]　设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，

依题意将x＝代入y2＝2px或y2＝－2px，得|y|＝p，

所以2|y|＝2p＝8，p＝4. 所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.

3．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为( C )

A．x2＝8y　　  B．x2＝4y

C．y2＝8x　　  D．y2＝4x

[解析]　设抛物线方程为y2＝2px，直线AB为x＝my＋，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，

得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4(舍负)，

即抛物线C的方程为y2＝8x.

4．(2022·福州市八县协作校期末联考)已知A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是( A )

A．x＝－1  B．x＝－3

C．x＝－1或x＝－3  D．y＝－1

[解析]　过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线，垂足分别为C，B.

由题意∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，

A点到准线的距离为：d＝|AB|＋|BC|＝p＋2＝4，

解得p＝2，

则抛物线的准线方程是x＝－1.

故选A.

5．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，O为原点，若||＝||，且抛物线的焦点恰好为△AOB的垂心，则直线AB的方程是( C )

A．x＝p  B．x＝p

C．x＝p  D．x＝3p

[解析]　∵||＝||，

∴A，B关于x轴对称．

设A(x0，)，B(x0，－)．

∵AF⊥OB，F，

∴·＝－1，

∴x0＝p.

∴直线AB的方程是x＝p.

二、填空题

6．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是 (1,2)或(1，－2)　.

[解析]　设A，因为抛物线的焦点为F(1,0)，则＝，＝，由·＝－4，得y0＝±2，所以点A的坐标是(1,2)或(1，－2)．

7．顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是_y2＝24x或y2＝－24x__.

[解析]　∵顶点与焦点距离为6，

即＝6，∴2p＝24，

又∵对称轴为x轴，

∴抛物线方程为y2＝24x或y2＝－24x.

8．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则a＝ ±2　.

[解析]　设正三角形边长为x.

36＝x2sin 60°，∴x＝12.

当a>0时，将(6，6)代入y2＝ax得a＝2，

当a<0时，将(－6，6)代入y2＝ax得a＝－2，

故a＝±2.

三、解答题

9．以抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝2，|DE|＝2，求p的值．

[解析]　如图：|AB|＝2，|AM|＝，

|DE|＝2，|DN|＝，|ON|＝，

所以xA＝＝，因为|OD|＝|OA|，

所以＝，

所以＋10＝＋6，解得：p＝.

10．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．

(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；

(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．

[解析]　(1)因为抛物线方程为y2＝6x，所以F，又因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l的斜率为k＝tan60°＝，所以直线l的方程为y＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立，

消去y得x2－5x＋＝0，

则x1＋x2＝5，

而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，

所以|AB|＝5＋3＝8.

(2)由抛物线的定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，

于是线段AB的中点M的横坐标是3.

又准线方程是x＝－，所以中点M到准线的距离为3＋＝.

B组·素养提升

一、选择题

1．(2022·安徽省蚌埠市高二期末)设抛物线y2＝2x的焦点为F，互相垂直的两条直线过F，与抛物线相交所得的弦分别为AB，CD，则|AB|·|CD|的最小值为( A )

A．16  B．8

C．4  D．2

[解析]　设AB倾斜角为α，则|AB|＝，因为AB，CD垂直，所以|CD|＝，因此|AB|·|CD|＝＝≥16，选A.

2．(2023·房山区期末检测)如果抛物线y2＝4x的焦点为F，点M为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，那么的最大值是( D )

A.  B．

C.  D．1

[解析]　由抛物线的方程可得，焦点F(1,0)，准线方程为：x＝－1，A(－1,0)点在准线上，

作MN垂直准线交于N，由抛物线的性质可得|MF|＝|MN|，

所以＝，

在三角形AMN中，＝cos∠MAF，

所以取的最大值时，∠FAM最小，

当A，M，F三点共线时，∠FAM最小，

所以这时的最大值为1，故选D.

3．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是( BCD )

A．C的准线方程为y＝－1

B．线段PQ的长度最小为4

C．M的坐标可能为(3,2)

D.·＝－3恒成立

[解析]　由题意，抛物线C：y2＝2px(p>0)，可得焦点F到准线的距离即为p＝2，

所以抛物线C的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，A项错误．

当PQ垂直于x轴时长度最小，此时P(1,2)，Q(1，－2)，所以|PQ|＝4，B项正确．

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋1，

联立方程组，消去x可得y2－4my－4＝0，可得y1＋y2＝4m，

则x1＋x2＝my1＋my2＋2＝4m2＋2，

当m＝1时，可得M(3,2)，所以C正确，

又由y1y2＝－4可得x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝1，

所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，所以D正确．

4．(多选)已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角可以是( BD )

A.  B．

C．  D．π

[解析]　方法一：∵抛物线y2＝6x，∴2p＝6，∴＝，

即焦点坐标F.

当直线倾斜角为时，即直线为x＝，此时弦长为2p＝6≠12，故直线斜率存在．

设所求直线方程为y＝k，

与抛物线方程y2＝6x联立消去y，得k2x2－(3k2＋6)x＋k2＝0.

设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∴x1＋x2＝.

∵直线过抛物线y2＝6x焦点，弦长为12，

∴x1＋x2＋3＝12，∴x1＋x2＝9，

即＝9，解得k2＝1，

k＝tan α＝±1，∵α∈[0，π)，∴α＝或.

方法二：弦长|AB|＝(α为直线AB的倾斜角)，

∴12＝，∴sin 2α＝，sin α＝±，

∵α∈[0，π)，∴α＝或α＝.

二、填空题

5．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M为抛物线的准线上一点，且M的纵坐标为3，N是直线MF与抛物线的一个交点，若＝2，则p＝_3__.

[解析]　抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M为抛物线的准线上一点，且M的纵坐标为3，N是直线MF与抛物线的一个交点，若＝2，

设N(x，y)，M，F，

∴＝，＝，

，可得N，代入抛物线方程可得：3＝2×p×，解得p＝3.故答案为3.

6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则F的坐标为_(1,0)__；过点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝4，则△AOB的面积为 　.

[解析]　由抛物线C：y2＝4x可得p＝2，故焦点坐标为(1,0)．

设A(x0，y0)，则|AF|＝x0＋＝x0＋1＝4，故x0＝3.

不妨设A在第一象限，则y0＝2，

故kAB＝＝，故直线AB：y＝(x－1)．

由可得3x2－10x＋3＝0，

故 或

所以S△AOB＝×1×＝.

7．已知直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且与抛物线相交，其中一个交点为(2p,2p)，则其焦点弦的长度为 　.

[解析]　由题意知，直线l过和(2p,2p)，所以直线l：y＝.

设另一交点坐标为(x1，y1)，

联立整理得8x2－17px＋2p2＝0.

由根与系数的关系，得x1＋2p＝，

所以焦点弦的长度为x1＋2p＋p＝.

三、解答题

8．如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．

[解析]　由解得或

由图可知A(4,4)，B(1，－2)，则|AB|＝3.

设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则：

d＝＝＝|(y0－1)2－9|.

∵－2<y0<4，∴(y0－1)2－9<0.

∴d＝[9－(y0－1)2]．

从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝××3＝.

因此，当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.

9．定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2＝x上移动，求AB中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标．

[解析]　如图，设F是抛物线y2＝x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，M点到准线的垂线为MN，N为垂足，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)，

根据抛物线定义得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，

∴|MN|＝(|AF|＋|BF|)≥＝.

设M点的横坐标为x，则|MN|＝x＋，

∴x＝|MN|－≥－＝，

等号成立的条件是弦AB过点F，

由于|AB|>2p＝1，

∴AB过焦点是可能的，此时M点到y轴的最短距离是，即AB的中点横坐标为.

当F在AB上时，设A、B的纵坐标分别为y1、 y2，则y1y2＝－p2＝－，从而(y1＋y2)2＝y＋y＋2y1y2＝2×－＝2，∴y1＋y2＝±，

∴M点的坐标为时，M到y轴距离的最小值为.