人教A版 (2019)3.3 抛物线第2课时课后练习题

这是一份人教A版 (2019)3.3 抛物线第2课时课后练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第三章　3.3　3.3.2　第2课时A组·素养自测一、选择题1．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( B )A．x＝1  B．x＝－1C．x＝2  D．x＝－2[解析]　抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px消去x，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.2．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若点A、B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为( C )A．45°  B．60°C．90°  D．120°[解析]　设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．如图，∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BFB1＝∠FB1B.又AA1∥Ox∥B1B，∴∠A1FO＝∠FA1A，∠B1FO＝∠FB1B，∴∠A1FB1＝∠AFB＝90°.3．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( B )A．有且仅有一条  B．有且仅有两条C．有无穷多条  D．不存在[解析]　由定义|AB|＝5＋2＝7，∵|AB|min＝4，∴这样的直线有两条．4．若抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为( D )A．－3　　  B．3　　 C．2　　  D．－2[解析]　因为抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，所以＝－1，所以＝－1，所以y1＋y2＝－1.因为y1y2＝－1，所以x1＋x2＝y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝3，所以AB的中点坐标为，代入y＝x＋b，可得b＝－2.5．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||等于( B )A．9　　  B．6　　 C．4　  D．3[解析]　设A、B、C三点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)．由题意知F(1,0)，因为＋＋＝0，所以x1＋x2＋x3＝3.根据抛物线定义，有||＋||＋||＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝3＋3＝6.故选B. 二、填空题6．(2020·山东卷，13)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝ 　.[解析]　由题意得直线方程为y＝(x－1)，联立方程，得得3x2－10x＋3＝0，∴xA＋xB＝，故|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋＝.7．(2023·葫芦岛高二检测)已知抛物线G：x2＝4y，过点P(2，2)向抛物线G作两条切线，切点分别为A，B，则|AF|·|BF|＝ 13　.[解析]　设切线的斜率为k，可得切线方程为y－2＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋2，联立方程组整理得x2－kx＋2k－2＝0，①由Δ＝(－k)2－4×(2k－2)＝0，解得k1＝－1，k2＝＋1，此时将k1＝－1代入①中，可得xA＝2－2，同理xB＝2＋2，所以yA＝4－2，yB＝4＋2，又由抛物线的定义，可得|AF|·|BF|＝(yA＋1)(yB＋1)＝yAyB＋(yA＋yB)＋1＝(4－2)(4＋2)＋4－2＋4＋2＋1＝13.8．如果点P1，P2，P3，…，P10是抛物线y2＝2x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，…，x10，F是抛物线的焦点，若x1＋x2＋x3＋…＋x10＝5，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝_10__.[解析]　由抛物线的定义可知，抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，在y2＝2x中，p＝1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝x1＋x2＋…＋x10＋5p＝10.三、解答题9．已知抛物线C：y2＝2px过点A(1,2)．(1)求抛物线C的方程；(2)求过点P(3，－2)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)．设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．[解析]　(1)由题意得2p＝4，所以抛物线方程为y2＝4x.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝t(y＋2)＋3，代入抛物线方程得y2－4ty－8t－12＝0.所以Δ＝16t2＋32t＋48>0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－8t－12.所以k1·k2＝·＝·＝＝＝－2.所以k1·k2为定值为－2.10．过M(a,0)(a>0)的直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，N(－a,0)，则∠ANM与∠BNM的数量关系如何？并证明你的结论．[解析]　∠ANM＝∠BNM.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝ty＋a.联立直线AB与抛物线的方程得，y2－2pty－2pa＝0，所以y1＋y2＝2pt，y1y2＝－2pa.又kAN＋kBN＝＋＝＝＝＝0，所以kAN＝－kBN，所以直线AN，BN关于x轴对称．故∠ANM＝∠BNM.B组·素养提升一、选择题1．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y＋y的最小值为( C )A．4　　   B．6　　  C．8　　   D．10[解析]　当直线的斜率不存在时，其方程为x＝1，∴y＝4，y＝4，∴y＋y＝8.当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由，得ky2－4y－4k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－4，∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋8，∵k2>0，∴y＋y>8，综上可知，y＋y≥8，故y＋y的最小值为8.2．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( D )A.　  B．　 C．　  D．[解析]　由题意知，准线方程为x＝－2，∴p＝4，抛物线方程：y2＝8x，焦点坐标(2,0)．设过A点的直线为y＝k(x＋2)＋3联立化简得y2－y＋＋16＝0①∴Δ＝－4＝0，∴k＝，k＝－2(舍去)．将k＝代入方程①，∴y＝8，∴x＝8.B点坐标为(8,8)．∴kBF＝＝.3．(多选)已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是( BCD )A.＋＝1  B．|AF|＝6C．|BD|＝2|BF|  D．F为AD中点[解析]　方法一：如图，F，直线l的斜率为，则直线l方程为y＝，联立得12x2－20px＋3p2＝0.解得xA＝，xB＝.由|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝＝8，得p＝3.所以抛物线方程为y2＝6x.则|AF|＝xA＋＝2p＝6，故B正确；所以|BF|＝2，|BD|＝＝＝4，∴|BD|＝2|BF|，故C正确；所以|AF|＝|DF|＝6，则F为AD中点．故D正确；＋＝，故A错误．方法二：设直线AB的倾斜角为θ，则θ＝.利用抛物线的焦点弦的性质，由|AB|＝＝8，则p＝3，|AF|＝＝6，|BF|＝＝2，＋＝＝，在Rt△DBM中，cos θ＝＝＝，所以|BD|＝4，因此F为AD中点．故选BCD.4．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则( ABC )A．若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8B．以PQ为直径的圆与准线l相切C．设M(0,1)，则|PM|＋|PP1|≥D．过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条[解析]　对于选项A，因为p＝2，所以x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故A正确；对于选项B，设N为PQ中点，设点N在l上的射影为N1，点Q在l上的射影为Q1，则由梯形性质可得|NN1|＝＝＝，故B正确；对于选项C，因为F(1,0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝，故C正确；对于选项D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线为y＝kx＋1，联立可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝0，则k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误；故选ABC.二、填空题5．过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则|FA|·|FB|的值为_8__.[解析]　过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－1，联立得x2－6x＋1＝0，Δ＝36－4＝32>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，F(1,0)，|FA|·|FB|＝·，＝·＝·＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝1＋6＋1＝8.6．抛物线x2＝8y焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于60°，那么|PF|等于 　.[解析]　在△APF中，由抛物线的定义，可得|PA|＝|PF|，∵|AF|sin60°＝4，∴|AF|＝，又PA⊥l，则PA∥y轴，又∠AFO＝∠PAF＝∠PFA＝30°，过P作PB⊥AF于B，则＝＝，则|PF|＝＝.7．一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖．那么下列命题中，正确的是_(1)(2)(4)__.(填写序号)(1)任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖；(2)与抛物线对称轴不平行、不共线的射线不能被该抛物线覆盖；(3)射线绕其端点转动一个锐角所扫过的角形区域可以被某一条抛物线覆盖；(4)任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面．[解析]　由抛物线的图象和性质可知，由于任意一个多边形所围区域沿着抛物线顶点出发向抛物线对称轴所在直线平移，总能把有限的区域放入抛物线内部，所以(1)正确；由于过抛物线内部一点的直线(不平行于轴)与抛物线都有两个交点，故抛物线无法覆盖一条直线，也不能覆盖与轴不平行、不共线的射线，所以(2)正确；由于锐角是由两条不平行的射线组成，故抛物线不能覆盖任何一个锐角，所以(3)错误；取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴，根据抛物线的图象和性质可知直线上的点不能被完全覆盖，如图，因为一条直线若被抛物线覆盖，它必须是抛物线的对称轴，所以任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面，所以(4)正确．三、解答题8．(2022·广东省潮州市期末)设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．[解析]　(1)设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝，∴＝y＋，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.(2)由题设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y化简得x2－2kx－2＝0，易知Δ>0恒成立．则x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.∵|AB|＝＝＝2，∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.9．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．[解析]　(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，∴p＝2.故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，由消去x得y2＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.另一方面，由直线OA与l的距离d＝，可得＝，解得t＝±1.综上知：t＝1.所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.