人教B版 (2019)必修 第三册8.1.2 向量数量积的运算律当堂检测题

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册8.1.2 向量数量积的运算律当堂检测题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．(多选)关于菱形ABCD的说法中，正确的是( )
A． eq \(AB,\s\up6(→))∥ eq \(CD,\s\up6(→))
B．( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→)))⊥( eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→)))
C．( eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→)))·( eq \(BA,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→)))＝0
D． eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))
2．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则 eq \(BC,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＝( )
A．20 B．－20
C．20 eq \r(3)D．－20 eq \r(3)
3．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A． eq \f(π,6)B． eq \f(π,3)
C． eq \f(2π,3)D． eq \f(5π,6)
二、填空题
5．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝1，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．
6．已知|a|＝4，e为单位向量，a在e方向上的投影为－2，则a与e的夹角为________．
7．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.
三、解答题
8．已知|a|＝4，|b|＝2.
(1)若a与b的夹角为120°，求|3a－4b|；
(2)若|a＋b|＝2 eq \r(3)，求a与b的夹角θ.
9.在△ABC中，已知| eq \(AB,\s\up6(→))|＝5，| eq \(BC,\s\up6(→))|＝4，| eq \(AC,\s\up6(→))|＝3，求：
(1) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))；
(2) eq \(AC,\s\up6(→))在 eq \(AB,\s\up6(→))方向上的投影的数量．
[尖子生题库]
已知△ABC的面积S满足 eq \r(3)≤S≤3，且 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝6， eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(BC,\s\up6(→))的夹角为θ.求θ的取值范围．
课时作业(十三) 向量数量积的概念 向量数量积的运算律
1．解析：因为四边形ABCD为菱形，
所以AB∥CD，所以 eq \(AB,\s\up6(→))∥ eq \(CD,\s\up6(→))，A正确；
因为对角线AC与BD互相垂直，且 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(BD,\s\up6(→))，
所以 eq \(AC,\s\up6(→))⊥ eq \(BD,\s\up6(→))，即( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→)))⊥( eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→)))，B正确；
因为 eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(DB,\s\up6(→))， eq \(BA,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))，又因为 eq \(DB,\s\up6(→))⊥ eq \(CA,\s\up6(→))，
即 eq \(DB,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＝0，所以( eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→)))·( eq \(BA,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→)))＝0，C正确；
易知〈 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AD,\s\up6(→))〉＝180°－〈 eq \(BC,\s\up6(→))， eq \(CD,\s\up6(→))〉，且| eq \(AB,\s\up6(→))|＝| eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(BC,\s\up6(→))|＝| eq \(CD,\s\up6(→))|，
所以 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝－ eq \(BC,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))，D错误．
答案：ABC
2．解析： eq \(BC,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＝| eq \(BC,\s\up6(→))|| eq \(CA,\s\up6(→))|cs 120°＝5×8× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－20.
答案：B
3．解析：设向量a，b的夹角为θ.
根据向量数量积的运算，|a·b|＝||a||b|cs θ|，
若|a·b|＝|a||b|，
即||a||b|cs θ|＝|a||b|，
所以cs θ＝±1，即θ＝0°或180°，
所以a∥b.
若a∥b，
则a与b的夹角为0°或180°，
所以|a·b|＝|a||b|cs 0°＝|a||b|或|a·b|＝|a||b|cs 180°＝－|a||b|，
即|a·b|＝||a||b|cs θ|＝|a||b|.
所以“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件．
答案：C
4．解析：设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cs α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cs α＝ eq \f(1,2)，∵α∈[0，π]，∴α＝ eq \f(π,3).故选B.
答案：B
5．解析：∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，
∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，
∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.
又∵|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，
∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cs 90°－2＝0，
∴12λ－2＝0，∴λ＝ eq \f(1,6).
答案： eq \f(1,6)
6．解析：因为a在e方向上的投影为－2，
即|a|cs 〈a，e〉＝－2，所以cs 〈a，e〉＝ eq \f(－2,|a|)＝－ eq \f(1,2)，
又〈a，e〉∈[0，π]，所以〈a，e〉＝120°.
答案：120°
7．解析：由题意cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)>0，
即1－2λ>0，得λ< eq \f(1,2).
∵a，b不能共线，即a≠b，∴λ≠－2.
∴λ∈(－∞，－2)∪(－2， eq \f(1,2)).
答案：(－∞，－2)∪(－2， eq \f(1,2))
8．解析：(1)a·b＝|a||b|cs 120°＝4×2×(－ eq \f(1,2))＝－4.
又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，
∴|3a－4b|＝4 eq \r(19).
(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2a·b＋22＝(2 eq \r(3))2，
∴a·b＝－4，∴cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(－4,4×2)＝－ eq \f(1,2).
又 θ∈[0，π]，∴θ＝ eq \f(2π,3).
9．解析：因为| eq \(AB,\s\up6(→))|＝5，| eq \(BC,\s\up6(→))|＝4，| eq \(AC,\s\up6(→))|＝3，
所以△ABC为直角三角形，且C＝90°.
所以cs A＝ eq \f(AC,AB)＝ eq \f(3,5)，cs B＝ eq \f(BC,AB)＝ eq \f(4,5).
(1) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝－ eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝－5×4× eq \f(4,5)＝－16.
(2)| eq \(AC,\s\up6(→))|·cs 〈 eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(AB,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))\(|,\s\up6( )) )＝ eq \f(3×5×\f(3,5),5)＝ eq \f(9,5).
10.
解析：因为 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝| eq \(AB,\s\up6(→))|| eq \(BC,\s\up6(→))|cs θ＝6>0，
所以cs θ＞0，所以θ为锐角，如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，则|CD|＝|BC|
sin θ.
由题意知， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝| eq \(AB,\s\up6(→))|| eq \(BC,\s\up6(→))|cs θ＝6， ①
S＝ eq \f(1,2)|AB||CD|＝ eq \f(1,2)| eq \(AB,\s\up6(→))|| eq \(BC,\s\up6(→))|sin θ. ②
由②÷①得 eq \f(S,6)＝ eq \f(1,2)tan θ，即3tan θ＝S.
因为 eq \r(3)≤S≤3，所以 eq \r(3)≤3tan θ≤3，即 eq \f(\r(3),3)≤tan θ≤1.
又因为θ为 eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(BC,\s\up6(→))的夹角，θ∈[0，π]，
所以θ∈[ eq \f(π,6)， eq \f(π,4)].