高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.3 倍角公式同步训练题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.3 倍角公式同步训练题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若sin α－cs α＝ eq \r(2)，则sin 2α等于( )
A．2 B． eq \f(1,2)
C．1 D．－1
2．化简 eq \f(tan 14°,1－tan214°)· eq \f(cs28°,sin 28°)的结果为( )
A． eq \f(1,2)B． eq \f(\r(3),2)
C．1 D．2
3．若sin x·tan x<0，则 eq \r(1＋cs 2x)等于( )
A． eq \r(2)cs x B．－ eq \r(2)cs x
C． eq \r(2)sin x D．－ eq \r(2)sin x
4．已知 eq \f(cs 2x,\r(2)cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))))＝ eq \f(1,5)，则sin 2x＝( )
A．－ eq \f(24,25) B．－ eq \f(4,5)
C． eq \f(24,25) D． eq \f(2\r(5),5)
二、填空题
5．已知tan eq \f(α,2)＝2，则tan α的值为__________， tan (α＋ eq \f(π,4))的值为________.
6．已知2cs2x＋sin2x＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________．
7．函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2 eq \r(2)sin2x的最小正周期是________.
三、解答题
8．已知函数f(x)＝sin2x－sin2(x－ eq \f(π,6))，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－ eq \f(π,3)， eq \f(π,4)]上的最大值和最小值．
9.(1)已知sinα＋cs α＝ eq \f(\r(3),3)( eq \f(π,2)<α<π)，求cs 2α，tan 2α的值；
(2)已知sin ( eq \f(π,4)－α)sin ( eq \f(π,4)＋α)＝ eq \f(\r(2),6)(0<α< eq \f(π,2))，求sin 2α的值．
[尖子生题库]
10．已知函数f(x)＝2cs x sin (x＋ eq \f(π,3))－ eq \r(3)sin2x＋sinx cs x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求方程f(x)＝2在x∈[0，2 019]上解的个数．
课时作业(十八) 倍角公式
1．解析：∵sin α－cs α＝ eq \r(2)，∴(sin α－cs α)2＝1－sin 2α＝2，∴sin 2α＝－1.
答案：D
2．解析： eq \f(tan 14°,1－tan214°)· eq \f(cs28°,sin 28°)＝ eq \f(1,2)× eq \f(2tan 14°,1－tan214°)· eq \f(cs28°,sin 28°)
＝ eq \f(1,2)tan 28°· eq \f(cs 28°,sin 28°)
＝ eq \f(1,2) eq \f(sin 28°,cs 28°)· eq \f(cs 28°,sin 28°)＝ eq \f(1,2)，
故选A.
答案：A
3．解析：因为sin x·tan x<0，
所以x为第二、三象限角，所以cs x<0，
所以 eq \r(1＋cs 2x)＝ eq \r(2cs2x)＝ eq \r(2)|csx|＝－ eq \r(2)cs x.
答案：B
4．解析：∵ eq \f(cs 2x,\r(2)cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))))＝ eq \f(1,5)，∴ eq \f(cs2x－sin2x,csx－sin x)＝ eq \f(1,5)，
∴cs x＋sin x＝ eq \f(1,5)，∴1＋sin 2x＝ eq \f(1,25)，
∴sin 2x＝－ eq \f(24,25).
答案：A
5．解析：因为tan eq \f(α,2)＝2，
所以tan α＝ eq \f(2tan \f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝ eq \f(2×2,1－22)＝－ eq \f(4,3)，
tan(α＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan αtan \f(π,4))＝ eq \f(－\f(4,3)＋1,1－（－\f(4,3)×1）)
＝－ eq \f(1,7).
答案：－ eq \f(4,3) － eq \f(1,7)
6．解析：∵2cs2x＋sin2x＝1＋cs 2x＋sin 2x＝1＋ eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，
∴1＋ eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＝A sin (ωx＋φ)＋b，∴A＝ eq \r(2)，b＝1.
答案： eq \r(2) 1
7．解析：f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2 eq \r(2)sin2x
＝ eq \f(\r(2),2)sin2x－ eq \f(\r(2),2)cs 2x－2 eq \r(2)× eq \f(1－cs 2x,2)
＝ eq \f(\r(2),2)sin 2x＋ eq \f(\r(2),2)cs 2x－ eq \r(2)
＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))－ eq \r(2)，
故该函数的最小正周期是 eq \f(2π,2)＝π.
答案：π
8．解析：(1)由已知，有f(x)＝ eq \f(1－cs 2x,2)－ eq \f(1－cs （2x－\f(π,3)）,2)
＝ eq \f(1,2)( eq \f(1,2)cs 2x＋ eq \f(\r(3),2)sin 2x)－ eq \f(1,2)cs 2x
＝ eq \f(\r(3),4)sin 2x－ eq \f(1,4)cs 2x＝ eq \f(1,2)sin (2x－ eq \f(π,6)).
所以f(x)的最小正周期T＝ eq \f(2π,2)＝π.
(2)因为f(x)在区间[－ eq \f(π,3)，－ eq \f(π,6)]上是减函数，在区间[－ eq \f(π,6)， eq \f(π,4)]上是增函数，f(－ eq \f(π,3))＝－ eq \f(1,4)，f(－ eq \f(π,6))＝－ eq \f(1,2)，f( eq \f(π,4))＝ eq \f(\r(3),4)，所以f(x)在区间[－ eq \f(π,3)， eq \f(π,4)]上的最大值为 eq \f(\r(3),4)，最小值为－ eq \f(1,2).
9．解析：(1)因为(sin α＋cs α)2＝ eq \f(1,3)，所以1＋2sin αcs α＝ eq \f(1,3)，所以2sin αcs α＝sin 2α＝－ eq \f(2,3)，所以(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝1＋ eq \f(2,3)＝ eq \f(5,3).
又 eq \f(π,2)<α<π，所以sin α>0，cs α<0，所以sin α－cs α＝ eq \f(\r(15),3)，所以cs 2α＝cs2α－sin2α＝(csα＋sin α)·(cs α－sin α)＝ eq \f(\r(3),3)×(－ eq \f(\r(15),3))＝－ eq \f(\r(5),3)，
所以tan 2α＝ eq \f(sin 2α,cs 2α)＝ eq \f(－\f(2,3),－\f(\r(5),3))＝ eq \f(2\r(5),5).
(2)因为sin ( eq \f(π,4)－α)＝sin [ eq \f(π,2)－( eq \f(π,4)＋α)]＝cs ( eq \f(π,4)＋α).
所以sin ( eq \f(π,4)－α)sin ( eq \f(π,4)＋α)＝sin ( eq \f(π,4)＋α)cs ( eq \f(π,4)＋α)
＝ eq \f(1,2)sin [2×( eq \f(π,4)＋α)]＝ eq \f(1,2)sin ( eq \f(π,2)＋2α)＝ eq \f(1,2)cs 2α＝ eq \f(\r(2),6)，所以cs 2α＝ eq \f(\r(2),3).
又因为0<α< eq \f(π,2)，所以0<2α<π，所以sin 2α＝ eq \f(\r(7),3).
10．解析：(1)由题得f(x)＝2cs x( eq \f(1,2)sin x＋ eq \f(\r(3),2)cs x)－ eq \r(3)· eq \f(1－cs 2x,2)＋ eq \f(1,2)sin 2x，
所以f(x)＝sin 2x＋ eq \r(3)· eq \f(1＋cs 2x,2)－ eq \r(3)· eq \f(1－cs 2x,2)，
所以f(x)＝sin 2x＋ eq \r(3)cs 2x＝2sin (2x＋ eq \f(π,3))，
所以函数的最小正周期为π.
令2kπ－ eq \f(π,2)≤2x＋ eq \f(π,3)≤2kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z，
所以－ eq \f(5π,12)＋kπ≤x≤ eq \f(π,12)＋kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[－ eq \f(5π,12)＋kπ， eq \f(π,12)＋kπ]，k∈Z.
(2)由题得sin (2x＋ eq \f(π,3))＝1，
所以2x＋ eq \f(π,3)＝2kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z，
所以x＝kπ＋ eq \f(π,12)，k∈Z，
因为x∈[0，2 019]，
当k＝0时，x＝ eq \f(π,12)，k＝1时，x＝ eq \f(13,12)π，…
k＝642时，x＝642π＋ eq \f(π,12)≈2 016，k＝643时，x>2 019.
所以方程f(x)＝2在x∈[0，2 019]上解的个数为643.