河南省信阳市淮滨县2023年中考考前热身考试数学

这是一份河南省信阳市淮滨县2023年中考考前热身考试数学，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

河南省信阳市淮滨县2023年中考考前热身考试
数学
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 的相反数是　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　
A. － B. C. D. －

　
2. 如图，AB⊥CD，垂足为D，直线EF经过点D.若∠1＝50°，则∠2的度数为
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
3. 如图是由若干个小正方体组成几何体的俯视图，上面的数字表示这个位置上所放小正方体的个数，则该几何体的主视图是

4. 据科技日报了解，在生物3D打印技术中，研究人员经常使用的是喷墨打印技术，打印过程只需要20微秒左右．已知1微秒＝10－6秒，则将20微秒用科学记数法表示为
A. 20×10－6秒 B. 2×10－6秒 C. 2×10－5秒 D. 0.2×10－7秒
5. 下列计算正确的是
A. 2a·a3＝2a4 B. a2＋a2＝a4 C. (x＋1)2＝x2＋1 D. －＝1
6. 定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足－a＋b－c＝0，那么称这个方程为“美妙方程”．已知ax2＋bx＋1＝0(a≠0)是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

7. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠OAB的平分线AE交OB于点E.若AD＝2，则OE的长为
A. 2－1 B. 2－ C. 2－2 D. －1

8. 小明收集了二十四节气的卡片，卡片背面完全相同，小明将“立春、雨水、春分、谷雨”四张卡片单独拿出，邀请小亮和小华同时在其中各抽取一张，则两人抽到的卡片上的节气有相同汉字的概率为
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(－1，0)，B(0，－3)，将△ABC平移得到△DEF.若∠ABE＝90°，BE＝2AB，则点E的坐标是
A. (7，－2) B. (6，－2) C. (7，－1) D. (6，－1)

　　　　
10. 如图①，在矩形ABCD中(AB＜BC)，动点P从点C出发，以1 cm/s的速度沿C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点P的运动时间为x(s)，△BCP的周长为y(cm)．若y关于x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD 的面积为
A. 9 cm2 B. 16 cm2 C. 21 cm2 D. 12 cm2

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 已知一次函数的图象与y轴负半轴有交点，且该图象在第三象限内y随x的增大而减小，则这个函数的表达式可以是________．(答案不唯一)
12. 如图，已知不等式a－3x＞0的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值是________．

13. 小红参加校园健美操比赛，初赛结束后五名评委对小红的评分如下表所示，比赛规定要去掉一个最高分和最低分为选手的最终得分，则去掉最高分和最低分后，小红成绩的方差________．(填“增大”“减小”或“不变”)

评委
1
2
3
4
5
小红得分
97
98
95
95
92
14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°， OC平分∠AOB交于点C，点P为OC上一点，过点P分别作PE∥AO，PF∥BO，分别交于点E，F.若AO＝3，OP＝，则图中阴影部分的周长为________．

15. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转α，且α＝∠BAC，得到线段AE，连接BE，DE，其中DE交AB于点F，当△BEF为直角三角形时，CD的长为 ________．

三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. (10分)计算：＋(－2023)0＋(－)－1；化简：÷(1－)．
17. (9分)学校消防安全关系到全校师生的生命安全，校安全管理处为加强学生的消防意识，组织开展“提高消防安全意识，增强自救互助能力”的主题活动，并在活动前后举办有关消防安全知识的竞赛(百分制)，竞赛结束后，在全校随机抽取部分学生活动前后的竞赛成绩进行收集、整理和分析(A：50≤t＜60，B：60≤t＜70，C：70≤t＜80，D：80≤t＜90，E：90≤t≤100)，整理的部分信息如下：
【收集数据】
活动前被抽取学生竞赛成绩在C组的数据为：70，70，70，75；活动后被抽取学生竞赛成绩为：55，65，60，90，95，95，60，65，65，75，70，85，80，85，80，70，85，80，85，95.
【整理数据】
活动前被抽取学生竞赛成绩扇形统计图

【分析数据】
两次竞赛被抽取学生竞赛成绩的统计量

　　　统计量
时间　　　
平均数
众数
中位数
活动前
75
70
n
活动后
77
85
80
根据以上信息，解答下列问题：
(1)m＝________，n＝________；
(2)在某次竞赛中，小明的竞赛成绩为75分，被评为“中上区间”，请你判断这次竞赛在活动前还是活动后，并说明理由；
(3)请对活动前后竞赛结果作出对比分析，并根据比较结果给出一条建议．
18. (9分)如图，过原点的直线y＝kx(k>0)分别与反比例函数y＝(x>0)和y＝(x<0)的图象交于A，B两点．
(1)若A(1，m)，求点B的坐标；
(2)过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两平行线交于点C.当直线y＝kx(k＞0)中k取不同的值时，△ABC的面积是否变化？若不变，请求出△ABC的面积；若变化，请探究△ABC面积的变化规律．




19. (9分)某店铺销售A，B两款考古盲盒手办．销售1件A款手办和3件B款手办的销售额为305元，销售2件A款手办和4件B款手办的销售额为450元．


进价(元/件)
售价(元/件)
A
30
m
B
50
n
(1)求表格中m，n的值；
(2)该店铺计划购进A，B两款手办共200件，且购进A款手办的数量不多于B款手办的一半．应如何设计进货方案才能使该店铺获得最大利润，最大利润是多少？
(3)手办供货商为了给买家优惠让利，特推出以下两种优惠方案：方案一：购买A款手办超过30件时，超过的部分按八折优惠，B款手办不享受优惠；方案二：两款手办均按九折销售．在(2)的条件下，该店铺选择哪种进货方案更划算？
20. (9分)河南省博物院属于国家一级现代博物馆，下图为其主展馆．某校数学社团的同学们想测量主展馆的高度，并利用周末完成了实地测量，测量数据如下表：

课题
测量河南省博物馆主展馆的高度
测量
示意图

第20题图
说明：AP为河南省博物馆主展馆的高，BM，CN为测角仪的高，MP为地面，点A，B，C，M，N，P在同一平面内且M，N，P在同一水平线上，BM，CN，AP均与地面垂直
测量
数据
点M处测得主展馆最高点A的仰角
点N处测得主展馆最高点A的仰角
MN的长
BM的长
22°
45°
66 m
1.5 m
根据上表中的测量数据，请你帮助数学社团的同学求出河南省博物馆主展馆AP的高度．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)
21. (9分)请阅读材料，并完成相应的任务：
学习了圆的切线以后，某数学兴趣小组的同学们发现，过圆上一点可以作出圆的一条切线．下面是小明的作图以及证明过程：
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P .
求作：直线l，使直线l过点P且与⊙O相切．
作法：①连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧交⊙O于点A；②以点A为圆心，在OA的延长线上截取AB＝OA；③作直线BP即为所求直线．
证明：连接AP.∵PA＝PO＝AO，
∴△AOP是等边三角形(____①____)(填推理的依据)．
∴∠PAO＝∠APO＝60°.
∵AO＝AB，∴AB＝AP，∴∠ABP＝∠APB.
∴∠PAO＝∠ABP＋∠APB＝2∠APB，∴∠APB＝30°，
∴∠BPO＝90°，即OP⊥BP.
∵OP为⊙O的半径，
∴BP为⊙O的切线(____②____)(填推理的依据).
任务：
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹，使用2B铅笔作图)；
(2)补充证明过程中的两个依据；
(3)在(1)的条件下，点C为⊙O上一动点，连接BC.若PO＝2，求△PBC面积的最大值．

22. (10分)如图是身高为1.75 m的小明在距篮筐4 m处跳起投篮的路线示意图，篮球运行轨迹可近似看作抛物线的一部分，球在小明头顶上方0.25 m的A处出手，在距离篮筐水平距离为1.5 m处达到最大高度3.5 m，最终投入篮筐所在的B处．以小明起跳点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求篮球运行轨迹所在抛物线的表达式；
(2)当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同．若他想投中篮筐，则应该向前走多远？(投篮时，球从下方穿过篮筐无效)

第22题图
23. (10分)综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“中点”为主题展开讨论．
【问题情景】
如图①，在矩形ABCD中，点O是AB边的中点，点M是边DC上一动点，点P在线段AM上(不与点A重合)，且满足OP＝AB，连接BP.
【猜想证明】
(1)判断△ABP的形状，并说明理由；
(2)如图②，当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点N.求证：PN＝AN；
【问题解决】
(3)在(2)的条件下，若AB＝5，AD＝4，作点N关于直线AM的对称点N′，连接AN′并延长交矩形的边所在的直线于点E，请直接写出CE的长．

第23题图









































河南省信阳市淮滨县2023年中考考前热身考试
数学参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. A
2. C　【解析】∵AB⊥CD，∴∠ADC＝90°，∵∠1＝50°，∴∠ADE＝∠ADC－∠1＝40°，∴∠2＝180°－∠ADE＝180°－40°＝140°.
3. B　【解析】从正面看，一共有三列，第一列有一个小正方形，第二列有两个小正方形，第三列有两个小正方形．
4. C　【解析】∵1微秒＝1×10－6秒，∴20微秒＝20×10－6秒＝2×10－5秒．
5. A　【解析】A.2a·a3＝2a4，故此选项符合题意；B.a2＋a2＝2a2≠a4，故此选项不合题意；C.(x＋1)2＝x2＋2x＋1≠x2＋1，故此选项不合题意；D.－≠1，故此选项不合题意．
6. C　【解析】∵ax2＋bx＋1＝0(a≠0)是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，∴－a＋b－1＝0，b2－4ac＝b2－4a＝0，∴b＝a＋1，b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2＝0，解得a＝1，∴b＝a＋1＝2.

　第7题解图
7. B　【解析】如解图，过点E作EF⊥AB于点F.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝2，AO⊥BO，∠ABO＝45°，∴△AOB，△BFE均为等腰直角三角形，∵AE为∠OAB的平分线，∴OE＝EF.在Rt△AOB中，OB＝AB·cos∠ABO＝.设OE＝x，则BF＝EF＝OE＝x，∵OE＝EF，AE＝AE，∴Rt△AOE≌Rt△AFE(HL)，∴AF＝AO＝OB＝，∵AB＝AF＋BF，即2＝＋x，解得x＝2－，∴OE＝2－.
8. B　【解析】画树状图如解图，(“立春、雨水、春分、谷雨”分别用A，B，C，D表示)由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片上的节气有相同汉字的结果有4种，∴P(两人抽到的卡片上的节气有相同汉字)＝＝.

第8题解图

9. D　【解析】如解图，过点B作y轴的垂线l，分别过点E，A作直线l的垂线，垂足分别为M，N.∵点A(－1，0)，B(0，－3)，∴OA＝1，OB＝3.∵∠ABE＝90°，∴∠ABN＋∠EBM＝90°，∵∠ABN＋∠BAN＝90°，∴∠EBM＝∠BAN，又∵∠ANB＝∠BME＝90°，∴△ABN∽△BEM.∵BE＝2AB，∴＝＝＝.∵AN＝OB＝3，BN＝OA＝1，∴BM＝2AN＝6，EM＝2BN＝2，∴E(6，－1)．

　第9题解图
10. D　【解析】如解图，根据题意可知，当x＝7，y＝12时，点P与点A重合，∴AD＋CD＝7 cm，AB＋BC＋AC＝12 cm.∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝90°，∴AB＋BC＝7 cm，AC＝5 cm.在Rt△ABC中，∵AC＝5 cm，AB＝7－BC，AC2＝AB2＋BC2，∴25＝(7－BC)2＋BC2，解得BC＝4或BC＝3.∵AB＜BC，∴BC＝4 cm，∴AB＝7－BC＝3 cm，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝3×4＝12 cm2.

第10题解图
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. y＝－x－1(答案不唯一)　【解析】设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，∵一次函数的图象与y轴负半轴有交点，∴b＜0，∵函数图象在第三象限内y随x的增大而减小，∴k＜0，则这个函数图象可以是y＝－x－1.
12. 6　【解析】∵a－3x＞0，∴x＜，根据题图可得，不等式的解集为x＜2，∴＝2，解得a＝6.
13. 减小　【解析】方差代表数据的稳定性，方差越大，数据的稳定性越差，若去掉一个最高分和最低分，数据更加稳定，方差减小．
14. 2＋π　【解析】如解图，分别过点P，F作OB的垂线交OB于点G，H，连接OF.∵OC为∠AOB的平分线，∴∠COB＝60°.在Rt△OPG中，∵OP＝，∴PG＝.∵PF∥GH，且PG⊥OB，FH⊥OB，∴四边形PFHG为矩形，∴FH＝PG＝，∵∠FHO＝90°，∴sin∠FOH＝＝＝，∴∠FOH＝30°，∴∠POF＝∠COB－∠FOH＝30°，∵PF∥OB，∴∠PFO＝30°，∴∠POF＝∠PFO，∴OP＝PF＝，同理可得，EP＝OP＝.∵的长＝＝＝，∴的长＝π，∴阴影部分的周长为2＋π.

第14题解图
15. 8或　【解析】当△BEF为直角三角形时，分两种情况，①当∠EFB＝90°时，如解图①，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.由旋转的性质可得，AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，又∵∠EAD＝α＝∠BAC，∴∠AED＝∠ADE＝∠ABC＝∠C，∵∠DFB＝∠EFB＝90°，∴∠FBD＋∠FDB＝90°，∴∠ADE＋∠FDB＝90°，∴AD⊥BC，∴点D为BC的中点，∴CD＝BC＝8；②当∠BEF＝90°时，如解图②，过点A作BC的垂线，垂足为G.∵AB＝AC，∴点G为BC的中点，∵∠EAD＝∠BAC，∴∠EAB＝∠DAC，又∵AE＝AD，AB＝AC，∴△AEB≌△ADC，∴∠EBA＝∠C，由①知，∠ADE＝∠C，∴∠EBA＝∠ADE.∵∠EFB＝∠AFD，∴△EFB∽△AFD，∴∠FAD＝∠FEB＝90°.∵AB＝10，BG＝8，∴在Rt△ABG中，cos∠ABG＝＝.在Rt△ABD中，cos∠ABD＝＝＝，∴BD＝，∵BC＝16，∴CD＝BC－BD＝.综上所述，CD的长为8或.

第15题解图

三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16. 解：(1)原式＝4＋1－2(3分)
＝3；(5分)
(2)原式＝÷(2分)
＝×(3分)
＝.(5分)
17. (1)30，70；(4分)
【解法提示】根据扇形统计图可知，m＝100－(10＋15＋25＋20)＝30.由题知，活动前被抽取学生竞赛成绩在C组的数据有四个，∴活动前总共抽取了＝20名学生，将20名被抽取学生成绩按照从小到大的顺序排列，∴活动前被抽取学生成绩的中位数是第10位和第11位学生成绩的平均数．∵20×10%＝2，20×30%＝6，∴中位数是C组数据中的第2位与第3位的平均数，∴n＝＝70.
(2)活动前，理由如下：∵活动前学生竞赛成绩的中位数是70，活动后学生竞赛成绩的中位数是80，小明的竞赛成绩为75分，被评为“中上区间”，∴此次竞赛是在活动前．(7分)
(3)比较活动前学生成绩与活动后学生成绩，发现活动后学生成绩的平均数、众数与中位数均高于活动前学生成绩的平均数、众数与中位数，因此开展“提高消防安全意识，增强自救互助能力”的主题活动有利于加强学生的消防意识；
建议：学校应积极组织各类活动来增强学生的知识储备，提高安全意识．(注：答案不唯一，合理即可)(9分)
18. 解：(1)∵点A的坐标为(1，m)且点A在反比例函数y＝的图象上，
∴A(1，1)，(1分)
将A(1，1)代入y＝kx，可得k＝1，
∴直线AB的函数表达式为y＝x，(2分)
∴点B的横纵坐标相等．
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴x2＝4，
解得x1＝－2，x2＝2(舍去)，
∴点B的坐标是(－2，－2)；(4分)
(2)△ABC的面积不变，设A(a，)(a＞0)．
∵点A在直线y＝kx(k>0)上，
将点A(a，)代入y＝kx，得k＝，
∴直线AB的函数表达式为y＝x.
∵y＝x与y＝相交于点B，
∴x＝，解得x＝－2a(正值已舍去)，
∴点B的横坐标为－2a.
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴点B的坐标为(－2a，－)，
∴S△ABC＝BC·AC＝·3a·＝.(9分)
19. 解：(1)依题意得，解得，
∴m＝65，n＝80.(3分)
(2)设A款手办购进a件，则B款手办购进(200－a)件，
根据题意，得a≤，解得a≤，(4分)
设利润为w元，则w＝(65－30)a＋(80－50)(200－a)＝5a＋6000.
∵5＞0，w随a的增大而增大．
∴当a＝66时，w有最大值，w最大＝5×66＋6000＝6330(元)，
此时B款手办的数量为200－a＝200－66＝134(件)．
答：该店铺应购进A款手办66件，B款手办134件，才能获得最大利润，最大利润为6330元．(6分)
(3)当选择方案一时，该店铺进货的花费＝30×30＋(66－30)×30×0.8＋134×50＝8464(元)，(7分)
当选择方案二时，该店铺进货的花费＝(30×66＋50×134)×0.9＝7812(元)．(8分)
∵8464＞7812，∴选择方案二．
答：在(2)的条件下，该店铺选择方案二进货更划算．(9分)
20. 解：如解图，延长BC交AP于点D，
则四边形BMNC，四边形BMPD是矩形，
∴BC＝MN＝66 m，DP＝CN＝BM＝1.5 m.
∵∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD.
设AD＝CD＝x m，(4分)
∴BD＝(66＋x) m.
∵∠ABD＝22°，
∴AD＝BD·tan22°，即x≈(66＋x)×0.40，(7分)
解得x＝44，
∴AP＝AD＋DP＝44＋1.5＝45.5(m)，
答：主展馆最高点A距离地面的高度AP约为45.5 m．(9分)

第20题解图
21. 解：(1)如解图①，直线BP即为所求；(2分)
(2)①三边相等的三角形是等边三角形；
②过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；(4分)
(3)如解图②，当点C为PO延长线与⊙O的交点时，△PBC的面积最大，
由(2)可知∠BOP＝60°且OP⊥BP，
在Rt△BPO中，BP＝PO·tan∠BOP＝2，(7分)
∵PO＝2，∴PC＝4.
∴S△PBC＝PC·BP＝×4×2＝4，
∴△PBC面积的最大值为4.(9分)

第21题解图

22. 解：(1)由题意知，抛物线的顶点坐标为(2.5，3.5)，
∴设抛物线的表达式为y＝a(x－2.5)2＋3.5，
由题图知图象过点B(4，3.05)，代入抛物线的表达式得，
a(4－2.5)2＋3.5＝3.05，解得a＝－0.2，
∴y＝－0.2(x－2.5)2＋3.5，
即抛物线的表达式为y＝－0.2x2＋x＋2.25；(4分)
(2)设球出手时，小明跳离地面的高度为h m，
则球出手时，球的高度为h＋1.75＋0.25＝(h＋2)m.
∵抛物线过点A，
∴h＋2＝2.25，解得h＝0.25，
∴球出手时，小明跳离地面的高度是0.25 m．(6分)
∵当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同，
∴小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线的表达式为y＋0.25＝－0.2(x－2.5)2＋3.5，
∴y＝－0.2(x－2.5)2＋3.25，(8分)
当y＝3.05时，－0.2(x－2.5)2＋3.25＝3.05，解得x1＝3.5，x2＝1.5，
∴小明与篮筐距离为3.5 m或1.5 m时，可投中篮筐，
∴他应该向前走4－3.5＝0.5 m或4－1.5＝2.5 m(不符合题意，舍去)，
∴若小明想投中篮筐，则应该向前走0.5 m．(10分)
23. (1)解：△ABP是直角三角形，理由如下：
∵点O是AB的中点，∴OA＝OB＝AB.
∵OP＝AB，∴OP＝OA＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO.
∵∠OAP＋∠APO＋∠OBP＋∠OPB＝180°，
∴∠APO＋∠OPB＝90°，∴∠APB＝90°，
∴△ABP是直角三角形；(4分)
(2)证明：如解图①，延长AM，BC交于点Q.
∵点M是DC的中点，∴DM＝CM.
∵∠D＝∠MCQ＝90°，∠AMD＝∠QMC，
∴△ADM≌△QCM，∴AD＝QC＝BC.
由(1)可知∠BPQ＝∠APB＝90°，
∴PC＝BQ＝BC，∴∠CPB＝∠CBP.
∵∠OPB＝∠OBP，∴∠OBC＝∠OPC＝90°，
∴∠OPN＝∠OPA＋∠APN＝90°.
∵∠OAP＋∠PAN＝90°，∠OAP＝∠OPA，
∴∠APN＝∠PAN，
∴PN＝AN；(8分)

图① 图②
第23题解图
(3)解：或；(10分)
【解法提示】分两种情况，如解图②，连接PN′，①当AN′的延长线与BC所在的直线交于点E时，记为E1，由(2)知，PN＝AN.∵点N与点N′关于AP对称，∴PN＝PN′，AN＝AN′，∴AN＝AN′＝PN′＝PN，∴四边形NPN′A为菱形，∴CE1＝PN′＝AN.设CE1＝AN＝x，则DN＝4－x，由(2)知，CP＝BC＝4，PN＝AN＝x，∴在Rt△DNC中，由勾股定理得，(4－x)2＋52＝(4＋x)2，解得x＝；②当AN′的延长线与DC所在的直线交于点E时，记为E2.∵△ADE2∽△E1CE2，∴＝.设CE2＝y，∴＝，解得y＝.综上所述，CE的长为或.