辽宁省大连市2020-2021学年高一下学期期末考试——数学试题

2020-2021学年第二学期期末考试试卷

高一数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符号题目要求。

1.已知角的终边过点，则（    ）

A.        B.       C.        D.

2.已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（     ）

A.        B.        C.       D.

3.已知复数，，若是实数，则实数的值为（     ）

A.         B.        C.        D.

4.设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则（     ）

A.         B.         C.        D.

5.在复平面内，复数，对应的点分别为，若为线段的中点，则点对应的复数是（     ）

A.        B.        C.        D.

6.如图，从地面上，两点望山顶，测得它们若点仰角分别为和，已知米，点位于是上，则山高等于（     ）

A. 米        B. 米        C. 米       D. 米

7.在中，角所对的边分别是，若，则是（      ）

A. 等边三角形                        B. 有一内角是的直角三角形

C. 等腰直角三角形                    D. 有一内角是的等腰三角形

8.刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的地方来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积，刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与立方体内切球的体积之比应为。后人导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即，为球的半径，也即正方形的棱长均为，从而计算出，记所有棱长都为的正四棱锥的体积为，棱长为的正方形的方盖差为，等于（     ）

A.         B.          C.          D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得得2分，有选错的得0分。

9.设，则（     ）

A. 的虚部是         B.

C.               D.

10.函数的部分图象如图所示，则（      ）

A.         B.         C.        D.

11.对于两条不同直线和两个不同平面，下列选项中正确的为（      ）

A. 若，，，则

B. 若，，，则或

C. 若，，则或

D. 若，，则或

12.如图，在长方体中，，，分别为棱的中点，则下列说法正确的是（     ）

A. 四点共面

B. 平面平面

C. 与所成角

D. 平面

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）

13.已知，则的值为________.

14.在中，分别是角的对边，，，，则角为_______.

15.甲烷是一种有机化合物，分子式是，它作为燃料广泛应用与民用和工业中，近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加，深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题，甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同，键角相等，请你用学过的数学知识计算甲烷碳氢键之间的夹角余弦值________.

16.若函数在内有且仅有一个最大值点，则的取值范围是_________.

四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答。

在中，角所对的边分别是，_________。

（I）求角；

（II）若，的面积为，求的周长。

18.如图所示，正三棱柱，，分别为，的中点。

（I）证明：平面；

（II）求与平面所成角的余弦值。

19.如图所示，在四棱锥的底面中，，，，且平面。

（I）证明：平面平面；

（II）在棱上是否存在点，使平面，若存在，求出的值；如若不存在，请说明理由。

20.已知点是锐角的外心，分别为角的对边，，

（I）求角；

（II）若，求面积的最大值；

（III）若，求实数的值。

21.任意（1）所示，中心为边长为的正方形，分别为上的点，，如图（2）所示，把和分别沿折起，使二面角的大小为，二面角的大小为。

（I）判断多面体是否为三棱柱；（只需回答结论）

（II）证明：平面；

（III）求多面体的体积。

22.函数的最小正周期为。

（I）求的值；

（II）函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，令，若函数有两个零点，（）。

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：