山西省长治市示范中学校2021-2022学年高一下学期期末考试——数学试卷

数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法正确的是（　）

A. 任何事件的概率总是在（0，1）之间

B. 频率是客观存在的，与试验次数无关

C. 随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率

D. 概率是随机的，在试验前不能确定

3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 若倾斜角为直线过，两点，则实数（      ）

A.  B.  C.  D.

5. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ）

A. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n

B. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

C. 若点A、B到平面α的距离相等，则直线AB//α

D. 若m⊥α，m//β，则α⊥β

6. 已知直线，直线，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 在中，已知，，，则（    ）

A 16 B. 9 C. －9 D. －16

8. 在一次试验中，随机事件A，B满足，则（    ）

A. 事件A，B一定互斥 B. 事件A，B一定不互斥

C. 事件A，B一定互相独立 D. 事件A，B一定不互相独立

9. 在正方体中，是棱AB上的点，且，G，F分别是棱，BC的中点，则异面直线与EF所成角的余弦值为（    ）

A  B.

C.  D.

10. 已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989.据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ）

A. 0.25 B. 0.2 C. 0.35 D. 0.4

11. 瀑布是庐山的一大奇观，为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为，沿山道继续走20m，抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为．已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为，则该瀑布的高度约为（    ）．

A. 60m B. 90m C. 108m D. 120m

12. 如图，在圆锥中，，，圆锥底面圆的面积为，则其外接球的表面积为（    ）

A  B.  C.  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量，的夹角为60°，且，，则________.

14. 在共有100名学生参加的某项测试中，小李的成绩恰为第80百分位数，小张的成绩排名是第80名，则他们两人中成绩较好的是______.

15. 如图，二面角大小为，，，，且，，若，，，则AB的长为___________.

16. 汽车最小转弯半径是指当转向盘转到极限位置，汽车以最低稳定车速转向行驶时，外侧转向轮的中心平面在支承平面上滚过的轨迹圆半径.如图中的BC即是.已知某车在低速前进时，图中A处的轮胎行进方向与AC垂直，B处的轮胎前进方向与BC垂直，轴距AB为2.55米，方向盘转到极限时，轮子方向偏了30°，则该车的最小转弯半径BC为______米.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知直线，直线，过点的直线与，分别交于，两点，若点，关于点A对称，求直线的方程.

18. 已知平面向量，.

（1）若，，求实数x的值；

（2）求函数的单调递增区间.

19. 如图，在四棱锥中，平面分别为的中点．

（1）求证：平面平面

（2）求证：平面平面

20. 某市供水管理部门随机抽取了2021年2月份200户居民的用水量，经过整理得到如下的频率分布直方图．

（1）求抽取的200户居民用水量的平均数；

（2）为了进一步了解用水量在，范围内的居民用水实际情况，决定用分层抽样的方法抽取6户进行电话采访．

①各个范围各应抽取多少户？

②若从抽取的6户中随机抽取3户进行人户调查，求3户分别来自3个不同范围的概率．

21. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，为PB上靠近的三等分点.

（1）求证：平面ACM；

（2）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值.

22. 已知中，D为BC中点，．

（1）若，，求边AB的长；

（2）若，求面积最大值．

答案

1-5：CCBCD

6-10:CCBDA

11-12:AB

13. 2

14. 小李

15.

16. 5.10

17.

解：设，则，

因为，分别在直线，上，

，解得

所以，

则直线的方程为，即

18. （1）   

（2）

【小问1】

由可得， ，

即，即，

由于，故 ；

【小问2】

，

令,即，

即函数的单调递增区间为.

19. （1）是的中点，

且，四边形是平行四边形，

平面平面平面

和分别是的中点，

平面平面平面

，平面平面平面；

（2），

又．

由底面平面得到

又，平面平面

平面

，平面，

平面平面平面．

20. （1）5.2立方米；（2）①用水量在范围内的应抽取3户，用水量在范围内的应抽取2户，用水量在范围内的应抽取1户；②．

（1）由题意，抽取的200户居民用水量的平均数：

立方米．

（2）①将用水量在]范围内的居民数分成三层，

各层频率分别为，，

所以用水量在范围内应抽取户)，

用水量在范围内的应抽取户，

用水量在范围内的应抽取(户)．

②记“3户分别来自3个不同范围”为事件，抽取的用水量在范围内的3户分别记为，抽取的用水量在范围内的2户分别记为，抽取的用水量在范围内的1户记为，从6户中随机抽取3户的所有结果为：，

，，共20种，

其中3户分别来自3个不同范围的结果有6种，

所以3户分别来自3个不同范围的概率．

21. 【小问1】

连接与交于点，连接，，易知，

故，，中，，

平面，平面，故平面.

【小问2】

取中点为，连接，，，故，

，故是等边三角形，故，即.

平面ABCD，故以为原点，为轴建立空间直角坐标系.

.

故，，，

设平面的法向量为，故，即，

取得到，，故，

设直线CD与平面ACM所成角为，则.

22. 【小问1】

在中，，，

由正弦定理，得，又，则，

∴；

由余弦定理，得，

∴．

【小问2】

∵D为BC中点，∴，

设，，，

由余弦定理，得，

则．

的面积

，

∵，∴，．∴，

当且仅当时取等号，此时取得最大值，即的面积取得最大值，

故的面积的最大值为．