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2022-2023学年浙江省杭州市萧山区学军中学教育集团文渊实验中学中考数学模拟试卷（4月份）
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这是一份2022-2023学年浙江省杭州市萧山区学军中学教育集团文渊实验中学中考数学模拟试卷（4月份），共24页。试卷主要包含了下列计算正确的是，如果3x﹣2y＝0，那么代数式等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市萧山区学军中学教育集团文渊实验中学中考数学模拟试卷（4月份）
一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知m＝2，则代数式2m﹣1的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
2．为了保护和利用好京杭大运河，我国水利部门启动了京杭大运河2022年全线贯通补水行动，预计总补水量达515000000立方米，相当于37个西湖的水量．将515000000用科学记数法表示应为（ ）
A．5.15×108 B．5.15×109 C．0.515×109 D．51.5×107
3．下列计算正确的是（ ）
A．＝±2 B．＝﹣2 C．＝2 D．＝±2
4．如果3x﹣2y＝0，那么代数式（+1）•的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（ ）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2
6．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有48人，在乙处植树的有42人，由于甲处植树任务较重，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设从乙处调配x人去甲处，则（ ）
A．48＝2（42﹣x） B．48+x＝2×42
C．48﹣x＝2（42+x） D．48+x＝2（42﹣x）
7．风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为5℃时，风寒温度T（℃）和风速v（km/h）的几组对应值，那么当气温为5℃时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（ ）
风速v（单位：km/h）
0
10
20
30
40
风寒温度T（单位：℃）
5
3
1
﹣1
﹣3
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
8．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝α，AO∥DC，∠B＝β，则α，β满足关系为（ ）
A．2α﹣β＝90° B．α+β＝90° C．2β+α＝180° D．α+9β＝540°
9．已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（ ）
A．4n＝m2 B．2n＝m2 C．4n＝（m+1）2 D．2n＝（m+1）2
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC．设AB＝m，AP＝a，PF＝b，PE＝c，下列表述正确的是（ ）
A．c2+b2＝a2 B．a+b＝c+m
C．c2+b2﹣bc＝a2 D．a+b+c≥2m
二.填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分，
11．因式分解9a2﹣4c2＝ ．
12．外观相同的50件产品中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点，PC是⊙O的切线，C为切点．若PA＝8，sinP＝．则PC＝ ．
14．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在反比例函数y＝）的图象上，且y1＜y2，则k的值可以是 ．（只需写出符合条件的一个k的值）
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，sinA＝，BC＝6，则⊙O的半径是 ．
16．如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O．若BO＝6，PO＝2，则AP的长为 ，AO的长为 ．
三.解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）已知p＝，且m≠﹣1）．
方方说：“p一定大于q”．以下是方方的解答过程．
解：p﹣q＝＝k（m+1）﹣km＝k
因为k＞0，所以p﹣q＞0，即p一定大于q．
你觉得方方说法正确吗？为什么？
18．（8分）为了解地铁14号线与7号线的日客运强度，获得了它们2022年1月份工作日（共21天）日客运强度（单位：万人/公里）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．地铁14号线2022年1月份工作日日客运强度的数据的频数分布直方图如下（数据分成6组：0.50≤x＜0.70，0.70≤x＜0.90，0.90≤x＜1.10，1.10≤x＜1.30，1.30≤x＜1.50，1.50≤x≤1.70）；
b．地铁14号线2022年1月份工作日日客运强度的数据在1.30≤x＜1.50这一组是：
1.37 1.37 1.37 1.38 1.41 1.47 1.48 1.48 1.49
c．地铁14号线与7号线2022年1月份工作日日客运强度的平均数、中位数如下：
平均数
中位数
地铁14号线
1.37
m
地铁7号线
1.08
1.1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）日客运强度反映了地铁的拥挤程度，小明每天上班均需乘坐地铁，可以选择乘坐地铁14号线或乘坐地铁7号线．请帮助小明选择一种乘坐地铁的方式，并说明理由；
（3）2022年一共有249个工作日，请估计2022年全年的工作日中，地铁14号线日客运强度不低于1.3万人/公里的天数（直接写出结果）．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的边长．
20．（10分）在直角坐标系中，设函数y1＝k1x+2+k1，函数y2＝（k1，k2是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（﹣1，m），点B（2，n），
①求函数y1，y2的表达式；
②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．
（2）若点C（1，p）在函数y1的图象上，点C先关于x轴对称得点C′，再向左平移2个单位得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求p的值．
21．（10分）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝AD，AC交BD于点E，已知∠COD＝135°．
（1）求∠AEB的度数，
（2）若CO＝1，求OE的长．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）过点（2，1）；
（1）求b（用含a的式子表示）；
（2）抛物线过点M（﹣2，m），N（1，n），P（3，p），
①试证明：（m﹣1）（n﹣1）＜0；
②若M，N，P恰有两个点在x轴上方，求a的取值范围．
23．（12分）如图，BD是矩形ABCD的对角线，，点E，F分别在边AB，DC上，把△ADE和△CBF分别沿直线DE，BF折叠，使点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连接FG．
（1）若AB＝3，BC＝2，求线段FH的长．
（2）若，求tan∠HFG．
（3）若FG⊥CD，求的值．
2022-2023学年浙江省杭州市萧山区学军中学教育集团文渊实验中学中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知m＝2，则代数式2m﹣1的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【解答】解：当m＝2时，2m﹣1＝2×2﹣1＝4﹣1＝3，
故选：C．
2．为了保护和利用好京杭大运河，我国水利部门启动了京杭大运河2022年全线贯通补水行动，预计总补水量达515000000立方米，相当于37个西湖的水量．将515000000用科学记数法表示应为（ ）
A．5.15×108 B．5.15×109 C．0.515×109 D．51.5×107
【解答】解：515000000＝5.15×108．
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．＝±2 B．＝﹣2 C．＝2 D．＝±2
【解答】解：A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，符合题意；
D.，不符合题意，
故选：C．
4．如果3x﹣2y＝0，那么代数式（+1）•的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：（+1）•
＝•
＝，
∵3x﹣2y＝0，
∴＝，
∴原式＝3×
＝3×
＝2．
故选：B．
5．将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（ ）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2
【解答】解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
＝（a+b）2﹣4ab，
＝a2+2ab+b2﹣4ab，
＝（a﹣b）2；
故选：D．
6．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有48人，在乙处植树的有42人，由于甲处植树任务较重，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设从乙处调配x人去甲处，则（ ）
A．48＝2（42﹣x） B．48+x＝2×42
C．48﹣x＝2（42+x） D．48+x＝2（42﹣x）
【解答】解：设从乙处调配x人去甲处，
根据题意得，48+x＝2（42﹣x），
故选：D．
7．风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为5℃时，风寒温度T（℃）和风速v（km/h）的几组对应值，那么当气温为5℃时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（ ）
风速v（单位：km/h）
0
10
20
30
40
风寒温度T（单位：℃）
5
3
1
﹣1
﹣3
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【解答】解：当气温为一定时，风寒温度T和风速v成一次函数关系，
设风寒温度T和风速v的关系式为：T＝kv+b，
根据题意，得：，
解得，
所以T＝﹣0.2v+5，
故选：B．
8．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝α，AO∥DC，∠B＝β，则α，β满足关系为（ ）
A．2α﹣β＝90° B．α+β＝90° C．2β+α＝180° D．α+9β＝540°
【解答】解：连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOD＝α，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝α，
∴∠DOC＝180°﹣2α，
∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝180°﹣α，
∴∠ABC＝∠AOC＝90°﹣α，
即β＝90°﹣α，
∴2β+α＝180°．
故选：C．
9．已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（ ）
A．4n＝m2 B．2n＝m2 C．4n＝（m+1）2 D．2n＝（m+1）2
【解答】解：∵点A、B的纵坐标相同，
∴函数的对称轴为x＝（1+m+2）＝＝，
解得b＝m+3，
∵二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，
则Δ＝b2﹣4c＝（m+3）2﹣4c＝0，
解得c＝（m+3）2，
当x＝1时，y＝n＝1﹣b+c＝1﹣（m+3）+（m+3）2＝，
即4n＝（m+1）2．
故选：C．
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC．设AB＝m，AP＝a，PF＝b，PE＝c，下列表述正确的是（ ）
A．c2+b2＝a2 B．a+b＝c+m
C．c2+b2﹣bc＝a2 D．a+b+c≥2m
【解答】解：如图，连接PC，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，且PD＝PD，
∴△APD≌△CPD（SAS），
∴AP＝CP＝a，
∵PE∥BC，PF∥DC，
∴四边形PECF是平行四边形，
∴PE＝CF＝c，
∵PF∥DC∥AB，
∴∠PFC＝∠ABC＝60°，
∵PH⊥BC，
∴∠FPH＝30°，
∴FH＝，PH＝FH＝b，
∴CH＝﹣c，
∵PC2＝CH2+PH2，
∴a2＝（﹣c）2+（b）2，
∴c2+b2﹣bc＝a2，
故选：C．
二.填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分，
11．因式分解9a2﹣4c2＝ （3a+2c）（3a﹣2c） ．
【解答】解：原式＝（3a+2c）（3a﹣2c）．
故答案为：（3a+2c）（3a﹣2c）．
12．外观相同的50件产品中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是 ．
【解答】解：∵50件外观相同的产品中有2件不合格，
∴从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是＝．
故答案为：．
13．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点，PC是⊙O的切线，C为切点．若PA＝8，sinP＝．则PC＝ 4 ．
【解答】解：连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
在Rt△OCP中，sinP＝＝，
则OP＝3OC＝3OA，
∵PA＝8，
∴OC＝2，OP＝6，
∴PC＝＝＝4，
故答案为：4．
14．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在反比例函数y＝）的图象上，且y1＜y2，则k的值可以是 k＝﹣2（答案不唯一） ．（只需写出符合条件的一个k的值）
【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，且y1＜y2，
∴当x＜0时，y随着x的增大而增大，
∴k＜0，
即k的一个值为：k＝﹣2，
故答案为：k＝﹣2（答案不唯一）．
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，sinA＝，BC＝6，则⊙O的半径是 4 ．
【解答】解：延长CO交⊙O于点D，连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∵∠A＝∠D，
∴sinA＝sinD＝，
在Rt△BCD中，BC＝6，
∴CD＝＝＝8，
∴⊙O的半径等于4，
故答案为：4．
16．如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O．若BO＝6，PO＝2，则AP的长为 4 ，AO的长为 1+ ．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴∠BAP＝∠ACQ＝∠ABQ，AB＝AC＝BC
∵在△ABP和△ACQ中
，
∴△ABP≌△ACQ （SAS），
∴∠ABP＝∠CAQ，∠BAQ+∠CAQ＝60°，
∵∠APO＝∠BPA，
∴△APO∽△BPA，
∴，
∴AP2＝OP•BP，
∵BO＝6，PO＝2，
∴AP2＝2×8＝16，
∴AP＝4，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAQ+∠CAQ＝60°，
∴∠BAQ+∠ABP＝60°，
∵∠BOQ＝∠BAQ+ABP，
∴∠BOQ＝60°，
方法一：过点B作BE⊥OQ于点E，
∴∠OBE＝30°，
∵OB＝6，
∴OE＝3，BE＝3，
设OA＝x，
∵，
∴AB＝2x，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
∴，
解得：x＝1+（x＝1﹣舍去），
∴AO＝1+．
方法二：
过点A作OP的垂线与OP交于点G，
设OG＝x，则OA＝2x，
∵AG2＝（2x）2﹣x2＝3x2，AG2＝42﹣（x﹣2）2，
∴3x2＝42﹣（x﹣2）2，
解得x＝（负值舍去），
∴OA＝1+．
方法三：
设AP＝x，则△APO∽△AQC，
∴，
∴，
∴x＝4，
∴AP＝4，
过点P作PH⊥AO于H，
解直角三角形求出AH和OH即可．
故答案为：4，1+．
三.解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）已知p＝，且m≠﹣1）．
方方说：“p一定大于q”．以下是方方的解答过程．
解：p﹣q＝＝k（m+1）﹣km＝k
因为k＞0，所以p﹣q＞0，即p一定大于q．
你觉得方方说法正确吗？为什么？
【解答】解：方方说法不正确，理由：
∵p﹣q＝
＝
＝，
而方方在解答过程中将分母去掉了，
∴方方说法不正确．
正确的解法为：
∵p﹣q＝
＝
＝，
∵k＞0，当m＞0时，m（m+1）＞0，
∴p﹣q＞0，
∴p大于q；
∵k＞0，当m＜﹣1时，m（m+1）＞0，
∴p﹣q＞0，
∴p大于q；
∵k＞0，当﹣1＜m＜0时，m（m+1）＜0，
∴p﹣q＜0，
∴p小于q．
综上，p不一定大于q．
18．（8分）为了解地铁14号线与7号线的日客运强度，获得了它们2022年1月份工作日（共21天）日客运强度（单位：万人/公里）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．地铁14号线2022年1月份工作日日客运强度的数据的频数分布直方图如下（数据分成6组：0.50≤x＜0.70，0.70≤x＜0.90，0.90≤x＜1.10，1.10≤x＜1.30，1.30≤x＜1.50，1.50≤x≤1.70）；
b．地铁14号线2022年1月份工作日日客运强度的数据在1.30≤x＜1.50这一组是：
1.37 1.37 1.37 1.38 1.41 1.47 1.48 1.48 1.49
c．地铁14号线与7号线2022年1月份工作日日客运强度的平均数、中位数如下：
平均数
中位数
地铁14号线
1.37
m
地铁7号线
1.08
1.1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）日客运强度反映了地铁的拥挤程度，小明每天上班均需乘坐地铁，可以选择乘坐地铁14号线或乘坐地铁7号线．请帮助小明选择一种乘坐地铁的方式，并说明理由；
（3）2022年一共有249个工作日，请估计2022年全年的工作日中，地铁14号线日客运强度不低于1.3万人/公里的天数（直接写出结果）．
【解答】解：（1）地铁14号线2022年1月份工作日日客运强度的数据从小到大排列，排在最中间的数是1.38，故m＝1.38；
（2）从中位数、平均数上看，地铁7号线的中位数较小，平均数也较小，说明地铁7号线的拥挤程度较小，
因此，小明乘坐地铁7号线比较合适；
（3）估计2022年全年的工作日中，地铁14号线日客运强度不低于1.3万人/公里的天数为：249×＝166（天）．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的边长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DAF＝∠EBF，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝BF，
在△AFD和△BFE中，
，
∴△AFD≌△BFE（ASA），
∴AD＝EB，
∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
又∵DB＝DA，
∴平行四边形AEBD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
由（1）可知，四边形AEBD是菱形，
∴AD＝AE＝BE＝BD，AB⊥DE，
∴BE＝BC，CD⊥DE，
∴∠CDE＝90°，
∴tan∠DCB＝＝3，
∴DE＝3DC＝3，
∴CE＝＝＝10，
∴BE＝BC＝CE＝5，
∴菱形AEBD的边长为5．
20．（10分）在直角坐标系中，设函数y1＝k1x+2+k1，函数y2＝（k1，k2是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（﹣1，m），点B（2，n），
①求函数y1，y2的表达式；
②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．
（2）若点C（1，p）在函数y1的图象上，点C先关于x轴对称得点C′，再向左平移2个单位得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求p的值．
【解答】解：（1）①函数y1＝k1x+2+k1的图象过点A（﹣1，m），
∴m＝2
∴点A（﹣1，2），
∵函数y2＝的图象过点A（﹣1，2），
∴k2＝﹣1×2＝﹣2，
∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，
当x＝2时，y＝﹣1，
∴点B（2，﹣1），
把点B（2，﹣1）代入函数y1＝k1x+2+k1得，
2k1+2+k1＝﹣1，
∴k1＝﹣1，
∴一次函数的关系式为y1＝﹣x+1；
②∵一次函数的关系式为y1＝﹣x+1，反比例函数的关系式为y2＝﹣相交于点A（﹣1，2），点B（2，﹣1），
∴当y1＜y2时，x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞2；
（2）∵C（1，p），
∴点C关于x轴对称得点C′（1，﹣p），再向左平移2个单位得点D（﹣1，﹣p），
∵点D恰好落在函数y1的图象上，
∴﹣p＝﹣k1+2+k1，
∴p＝﹣2．
21．（10分）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝AD，AC交BD于点E，已知∠COD＝135°．
（1）求∠AEB的度数，
（2）若CO＝1，求OE的长．
【解答】解：（1）∵BD是⊙O的直径，点A在⊙O上，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠COD＝135°，
∴∠BOC＝180°﹣135°＝45°，
∴∠BAC＝∠BOC＝22.5°，
∴∠AEB＝180°﹣45°﹣22.5°
＝112.5°；
（2）在Rt△ABD中，AB＝AD，BD＝2OC＝2，
∴AB＝×BD＝，
∵∠ABC＝∠BOC＝45°，
∴AB∥OC，
∴△COE∽△ABE，
∴＝，
即＝，而OE+BE＝OB＝1，
∴OE＝﹣1．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）过点（2，1）；
（1）求b（用含a的式子表示）；
（2）抛物线过点M（﹣2，m），N（1，n），P（3，p），
①试证明：（m﹣1）（n﹣1）＜0；
②若M，N，P恰有两个点在x轴上方，求a的取值范围．
【解答】解：（1）将（2，1）代入抛物线表达式得1＝4a+2b+1，
解得b＝﹣2a；
（2）由（1）得，抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax+1，
则抛物线的对称轴为直线x＝1，
将点M、N、P的坐标代入抛物线表达式得：
m＝4a+4a+1＝8a+1，n＝﹣a+1，p＝3a+1，
①（m﹣1）（n﹣1）
＝8a×（﹣a）
＝﹣8a2＜0，
②当a＞0时，
由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，
即3a+1＞0且﹣a+1≤0，
解得：a≥1；
当a＜0时，
同理可得：点N、P在x轴上方，
即3a+1＞0且8a+1≤0，
解得：﹣＜a≤﹣；
综上，﹣＜a≤﹣或a≥1．
23．（12分）如图，BD是矩形ABCD的对角线，，点E，F分别在边AB，DC上，把△ADE和△CBF分别沿直线DE，BF折叠，使点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连接FG．
（1）若AB＝3，BC＝2，求线段FH的长．
（2）若，求tan∠HFG．
（3）若FG⊥CD，求的值．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠C＝90°，CD＝AB＝3，
∴，
由折叠得：BH＝BC＝2，∠BHF＝∠C＝90°，
∴，
∴∠DHF＝90°，
设CF＝x，在Rt△HFD中，HF2+HD2＝FD2，
∴，
∴，
∴FH＝．
（2）∵，
∴设BC＝3a，AB＝4a，则BD＝5a，DH＝2a，DG＝AD＝BC＝3a，BG＝BD﹣DG＝2a，
∴GH＝BH﹣BG＝a，
设HF＝b，在Rt△HFD中，HF2+HD2＝FD2，
∴b2+（2a）2＝（4a﹣b）2，
∴b＝a，
在Rt△HFD中，．
（3）如图，
∵矩形ABCD，
∴BC⊥CD，
当FG⊥CD，
∴FG∥BC，
∴∠1＝∠3，
又由折叠得：∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴FG＝BG，
设BG＝e，FG＝e，GH＝h，则BH＝e+h，
∴BC＝e+h，
由（2）得HD＝BG＝e，
∴BD＝2e+h，
∵FG∥BC，
∴DGF∽△DBC，
∴，
∴，
解得：e＝h，
∴＝．
2022-2023学年浙江省杭州市萧山区学军中学教育集团文渊实验中学中考数学模拟试卷（4月份）
一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知m＝2，则代数式2m﹣1的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
2．为了保护和利用好京杭大运河，我国水利部门启动了京杭大运河2022年全线贯通补水行动，预计总补水量达515000000立方米，相当于37个西湖的水量．将515000000用科学记数法表示应为（ ）
A．5.15×108 B．5.15×109 C．0.515×109 D．51.5×107
3．下列计算正确的是（ ）
A．＝±2 B．＝﹣2 C．＝2 D．＝±2
4．如果3x﹣2y＝0，那么代数式（+1）•的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（ ）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2
6．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有48人，在乙处植树的有42人，由于甲处植树任务较重，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设从乙处调配x人去甲处，则（ ）
A．48＝2（42﹣x） B．48+x＝2×42
C．48﹣x＝2（42+x） D．48+x＝2（42﹣x）
7．风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为5℃时，风寒温度T（℃）和风速v（km/h）的几组对应值，那么当气温为5℃时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（ ）
风速v（单位：km/h）
0
10
20
30
40
风寒温度T（单位：℃）
5
3
1
﹣1
﹣3
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
8．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝α，AO∥DC，∠B＝β，则α，β满足关系为（ ）
A．2α﹣β＝90° B．α+β＝90° C．2β+α＝180° D．α+9β＝540°
9．已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（ ）
A．4n＝m2 B．2n＝m2 C．4n＝（m+1）2 D．2n＝（m+1）2
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC．设AB＝m，AP＝a，PF＝b，PE＝c，下列表述正确的是（ ）
A．c2+b2＝a2 B．a+b＝c+m
C．c2+b2﹣bc＝a2 D．a+b+c≥2m
二.填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分，
11．因式分解9a2﹣4c2＝ ．
12．外观相同的50件产品中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点，PC是⊙O的切线，C为切点．若PA＝8，sinP＝．则PC＝ ．
14．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在反比例函数y＝）的图象上，且y1＜y2，则k的值可以是 ．（只需写出符合条件的一个k的值）
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，sinA＝，BC＝6，则⊙O的半径是 ．
16．如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O．若BO＝6，PO＝2，则AP的长为 ，AO的长为 ．
三.解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）已知p＝，且m≠﹣1）．
方方说：“p一定大于q”．以下是方方的解答过程．
解：p﹣q＝＝k（m+1）﹣km＝k
因为k＞0，所以p﹣q＞0，即p一定大于q．
你觉得方方说法正确吗？为什么？
18．（8分）为了解地铁14号线与7号线的日客运强度，获得了它们2022年1月份工作日（共21天）日客运强度（单位：万人/公里）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．地铁14号线2022年1月份工作日日客运强度的数据的频数分布直方图如下（数据分成6组：0.50≤x＜0.70，0.70≤x＜0.90，0.90≤x＜1.10，1.10≤x＜1.30，1.30≤x＜1.50，1.50≤x≤1.70）；
b．地铁14号线2022年1月份工作日日客运强度的数据在1.30≤x＜1.50这一组是：
1.37 1.37 1.37 1.38 1.41 1.47 1.48 1.48 1.49
c．地铁14号线与7号线2022年1月份工作日日客运强度的平均数、中位数如下：
平均数
中位数
地铁14号线
1.37
m
地铁7号线
1.08
1.1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）日客运强度反映了地铁的拥挤程度，小明每天上班均需乘坐地铁，可以选择乘坐地铁14号线或乘坐地铁7号线．请帮助小明选择一种乘坐地铁的方式，并说明理由；
（3）2022年一共有249个工作日，请估计2022年全年的工作日中，地铁14号线日客运强度不低于1.3万人/公里的天数（直接写出结果）．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的边长．
20．（10分）在直角坐标系中，设函数y1＝k1x+2+k1，函数y2＝（k1，k2是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（﹣1，m），点B（2，n），
①求函数y1，y2的表达式；
②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．
（2）若点C（1，p）在函数y1的图象上，点C先关于x轴对称得点C′，再向左平移2个单位得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求p的值．
21．（10分）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝AD，AC交BD于点E，已知∠COD＝135°．
（1）求∠AEB的度数，
（2）若CO＝1，求OE的长．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）过点（2，1）；
（1）求b（用含a的式子表示）；
（2）抛物线过点M（﹣2，m），N（1，n），P（3，p），
①试证明：（m﹣1）（n﹣1）＜0；
②若M，N，P恰有两个点在x轴上方，求a的取值范围．
23．（12分）如图，BD是矩形ABCD的对角线，，点E，F分别在边AB，DC上，把△ADE和△CBF分别沿直线DE，BF折叠，使点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连接FG．
（1）若AB＝3，BC＝2，求线段FH的长．
（2）若，求tan∠HFG．
（3）若FG⊥CD，求的值．
2022-2023学年浙江省杭州市萧山区学军中学教育集团文渊实验中学中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知m＝2，则代数式2m﹣1的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【解答】解：当m＝2时，2m﹣1＝2×2﹣1＝4﹣1＝3，
故选：C．
2．为了保护和利用好京杭大运河，我国水利部门启动了京杭大运河2022年全线贯通补水行动，预计总补水量达515000000立方米，相当于37个西湖的水量．将515000000用科学记数法表示应为（ ）
A．5.15×108 B．5.15×109 C．0.515×109 D．51.5×107
【解答】解：515000000＝5.15×108．
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．＝±2 B．＝﹣2 C．＝2 D．＝±2
【解答】解：A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，符合题意；
D.，不符合题意，
故选：C．
4．如果3x﹣2y＝0，那么代数式（+1）•的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：（+1）•
＝•
＝，
∵3x﹣2y＝0，
∴＝，
∴原式＝3×
＝3×
＝2．
故选：B．
5．将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（ ）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2
【解答】解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
＝（a+b）2﹣4ab，
＝a2+2ab+b2﹣4ab，
＝（a﹣b）2；
故选：D．
6．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有48人，在乙处植树的有42人，由于甲处植树任务较重，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设从乙处调配x人去甲处，则（ ）
A．48＝2（42﹣x） B．48+x＝2×42
C．48﹣x＝2（42+x） D．48+x＝2（42﹣x）
【解答】解：设从乙处调配x人去甲处，
根据题意得，48+x＝2（42﹣x），
故选：D．
7．风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为5℃时，风寒温度T（℃）和风速v（km/h）的几组对应值，那么当气温为5℃时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（ ）
风速v（单位：km/h）
0
10
20
30
40
风寒温度T（单位：℃）
5
3
1
﹣1
﹣3
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【解答】解：当气温为一定时，风寒温度T和风速v成一次函数关系，
设风寒温度T和风速v的关系式为：T＝kv+b，
根据题意，得：，
解得，
所以T＝﹣0.2v+5，
故选：B．
8．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝α，AO∥DC，∠B＝β，则α，β满足关系为（ ）
A．2α﹣β＝90° B．α+β＝90° C．2β+α＝180° D．α+9β＝540°
【解答】解：连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOD＝α，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝α，
∴∠DOC＝180°﹣2α，
∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝180°﹣α，
∴∠ABC＝∠AOC＝90°﹣α，
即β＝90°﹣α，
∴2β+α＝180°．
故选：C．
9．已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（ ）
A．4n＝m2 B．2n＝m2 C．4n＝（m+1）2 D．2n＝（m+1）2
【解答】解：∵点A、B的纵坐标相同，
∴函数的对称轴为x＝（1+m+2）＝＝，
解得b＝m+3，
∵二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，
则Δ＝b2﹣4c＝（m+3）2﹣4c＝0，
解得c＝（m+3）2，
当x＝1时，y＝n＝1﹣b+c＝1﹣（m+3）+（m+3）2＝，
即4n＝（m+1）2．
故选：C．
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC．设AB＝m，AP＝a，PF＝b，PE＝c，下列表述正确的是（ ）
A．c2+b2＝a2 B．a+b＝c+m
C．c2+b2﹣bc＝a2 D．a+b+c≥2m
【解答】解：如图，连接PC，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，且PD＝PD，
∴△APD≌△CPD（SAS），
∴AP＝CP＝a，
∵PE∥BC，PF∥DC，
∴四边形PECF是平行四边形，
∴PE＝CF＝c，
∵PF∥DC∥AB，
∴∠PFC＝∠ABC＝60°，
∵PH⊥BC，
∴∠FPH＝30°，
∴FH＝，PH＝FH＝b，
∴CH＝﹣c，
∵PC2＝CH2+PH2，
∴a2＝（﹣c）2+（b）2，
∴c2+b2﹣bc＝a2，
故选：C．
二.填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分，
11．因式分解9a2﹣4c2＝ （3a+2c）（3a﹣2c） ．
【解答】解：原式＝（3a+2c）（3a﹣2c）．
故答案为：（3a+2c）（3a﹣2c）．
12．外观相同的50件产品中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是 ．
【解答】解：∵50件外观相同的产品中有2件不合格，
∴从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是＝．
故答案为：．
13．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点，PC是⊙O的切线，C为切点．若PA＝8，sinP＝．则PC＝ 4 ．
【解答】解：连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
在Rt△OCP中，sinP＝＝，
则OP＝3OC＝3OA，
∵PA＝8，
∴OC＝2，OP＝6，
∴PC＝＝＝4，
故答案为：4．
14．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在反比例函数y＝）的图象上，且y1＜y2，则k的值可以是 k＝﹣2（答案不唯一） ．（只需写出符合条件的一个k的值）
【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，且y1＜y2，
∴当x＜0时，y随着x的增大而增大，
∴k＜0，
即k的一个值为：k＝﹣2，
故答案为：k＝﹣2（答案不唯一）．
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，sinA＝，BC＝6，则⊙O的半径是 4 ．
【解答】解：延长CO交⊙O于点D，连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∵∠A＝∠D，
∴sinA＝sinD＝，
在Rt△BCD中，BC＝6，
∴CD＝＝＝8，
∴⊙O的半径等于4，
故答案为：4．
16．如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O．若BO＝6，PO＝2，则AP的长为 4 ，AO的长为 1+ ．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴∠BAP＝∠ACQ＝∠ABQ，AB＝AC＝BC
∵在△ABP和△ACQ中
，
∴△ABP≌△ACQ （SAS），
∴∠ABP＝∠CAQ，∠BAQ+∠CAQ＝60°，
∵∠APO＝∠BPA，
∴△APO∽△BPA，
∴，
∴AP2＝OP•BP，
∵BO＝6，PO＝2，
∴AP2＝2×8＝16，
∴AP＝4，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAQ+∠CAQ＝60°，
∴∠BAQ+∠ABP＝60°，
∵∠BOQ＝∠BAQ+ABP，
∴∠BOQ＝60°，
方法一：过点B作BE⊥OQ于点E，
∴∠OBE＝30°，
∵OB＝6，
∴OE＝3，BE＝3，
设OA＝x，
∵，
∴AB＝2x，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
∴，
解得：x＝1+（x＝1﹣舍去），
∴AO＝1+．
方法二：
过点A作OP的垂线与OP交于点G，
设OG＝x，则OA＝2x，
∵AG2＝（2x）2﹣x2＝3x2，AG2＝42﹣（x﹣2）2，
∴3x2＝42﹣（x﹣2）2，
解得x＝（负值舍去），
∴OA＝1+．
方法三：
设AP＝x，则△APO∽△AQC，
∴，
∴，
∴x＝4，
∴AP＝4，
过点P作PH⊥AO于H，
解直角三角形求出AH和OH即可．
故答案为：4，1+．
三.解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）已知p＝，且m≠﹣1）．
方方说：“p一定大于q”．以下是方方的解答过程．
解：p﹣q＝＝k（m+1）﹣km＝k
因为k＞0，所以p﹣q＞0，即p一定大于q．
你觉得方方说法正确吗？为什么？
【解答】解：方方说法不正确，理由：
∵p﹣q＝
＝
＝，
而方方在解答过程中将分母去掉了，
∴方方说法不正确．
正确的解法为：
∵p﹣q＝
＝
＝，
∵k＞0，当m＞0时，m（m+1）＞0，
∴p﹣q＞0，
∴p大于q；
∵k＞0，当m＜﹣1时，m（m+1）＞0，
∴p﹣q＞0，
∴p大于q；
∵k＞0，当﹣1＜m＜0时，m（m+1）＜0，
∴p﹣q＜0，
∴p小于q．
综上，p不一定大于q．
18．（8分）为了解地铁14号线与7号线的日客运强度，获得了它们2022年1月份工作日（共21天）日客运强度（单位：万人/公里）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．地铁14号线2022年1月份工作日日客运强度的数据的频数分布直方图如下（数据分成6组：0.50≤x＜0.70，0.70≤x＜0.90，0.90≤x＜1.10，1.10≤x＜1.30，1.30≤x＜1.50，1.50≤x≤1.70）；
b．地铁14号线2022年1月份工作日日客运强度的数据在1.30≤x＜1.50这一组是：
1.37 1.37 1.37 1.38 1.41 1.47 1.48 1.48 1.49
c．地铁14号线与7号线2022年1月份工作日日客运强度的平均数、中位数如下：
平均数
中位数
地铁14号线
1.37
m
地铁7号线
1.08
1.1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）日客运强度反映了地铁的拥挤程度，小明每天上班均需乘坐地铁，可以选择乘坐地铁14号线或乘坐地铁7号线．请帮助小明选择一种乘坐地铁的方式，并说明理由；
（3）2022年一共有249个工作日，请估计2022年全年的工作日中，地铁14号线日客运强度不低于1.3万人/公里的天数（直接写出结果）．
【解答】解：（1）地铁14号线2022年1月份工作日日客运强度的数据从小到大排列，排在最中间的数是1.38，故m＝1.38；
（2）从中位数、平均数上看，地铁7号线的中位数较小，平均数也较小，说明地铁7号线的拥挤程度较小，
因此，小明乘坐地铁7号线比较合适；
（3）估计2022年全年的工作日中，地铁14号线日客运强度不低于1.3万人/公里的天数为：249×＝166（天）．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的边长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DAF＝∠EBF，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝BF，
在△AFD和△BFE中，
，
∴△AFD≌△BFE（ASA），
∴AD＝EB，
∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
又∵DB＝DA，
∴平行四边形AEBD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
由（1）可知，四边形AEBD是菱形，
∴AD＝AE＝BE＝BD，AB⊥DE，
∴BE＝BC，CD⊥DE，
∴∠CDE＝90°，
∴tan∠DCB＝＝3，
∴DE＝3DC＝3，
∴CE＝＝＝10，
∴BE＝BC＝CE＝5，
∴菱形AEBD的边长为5．
20．（10分）在直角坐标系中，设函数y1＝k1x+2+k1，函数y2＝（k1，k2是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（﹣1，m），点B（2，n），
①求函数y1，y2的表达式；
②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．
（2）若点C（1，p）在函数y1的图象上，点C先关于x轴对称得点C′，再向左平移2个单位得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求p的值．
【解答】解：（1）①函数y1＝k1x+2+k1的图象过点A（﹣1，m），
∴m＝2
∴点A（﹣1，2），
∵函数y2＝的图象过点A（﹣1，2），
∴k2＝﹣1×2＝﹣2，
∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，
当x＝2时，y＝﹣1，
∴点B（2，﹣1），
把点B（2，﹣1）代入函数y1＝k1x+2+k1得，
2k1+2+k1＝﹣1，
∴k1＝﹣1，
∴一次函数的关系式为y1＝﹣x+1；
②∵一次函数的关系式为y1＝﹣x+1，反比例函数的关系式为y2＝﹣相交于点A（﹣1，2），点B（2，﹣1），
∴当y1＜y2时，x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞2；
（2）∵C（1，p），
∴点C关于x轴对称得点C′（1，﹣p），再向左平移2个单位得点D（﹣1，﹣p），
∵点D恰好落在函数y1的图象上，
∴﹣p＝﹣k1+2+k1，
∴p＝﹣2．
21．（10分）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝AD，AC交BD于点E，已知∠COD＝135°．
（1）求∠AEB的度数，
（2）若CO＝1，求OE的长．
【解答】解：（1）∵BD是⊙O的直径，点A在⊙O上，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠COD＝135°，
∴∠BOC＝180°﹣135°＝45°，
∴∠BAC＝∠BOC＝22.5°，
∴∠AEB＝180°﹣45°﹣22.5°
＝112.5°；
（2）在Rt△ABD中，AB＝AD，BD＝2OC＝2，
∴AB＝×BD＝，
∵∠ABC＝∠BOC＝45°，
∴AB∥OC，
∴△COE∽△ABE，
∴＝，
即＝，而OE+BE＝OB＝1，
∴OE＝﹣1．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）过点（2，1）；
（1）求b（用含a的式子表示）；
（2）抛物线过点M（﹣2，m），N（1，n），P（3，p），
①试证明：（m﹣1）（n﹣1）＜0；
②若M，N，P恰有两个点在x轴上方，求a的取值范围．
【解答】解：（1）将（2，1）代入抛物线表达式得1＝4a+2b+1，
解得b＝﹣2a；
（2）由（1）得，抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax+1，
则抛物线的对称轴为直线x＝1，
将点M、N、P的坐标代入抛物线表达式得：
m＝4a+4a+1＝8a+1，n＝﹣a+1，p＝3a+1，
①（m﹣1）（n﹣1）
＝8a×（﹣a）
＝﹣8a2＜0，
②当a＞0时，
由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，
即3a+1＞0且﹣a+1≤0，
解得：a≥1；
当a＜0时，
同理可得：点N、P在x轴上方，
即3a+1＞0且8a+1≤0，
解得：﹣＜a≤﹣；
综上，﹣＜a≤﹣或a≥1．
23．（12分）如图，BD是矩形ABCD的对角线，，点E，F分别在边AB，DC上，把△ADE和△CBF分别沿直线DE，BF折叠，使点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连接FG．
（1）若AB＝3，BC＝2，求线段FH的长．
（2）若，求tan∠HFG．
（3）若FG⊥CD，求的值．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠C＝90°，CD＝AB＝3，
∴，
由折叠得：BH＝BC＝2，∠BHF＝∠C＝90°，
∴，
∴∠DHF＝90°，
设CF＝x，在Rt△HFD中，HF2+HD2＝FD2，
∴，
∴，
∴FH＝．
（2）∵，
∴设BC＝3a，AB＝4a，则BD＝5a，DH＝2a，DG＝AD＝BC＝3a，BG＝BD﹣DG＝2a，
∴GH＝BH﹣BG＝a，
设HF＝b，在Rt△HFD中，HF2+HD2＝FD2，
∴b2+（2a）2＝（4a﹣b）2，
∴b＝a，
在Rt△HFD中，．
（3）如图，
∵矩形ABCD，
∴BC⊥CD，
当FG⊥CD，
∴FG∥BC，
∴∠1＝∠3，
又由折叠得：∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴FG＝BG，
设BG＝e，FG＝e，GH＝h，则BH＝e+h，
∴BC＝e+h，
由（2）得HD＝BG＝e，
∴BD＝2e+h，
∵FG∥BC，
∴DGF∽△DBC，
∴，
∴，
解得：e＝h，
∴＝．
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