2022-2023学年福建省三明市四地四校联考高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省三明市四地四校联考高一（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格工人师傅运用的数学原理是(    )

A. 两条相交直线确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面
C. 四点确定一个平面 D. 直线及直线外一点确定一个平面

2.  已知向量，若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知复数，则复数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图：用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为的正方形，则原来图形的形状是(    )

 

A.  B.
C.  D.

5.  在中，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  圆台的上、下底面半径分别是，，圆台的高为，则该圆台的侧面积是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在矩形中，是的中点，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知，是两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的命题是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则

二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  以下四种说法正确的是(    )

A.
B. 复数的虚部为
C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限
D. 复平面内，虚轴上的点对应的复数是纯虚数

10.  已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是(    )

A. 与共线
B. 单位向量
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 若，则

11.  已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有(    )

A. 当，，时，满足条件的三角形共有个
B. 若：：：：，则这个三角形的最大角是
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，，则为等腰直角三角形

12.  如图，在棱长为的正方体中，为棱上的动点点不与点，重合，过点作平面分别与棱，交于，两点，若，则下列说法正确的是(    )

A. 平面
B. 存在点，使得平面
C. 存在点，使得点到平面的距离为
D. 用过，，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
 

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  已知向量，，则 ______ ．

14.  在正方体中，直线与所成的角是______ ．

15.  用与球心距离为的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为______ ．

16.  圆锥的母线，高为，点是的中点，一质点自点出发，沿侧面绕行一周到达点的最短路程为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数，，是虚数单位．
若复数为虚数，求的值；
若复数为纯虚数，求的值；
若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．

18.  本小题分
已知向量，．
若，求的坐标；
求与夹角的余弦值；
若与垂直，求的值．

19.  本小题分
已知的三个内角，，所对的边分别是，，，且．
求的周长；
求边上的高．

20.  本小题分
如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，，分别为，的中点．
证明：平面；
求三棱锥的体积．

21.  本小题分
中，，，分别是角，，所对的边，
求的大小；
若，，求的值．

22.  本小题分
如图：在中，，，，，将沿折起到的位置如图，且．
请作出平面与平面的交线不需要说明理由
证明；平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，
所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”．
故选：．
根据平面的基本性质判断即可．
本题考查平面的基本性质及推论的合理运用，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的共线的坐标表示，属基础题．
由可得，即可得到答案．

【解答】

解：，，，
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在轴上，且其长度变为原来的倍，长度为，观察四个选项，选项符合题意．
故应选A．
由斜二测画法的规则知在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，长度保持不变，已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度为原来一半．由于轴上的线段长度为，故在平面图中，其长度为，且其在平面图中的轴上，由此可以选出正确选项．
建立直角坐标系：在已知平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点画出斜坐标系：在画直观图的纸上平面上画出对应的轴和轴，两轴相交于点，且使度或度，它们确定的平面表示水平平面．画对应图形：在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，长度保持不变；轴也保持不变．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度为原来一半．对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段．擦去辅助线：图画好后，要擦去轴，轴及为画图添加的辅助线．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
故选B．
直接用三角形面积公式求得答案．
本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为圆台中，，且高，
母线长是，
圆台的侧面积．
故选：．
先求出母线长，再由圆台的侧面积，能求出结果．
本题考查圆台的结构特征、母线长、侧面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，，
．
故选：．
由向量的平行四边形法则以及三角形法则得出，进而得出．
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：若，，则不一定和垂直，故A错误，
若，，当时，显然错误，故B错误，
若，，，则或与相交，故C错误，
若，，，由垂直与平行的性质可知，故D正确，
故选：．
根据直线，平面之间的位置关系分别判断即可．
本题考查了直线，平面之间的位置关系，考查转化思想，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，，故A正确；
对于，复数的虚部为，故B正确；
对于，，
则复平面内对应的点位于虚轴，故C错误；
对于，复平面内，原点位于虚轴上，在复平面对应的值为实数，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，虚部、纯虚数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，虚部、纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，，与不共线，A错误；
对于，是与同向的单位向量，设，则有，解可得，则，B正确；
对于，向量在向量上的投影向量，C错误；
对于，若，则，则，D正确．
故选：．
根据题意，由向量数量积的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量共线的判断，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于：，，，
在中，由正弦定理得，此时无解，故A错误；
对于：：：：：，由正弦定理得：：：：，设，，，其中，
为最大角，由余弦定理得，
又，则，故B正确；
对于：，，即为锐角，无法判断其他角也是锐角，故C错误；
对于：，，由余弦定理得，则，
联立得，即，
，
又，则，
为等腰直角三角形，故D正确．
故选：．
根据正弦定理、余弦定理，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，，．
易得，，，．
对于，可得正方体中面，即可得平面，故A正确．
对于，可得面面，故AC不可能平行面故错．
对于，平面，且，所以存在点，使得点到平面的距离为，故正确．
对于，用过，，三点的平面去截正方体，得到的截面是四边形，，四边形一定是梯形，故正确．
故选：．
连接，，易得，，，再结合正方体的性质即可判断．
本题考查了空间线线、线面位置关系，考查了空间想象能力，属于中档题
 

13.【答案】 

【解析】解：由向量，，
可得．
故答案为：．
由平面向量的数量积的坐标表示可得所求值．
本题考查向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，，
由正方体的结构特征可得，，
直线与所成的角为，
又，
为等边三角形，
．
即直线与所成的角是．
故答案为：．
连接，，由可知直线与所成的角为，再结合为等边三角形即可求出的大小．
本题主要考查了求异面直线所成的角，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：用一平面去截球所得截面的面积为，所以小圆的半径为，
已知球心到该截面的距离为，所以球的半径为，
所以球的表面积为：．
故答案为：．
求出小圆的半径，利用球心到该截面的距离为，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的体积．
本题考查球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系，考查计算能力，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意，将圆锥的侧面展开，连接，故A的长就是质点绕行的最短路程，
圆锥的母线，高为，则底面半径，则弧长，
在中，，，，
故A，
则．
故答案为：．
根据题意，将将圆锥的侧面展开，连接，易得的长就是质点绕行的最短路程，由弧长公式求出的值，利用余弦定理计算可得答案．
本题考查圆锥的最短路径问题，涉及圆锥的侧面展开图，属于基础题．
 

17.【答案】解：复数，，
复数为虚数，
则，解得或；
复数为纯虚数，
则，解得；
复数在复平面内对应的点在第四象限，
则，解得，
故的取值范围为． 

【解析】根据已知条件，结合虚数的定义，即可求解；
根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解；
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

18.【答案】解：，，
则；
，，
则，，，
故；
，
与垂直，
则，解得． 

【解析】根据已知条件，结合向量的坐标运算，即可求解；
根据已知条件，结合向量的夹角公式，即可求解；
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，属于基础题．
 

19.【答案】解：在中，，
由余弦定理得，
解得，
的周长为．
，．
设边上的高为，则，
即，解得．
所以边上的高为． 

【解析】运用余弦定理求得的值即可．
运用同角三角函数平方关系求得的值，再运用等面积法求得边上的高即可．
本题考查解三角形问题，余弦定理与三角形面积公式的应用，属中档题．
 

20.【答案】证明：、分别为、的中点，，
平面，平面，
平面；
解：四边形为正方形，，
又，、平面，，
平面，
，
． 

【解析】由、分别为、的中点，可得，再由直线与平面平行的判定可得平面；
证明平面，求出三角形的面积，由等体积法求三棱锥的体积．
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
 

21.【答案】解：由正弦定理，又由已知，
可得：，分
由余弦定理得：，
代入得，可得：，分
又，分
所以有，分
由得，又，
分
由正弦定理得，即，分
分 

【解析】由正弦定理化简已知可得，进而利用余弦定理得，结合范围，可求的值．
利用三角形内角和定理可求，由正弦定理即可计算得解的值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

22.【答案】解：因为，平面，平面，
所以平面，且平面，平面平面，
所以，
则过点作直线，使；
证明：因为，，且，
所以，且，且平面，平面，
所以平面，且平面，
所以平面平面；
由可知平面平面，
且平面平面，
所以直线在平面内的射影就是，则直线与平面所成角为或其补角，
因为是等腰直角三角形，且，
所以也是等腰直角三角形，，，，
根据余弦定理，，
则，
所以，，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】根据线面平行的性质定理，即可作出交线；
根据面面垂直的判断定理，转化为证明平面；
根据的结论，找到线面角，即可求解．
本题考查线面平行的判定定理与性质定理，面面垂直判定定理，线面角的求解，化归转化思想，属中档题．