2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（下）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  设数列的前项和，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 2.  中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为(    )A. 里 B. 里 C. 里 D. 里3.  设，若在处的导数，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 4.  函数的图像大致是(    )A.  B.
C.  D. 5.  的展开式中，常数项为(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知圆的半径为，，过点的条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，则其公差为(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”现提供种颜色给“弦图”的个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有(    )
 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种8.  某国家级示范高职院校为做好春季高考招生工作，决定邀请省内部分高中优秀高三学生到校进行职业生涯体验．若育才高中将获得的个体验名额随机分配给高三年级个班级，则每个班均获得体验名额的概率为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  数列的前项和为，，则有(    )A. 为等比数列
B.
C.
D. 的前项和为10.  已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是(    )
A. 在区间上，函数是增函数 B. 在区间上，函数是减函数
C. 为函数的极小值点 D. 为函数的极大值点11.  某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如表： 乘坐站数票价元现有甲、乙两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是(    )A. 若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种
B. 若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种
C. 若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种
D. 若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种12.  若，则(    )A.  B.
C.  D. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知数列的通项公式为，数列的前项和为，则 ______ ．14.  在的展开式中，的系数为          ．15.  函数的导函数是，则 ______ ．16.  某校选定甲、乙、丙、丁、戊共名教师去个边远学校支教，每学校至少人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有______ 种．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
公比不为的正项等比数列中，，且，，成等差数列．
求的通项公式；
若，令，求的前项和．18.  本小题分
已知曲线在点处的切线方程是．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ如果曲线的某一切线与直线垂直，求切点坐标与切线的方程．19.  本小题分
已知函数的一个极值点是．
求函数的极值；
求函数在区间上的最值．20.  本小题分
已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为：．
求的值；
求展开式中含的项的系数；
用二项式定理证明：能被整除．21.  本小题分
班级迎接元旦晚会有个唱歌节目、个相声节目和个魔术节目，要求排出一个节目单．
个相声节目要排在一起，有多少种排法？
相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
现在临时增加个魔术节目，要求重新编排节目单，要求个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，有多少种排法？22.  本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：数列的前项和，则．
故选：．
利用数列的前项和，直接求解的值即可．
本题考查数列的函数的特征，基本知识的考查．
 2.【答案】 【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前项和，是基础题．
由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．【解答】解：记每天走的路程里数为，
可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，
，
故选：．  3.【答案】 【解析】解：，
，解得．
故选：．
根据基本初等函数和复合函数的求导公式可求出导函数，然后根据即可求出的值．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：由得得或，排除，，
当，，排除，
故选：．
由得方程两个根，利用极限思想进行排除即可．
本题主要考查函数图像的识别和判断，利用极限思想进行判断是解决本题的关键，是基础题．
 5.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
把按照二项式定理展开，可得的展开式中的常数项．【解答】解：的二项展开式的通项公式为，
当，时，可得的展开式中，
常数项为．
故选：．  6.【答案】 【解析】【分析】本题考查与圆及等差数列有关的知识，考查运算求解能力，是中档题．
由条件可得最短弦长为，最长弦长为，由此能求出其公差．【解答】解：圆的半径为，，
过点的条弦的长度组成一个等差数列，
最短弦长为，
最长弦长为过点的直径：，
则公差．
故选：．  7.【答案】 【解析】【分析】
本题考查分步计数原理的应用，注意分析图形的结构特点．
根据题意，假设个区域依次为、、、、，分步分析依次分析、、、区域的涂色方法数，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，如图，假设个区域依次为、、、、，分步分析：
，对于区域，有种涂法，
，对于区域，与相邻，有种涂法，
，对于区域，与、相邻，有种涂法，
，对于区域，若其与区域同色，则有种涂法，
若区域与区域不同色，则有种涂法，
则、区域有种涂色方法，
则不同的涂色方案共有种；
故选：．  8.【答案】 【解析】解：将获得的个体验名额随机分配给高三年级个班级，可分为四种情况，
个名额分配给一个班级共有：种；
个名额分配给两个班级共有：种；
个名额分配给三个班级共有种；
个名额分配给四个班级共有种，
所以总共有种情况，满足题设的有种情况，
根据古典概型的计算公式可得每个班均获得体验名额的概率为，
故选：．
先将获得的个体验名额随机分配给高三年级个班级分成种情况，再由古典概型的公式进行求解即可．
本题考查了古典概型及其概率的计算，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】【分析】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
A.利用等比数列的定义即可判断出正误．
B.时，，验证时是否成立，即可判断出正误．
C.结合可得，即可判断出正误．
D.，利用错位相减法即可判断出正误．【解答】解：，，
为等比数列，因此A正确．
B.时，，时不成立，因此不正确．
C.结合可得，，因此C正确．
D.，
的前项和，
，
，
，因此D正确．
故选：．  10.【答案】 【解析】解：对选项A，，，为减函数，故A错误；
对选项B，，，是减函数，故B正确；
对选项C，，，是增函数，
，，是减函数，
所以为函数的极大值点，故C错误；
对选项D，，，是增函数，
，，是减函数，
所以为函数的极大值点，故D正确．
故选：．
根据导函数的图象的正负性得到原函数的增减性，再依次判断选项即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了数形结合思想，属中档题．
 11.【答案】 【解析】解：若小花、小李两人共花费元，则两人中人花费元，人花费元，
小花、小李下地铁的方案共有种，故A错误，B正确；
若甲、乙两人共付费元，则共有三类方案，甲付元，乙付元；甲付元，乙付元；甲付元，乙付元，
由题意可知，每类情况中有种方案，所以甲、乙两人共付费元时共有种下地铁的方案，故C错误，D正确．
故选：．
利用分步乘法原理计算小花、小李两人共花费元的下地铁的方案数，由此判断，，再由分步乘法计数原理和分类加法计数原理确定两人共花费元的方案数，由此判断，．
本题考查分类加法、分步乘法计数原理的运用，是基础题．
 12.【答案】 【解析】解：选项：时，，对；
选项：时，，
时，，
，，对．
选项：，
求导得，，
时，，
，错；
选项：，

，
比较两边的系数
，对．
故选：．
选项和选项直接通过赋值法进行解决，选项两边同时求导，再令即可解决，选项考虑到，比较两边的系数即可得出．
本题关键在于选项和选项的判断，选项需要两边先同时求导，再进行赋值，选项需要先利用平方差公式进行变形，再考虑两边项的系数，即可解决．
 13.【答案】 【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
将数列通项公式拆分，根据规律递推前项和．
本题主要考查分数型数列的拆分递推求和，属中档题．
 14.【答案】 【解析】【分析】本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
写出二项展开式的通项，由的幂为求得值，则答案可求．【解答】解：的二项展开式的通项为
．
由，得．
的系数为．
故答案为：．  15.【答案】 【解析】解：因为，
所以，
故．
故答案为．
可根据基本初等函数和复合函数的求导公式求出导函数，然后即可求出的值．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了分类加法和分步乘法计数原理，关键是分类，属于中档题．
甲和乙同校，甲和丙不同校，所以有，，和，，两种分配方案，再根据计数原理计算结果．
【解答】
解：因为甲和乙同校，甲和丙不同校，所以有，，和，，两种分配方案，
，，方案：甲、乙为一组，从余下人选出人组成一组，然后排列，
共有：种；
，，方案：在丁、戊中选出人，与甲乙组成一组，然后排列，
共有：种；
所以，选派方案共有种．
故答案为．  17.【答案】解：设公比不为的正项等比数列中，
由，，成等差数列，可得，
即，即，
解得舍去，
由，可得，解得舍去，
所以，；
由，可得，
则的前项和，
，
两式相减可得
，
化简可得． 【解析】运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，进而得到所求；
求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及等差数列的中项性质和数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 18.【答案】解：Ⅰ的导数，
由题意可得，，
解得，；
Ⅱ切线与直线垂直，
切线的斜率，
设切点的坐标为，
则，
，
由，
可得，
或，
则切线方程为，
或．
即或． 【解析】本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为，属于中档题．
Ⅰ求出函数的导数，由切线方程，可得，，解方程可得，的值；
Ⅱ设切点的坐标为，由两直线垂直的条件：斜率之积为，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标和切线方程．
 19.【答案】解：已知函数的一个极值点是，
，
，，，
即，
又， 单调递减单调递增单调递减当时，有极小值，极小值为，
当时，有极大值，极大值为；
由知，在上单调递减，上单调递增，上单调递减，
又，，
在上的最大值为，
在上的最小值为． 【解析】根据有一个极值点求出，再利用导数确定单调区间，即可求出极值；
由根据函数的单调性求出最值．
本题考查了导数的极值和最值计算，属于中档题．
 20.【答案】解：，；
设的展开式的通项为，则，
令得，，
含的项的系数为；
证明：由二项式定理可知，各项都能被整除，
能被整除． 【解析】本题根据二项式定理的性质即可求得．
本题考查二项式定理的性质，属于基础题．
 21.【答案】解：将个相声节目捆绑在一起，与其余个节目全排共有种不同排法．
若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法，
若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，共有种不同排法．
若个相声节目相邻，则有种不同排法，若个魔术节目相邻，也有种不同排法，
若个相声节目相邻，并且个魔术节目也相邻，则有种不同排法，
则个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，共有种不同排法． 【解析】利用捆绑法即可求解；
用个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，即可求解；
由个节目的全排列减去个相声节目相邻的排列数和个魔术节目相邻的排列数，再加上个相声节目相邻并且个魔术节目也相邻的排列数，即可求解．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
 22.【答案】解：，．
．
令，．
则．
当时，，在上单调递增，且．
当时，，即．
在上单调递增；
，时，，
不等式可化为．
即，可知．
由知，在上单调递增，故只需在上恒成立．
两边同时取自然对数，得，即．
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
，只需．
故的取值范围是． 【解析】由已知可得令，利用导数证明当时，，即，可得在上单调递增；
由题意把不等式转化为即，可知结合知，在上单调递增，故只需在上恒成立．也就是令，利用导数求其最小值，可得的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，考查化归与转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，训练了利用导数求最值，属难题．