2023年湖南省普通高中高考数学考前模拟试卷

这是一份2023年湖南省普通高中高考数学考前模拟试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省普通高中高考数学考前模拟试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  复数满足，则的实部是(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知是偶函数，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  若双曲线的其中一条渐近线的斜率为，且点在上，则的标准方程为(    )A.  B.  C.  D. 5.  有甲、乙两个物体同时从地沿着一条固定路线运动，甲物体的运动路程千米与时间时的关系为，乙物体运动的路程千米与时间时的关系为，当甲、乙再次相遇时，所用的时间时属于区间(    )A.  ， B.  ， C.  ， D.  ，6.  的内角，，的对边分别为，，，已知，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知定义在上的函数满足对任意的实数，，都有，则(    )A.  B.  C.  D. 8.  欧拉是世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字，例如初等几何中的欧拉线、多面体中的欧拉定理、微分方程中的欧拉方程，以及数论中的欧拉函数等等个数叫互质数的正整数包括的个数，记作例如：小于或等于的正整数中与互质的正整数有，这两个，即记为数列的前项和，则(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知直线：，：，圆：，下列说法正确的是(    )A. 若经过圆心，则
B. 直线与圆相离
C. 若，且它们之间的距离为，则
D. 若，与圆相交于，，则10.  某统计机构对名拥有汽车的人进行了调查，对得到的数据进行整理并制作了如图所示的统计图表，下列关于样本的说法错误的是(    )

 A. 岁以上人群拥有汽车的人数为
B. 岁之间的人群拥有汽车的人数最多
C. 岁以上人群每年购买车险的总费用最少
D. 岁之间的人群每年购买车险的总费用，比岁和岁以上人群购买车险的总费用之和还要多11.  故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶如图，某几何体有五个面，其形状与四阿顶相类似已知底面为矩形，，，且，、分别为、的中点，与底面所成的角为，过点作，垂足为下列说法正确的有(    )

 A. 平面
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到平面的距离为12.  已知点在抛物线：上，过作圆的两条切线，分别交于，两点，且直线的斜率为，若为的焦点，为上的动点，是的准线与坐标轴的交点，则(    )A.  B.
C. 的最大值是 D. 的最大值是三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知单位向量，满足，则向量与的夹角为______ ．14.  过点作曲线的切线，则切点的横坐标为______ ，这条切线在轴上的截距为______ ．15.  在直三棱柱中，已知，，，则该三棱柱外接球的表面积为______ ．16.  现安排，，，，这名同学参加校园文化艺术节，校园文化艺术节包含书法、唱歌、绘画、剪纸四个项目，每个项目至少有一人参加，每人只能参加一个项目，不会剪纸但能胜任其他三个项目，剩下的人都能胜任这四个项目，则不同的安排方案有______ 种四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
记等差数列的前项和为，已知，．
求的通项公式；
设，数列的前项和为，若，求的值．18.  本小题分
已知函数．
求的最小正周期和单调递增区间；
当时，求的最大值，并求当取得最大值时的值．19.  本小题分
为了让学生了解毒品的危害，加强禁毒教育，某校组织了全体学生参加禁毒知识竞赛，现随机抽取名学生的成绩满分分进行分析，把他们的成绩分成以下组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图．
求图中的值并估计全校学生的平均成绩同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
在的条件下，若此次知识竞赛得分，为了激发学生学习禁毒知识的兴趣，对参赛学生制定如下奖励方案：得分不超过分的不予奖励，得分超过分但不超过分的可获得学校食堂消费券元，得分超过分但不超过分的可获得学校食堂消费券元，超过分可获得学校食堂消费券元试估计全校名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券多少元结果四舍五入保留整数
参考数据：，，．
20.  本小题分
在图中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，为边的中点，在边上，且，沿将进行折叠，使点运动到点的位置，如图，连接，，，使得．
证明：平面．
求二面角的余弦值．
21.  本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，的周长为且点在上．
求椭圆的方程；
设直线与圆：交于，两点，当时，求面积的取值范围．22.  本小题分
已知函数．
若，求的最小值；
若有两个极值点，，证明：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由不等式，可得，
所以集合，
又由，
根据集合交集的运算，可得．
故选：．
根据对数函数的性质和不等式的解答，求得，，结合集合交集的概念与运算，即可求解．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：由可得，
所以的实部是．
故选：．
利用复数的四则运算可得，即可知的实部是．
本题主要考查复数的四则运算，以及实部的定义，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：方法一：因为，
所以，
由，得，
解得；
方法二：，
因为是偶函数，
所以图像关于直线对称，
所以，解得，
故选：．
方法一：由偶函数的性质，即可求得的值；
方法二：由偶函数图像关于轴对称，求出二次函数对称轴，列出方程求解即可．
本题主要考查了函数奇偶性的应用，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：由题意得双曲线的渐近线方程为，则，
又点在上，则，
联立解得，，
双曲线的标准方程为．
故选：．
由题意得双曲线的渐近线方程为，则，结合题意可得，联立求解即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：由题意可知，问题等价于的图象与的图象在上的交点在哪个区间，
令，
因为，，，
所以，
由零点存在定理可知在内存在零点，
即当甲、乙再次相遇时，所用的时间时属于区间．
故选：．
问题等价于的图象与的图象在上的交点在哪个区间，令，再结合零点存在定理判断即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了函数的零点存在定理，属于中档题．
 6.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
又，
，
即，
．
故选：．
对已知等式边化角可得，所以，从而求出的值．
本题主要考查了正弦定理的应用，考查了两角和的正弦公式，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：因为，
所以，即，
所以．
故选：．
令求得即可得解．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：由题意，若正整数，且与不互质，
则这个数为偶数或的倍数，共有个，所以，
即数列是首项为，公比为的等比数列，所以．
故选：．
根据题意，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解．
本题主要考查数列的求和，考查运算求解能力，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：对于，因为圆心在直线上，所以，解得，A正确；
对于，因为直线：恒过点，且，
即点在圆内，所以与圆相交，B错误；
对于，因为，则，
故与之间的距离，所以，C正确；
对于，时，直线：，即，
因为圆心到直线的距离，
所以，D错误，
故选：．
将圆心代入直线的方程，求得，判断；求得直线过圆内一定点，判断；利用平行线间的距离公式可判断；根据圆的几何性质可求得，判断．
本题考查直线与圆的位置关系，化归转化思想，方程思想，属中档题．
 10.【答案】 【解析】解：对于，由，知岁以上人群拥有汽车的人数为，故A错误；
对于，图表当中并没有岁的人口基数，所以由图得不出岁之间的人群拥有汽车的人数最多，故B错误；
对于，岁以上人群每年购买车险的总费用约为元，
岁之间的人群每年购买车险的总费用约为元，故C错误；
对于，岁之间的人群每年购买车险的总费用约为元，，故D正确．
故选：．
经计算可得岁以上人群拥有汽车的人数为；表中数据并没有各年段的总人口数据，所以得不出岁之间的人群拥有汽车的人数最多得结论；计算可得岁之间的人群每年购买车险的总费用更少；且岁之间的人群每年购买车险的总费用约为，比岁和岁以上人群购买车险的总费用之和还要多；即均错误．
本题考查扇形统计图与条形图的应用，属基础题．
 11.【答案】 【解析】解：对于选项，四边形为矩形，，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，，
且，、分别为、的中点，
且，故四边形为平行四边形，
且，
，
，，
，是的中点，．
，、平面，平面，故A正确；
对于选项，平面，平面，
平面平面，
，平面平面，平面，
平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

平面，则与平面所成的角为，
，为的中点，，
又，，
，
又，且，四边形为等腰梯形，
设，
则，则，
则点、，
，即，
解得，
，故选项B错；
对于选项，由选项可知，
在中，、、、，
，，
，
异面直线与所成角的余弦值为，故选项C对；
对于选项，易知、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，解得，
，
又，
点到平面的距离为，故选项D错．
故选：．
利用线面垂直的判定定理可判断选项；证明出平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，利用空间中两点间的距离公式求出的值，可求出的长，可判断选项；利用空间向量法可判断选项．
本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定，考查了利用空间向量求异面直线的夹角和直线与平面的夹角，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：由题意可知，点与圆心同在上，
所以过所作圆的两条切线关于直线对称，所以．
设，，，
则，
同理可得，，
则，得，
所以，
由，得．
将代入抛物线的方程，得，解得，
故抛物线的方程为，所以A错误，B正确．
设，作垂直准线于，如下图所示：

由抛物线的性质可得，
所以，当最小时，的值最大，
所以当直线与抛物线相切时，最大，即最小．
由题意可得，设切线的方程为，
联立方程组，消去，得，
由，可得，
将代入，可得，所以，即的坐标为，
所以，，
所以的最大值为，即C正确，D错误．
故选：．
根据题意可知，过所作圆的两条切线关于直线对称，即，结合，，都在抛物线上可得，所以A错误，B正确；根据抛物线定义可知，设，则，当直线与抛物线相切时，的最大值是，即C正确，D错误．
本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
 13.【答案】 【解析】解：由，可知，
解得．
设向量与向量的夹角为，且，
则，
又，
所以．
故答案为：．
根据可得，再利用向量数量积定义可求得其夹角为．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．
 14.【答案】  【解析】解：设切点坐标为，
因为，所以，
即，解得，
所以切线方程为，
可知该切线在轴上的截距为．
故答案为：，．
设出切点坐标为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，再由两点间斜率公式可得，解得，即可求得切线方程，进而得出结果．
本题考查利用导数求函数的切线问题，属中档题．
 15.【答案】 【解析】解：如下图所示：

由直三棱柱可知，平面，
又，所以，，两两垂直，
设直三棱柱外接球的半径为，
通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以，，为边长的长方体外接球相同；
即可得，解得，
所以所求外接球的表面积．
故答案为：．
根据直三棱柱的特征及其棱长可知，构造长方体即可求得外接球半径，即可求的结果．
本题考查三棱锥的外接球问题，化归转化思想，属中档题．
 16.【答案】 【解析】解：若与其他一人参加同一个项目，则有种；
若独自一人参加一个项目，则有种，
由分类计数原理，可得共有种不同的安排方案．
故答案为：．
根据题意，可分为与其他一人参加同一个项目和独自一人参加一个项目，两种情况讨论，结合排列、组合和分类计数原理，即可求解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 17.【答案】解：设的公差为，因为，
所以，解得，
又，所以，
所以．
因为，
所以
，
由，解得，
所以． 【解析】根据下标和定理及得出，结合即可求出，进而写出通项公式；
首先写出的表达式，由裂项相消法得出，由解出即可．
本题主要考查等差数列的前项和，裂项求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 18.【答案】解：
，
则的最小正周期，
由，，
得，，即的单调递增区间为，．
当时，，，
当，即时，取得最大值，最大值为． 【解析】利用辅助角公式进行化简，利用周期公式和单调性进行求解即可．
求出角的范围，利用函数的最值与角的关系进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的周期性，单调性和最值性质进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 19.【答案】解：由题意可知，，
解得，
；
设参加知识竞赛的每位学生获得的学校食堂消费券为元，
，
，
，
，
的分布列如下表： 即一名学生获得的学校食堂消费券的期望值为，
所以全校学生可获得元，
故估计全校名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券元． 【解析】由频率分布直方图所有小矩形面积之和为，即可求得，根据平均数公式计算即可得；
利用参考数据由正态分布的对称性分别求出获得学校食堂消费券为，，，元时的概率，即可得出一名学生的期望值为，便可计算出全校名学生共可获得食堂消费券为元．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 20.【答案】解：证明：连接，

因为为等腰直角三角形，，，
所以，
因为为边的中点，
所以，
在等边三角形中，，
因为为边的中点，
所以，则，
又，
所以，即，
因为，平面，平面，
所以平面．
因为是等腰直角三角形，，为边中点，
所以，
由得平面，则以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
易知平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，
则，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为． 【解析】由等边三角形三线合一，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可证明；
建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量法计算即可．
本题考查线面垂直的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
 21.【答案】解：因为的周长为，
所以，解得，
将点的坐标代入椭圆方程，
得，解得，
所以椭圆的方程为；

由知圆的方程为，设直线的方程为，
则圆心到直线的距离，
由，可得，
设，，联立方程组，
消去得，
则，，
所以，
设，则，
设，
易知在上单调递增，则在上单调递增，
因为，
所以．
 【解析】由的周长结合椭圆的定义得出，再将代入椭圆方程，即可求出，进而得出椭圆的方程；
设直线的方程为，由点到之间距离公式及勾股定理得出，设，，由直线方程与椭圆方程联立，得出和代入，设，，由的单调性得出值域，即可求出的范围．
本题考查直线与椭圆的综合问题，属于中档题．
 22.【答案】解：当时，，
则，
易知当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值．
证明：，
因为有两个极值点，，
所以，是方程的两个根，即，
所以
，
令，则，
令，可得；令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，
作出函数的图象如图所示，

不妨设，
令，则，
所以，
所以，
所以，
下面证明．
由，可得，
所以，即，
可得，即，
令，，则，
令，则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
所以在上单调递减，
所以，即，
所以，
由知，
所以，即，
所以． 【解析】若时，求得，得出函数的单调性，进而求得其最小值；
根据题意，得到，令，求出的取值范围，得到，证明成立，即可证明成立．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．