2023年广东省汕头市潮南区中考数学模拟试卷(含答案)

2023年广东省汕头市潮南区中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  汕头海湾隧道是中国首条兼顾城市道路和一级公路功能的水下盾构隧道，全长米，总投资亿元，数据亿元用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一只蚂蚁从数轴上点出发爬了个单位到了相反数点所在的位置，则点所表示的是(    )

A. 或 B.  C.  D. 或

3.  如图所示，从上面看该几何体的形状图为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如果线段和线段分别是边上的中线和高，那么下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  式子有意义，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某工程甲单独完成要天，乙单独完成要天若乙先单独干天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用天完成，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知和点两点，则直线与坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于、两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，为斜边的中点，为上一点，为中点．若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离单位：与慢车行驶时间单位：的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请填写一个常数，使得关于的方程          有两个不相等的实数根．

12.  在实数范围内分解因式： ______ ．

13.  如图，已知，，在轴上找一点，使得的值最大，则此时点的坐标为______．

14.  如图，在▱中，对角线，交于点，，于点，若，，则的长为______ ．

15.  如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：

17.  本小题分
解不等式组，并求其最大整数解．

18.  本小题分
如图，已知，．
尺规作图：过点作一条直线交于，使其将分成两个相似三角形保留作图痕迹，不写作法；
若，，求的长．

19.  本小题分
某中学为了预测本校应届毕业女生“一分钟跳绳”项目考试情况，从九年级随机抽取部分女生进行该项目测试，并以测试数据为样本，绘制出如图所示的部分频数分布直方图从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值和扇形统计图．

根据统计图提供的信息解答下列问题：
补全频数分布直方图，并指出这个样本数据的中位数落在第______ 小组；
若测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于次的成绩为优秀，本校九年级女生共有人，请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；
若“一分钟跳绳”次数不低于次的成绩为满分，在这个样本中，小洁、小慧都是满分，从成绩为满分的女生中任选二人做示范，用树状图或列表法求小洁和小慧都被选中概率．

20.  本小题分
为维护我国海洋权力海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理如图，海警船在岛的正西方向，当岛主发现有海盗船时，测得海盗船在岛的西北方向上的处，已知海警测得海盗船在海警船北偏东的位置上，海警船若以海里时的速度航行到海盗船处需要小时．
问此时海盗船离岛的距离是多少海里？
若海盗船以海里时的速度向岛出发，海警船在接到岛主报警后以海里时的速度向岛出发，问海警船能否赶在海盗船之前到达岛进行拦截？

21.  本小题分
在矩形中，，，将矩形折叠，使点落在点处，折痕为．

如图，若点恰好在边上，连接，求的值；
如图，若是的中点，的延长线交于点，求的长．

22.  本小题分
如图，以为直径的外接于，过点的切线与的延长线交于点，的平分线分别交，于点，，其中，的长是一元二次方程的两个实数根．
求证：；
若线段上存在一点，使得四边形是菱形，请求出菱形面积．

23.  本小题分
已知二次函数，其中．
当该函数的图象经过原点，求此时函数图象的顶点的坐标；
求证：二次函数的顶点在第三象限；
如图，在的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图象与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可知，两数互为相反数，且两数对应点的距离为，
两点到原点距离，
这两个数分别为，．
故选：．
由题意可知，两数互为相反数，且两数对应点的距离为，可分析出两点到原点距离为，即可求解．
本题考查了数轴上两点间距离，相反数的意义，解题关键是分析出互为相反数的两数对应点距离为．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，
从上面看到的是矩形，且有看不见的轮廓线，
因此选项C中的图形符合题意；
故选：．
根据能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，进而得出答案．
本题考查从上面看几何体的形状图，理解看不见的轮廓线用虚线表示是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：线段是边上的高，
，
由垂线段最短可知，，
故选：．
根据三角形的高的概念得到，根据垂线段最短判断．
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，掌握垂线段最短是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：有意义，
，
且，
，且，，，
式子有意义，则的值可能是．
故选：．
根据式子有意义，可得，据此求出的取值范围，判断出可能的取值即可．
此题主要考查了二次根式、分式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数；分式有意义的条件是分母不等于零．
 

6.【答案】 

【解析】解：设甲、乙一共用天完成，则剩下的甲单独干天，
由题意可得：．
故选：．
设甲、乙一共用天完成，则剩下的甲单独干天，然后根据题意，列出方程即可．
本题考查一元一次方程的应用，明确题意，准确找出等量关系是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：假设直角坐标系的原点为，则直线与坐标轴围成的三角形是以、为直角边的直角三角形，
和点，
，，
，
，
．
故选：．
根据三角形的面积公式和已知条件列等量关系式求解即可．
本题主要考查了三角形的面积和直角坐标系的相关知识，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有个．
 

8.【答案】 

【解析】解：设点的坐标为，
，且，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
故选：．
设点的坐标为，然后根据三角形面积公式列方程求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，准确识图，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：为斜边的中点，为中点，，
，
，
，
在中，为斜边的中点，
，
故选：．
根据三角形中位线可以求得的长，再根据，可以得到的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得的长．
本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出的长．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据图象可知，慢车的速度为．
对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是，
因此单程所花时间为，故其速度为．
所以对于慢车，与的函数表达式为．
对于快车，与的函数表达式为
联立，可解得交点横坐标为，
联立，可解得交点横坐标为，
因此，两车先后两次相遇的间隔时间是，
故选：．
根据图象得出，慢车的速度为，快车的速度为从而得出快车和慢车对应的与的函数关系式．联立两个函数关系式，求解出图象对应两个交点的坐标，即可得出间隔时间．
本题主要考查根据函数图象求一次函数表达式，以及求两个一次函数的交点坐标．解题的关键是利用图象信息得出快车和慢车的速度，进而写出与的关系．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的不等式，解之即可求出的取值范围．
【解答】
解：，．
，
．
故答案为：答案不唯一．  

12.【答案】 

【解析】解：


故答案为：
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
此题主要考查了实属范围内分解因式，熟练利用平方差公式分解因式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接交轴于点，此时值最大，即点为所求的点．
设直线的解析式为，代入点，，
得，解得：．
故直线解析式为．
令中，则得，故点坐标为．
故答案为：．
连接交轴于点，此时值最大，求出直线的解析式，令，即可找到点坐标．
本题考查了线段差最大值的求法，待定系数法求一次函数解析式，正确找到点位置是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，
在▱中，，，
，
在中，
，
又，
，即，
解得．
故答案为：．
在和中，分别利用勾股定理可求出和的长，又，可利用等面积法求出的长．
本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，等面积思想等，熟知等面积法是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，，
将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，
，
是等边三角形，
，，
当中上，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为．
连接，，根据旋转的性质得到，推出是等边三角形，得到，推出是等边三角形，得到，得到，根据图形的面积公式即可得到答案．
本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】利用负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值和绝对值的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值和绝对值的意义，正确利用上述法则与性质化简运算是解题的关键．
 

17.【答案】解：
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为：，
则不等式组的最大整数解为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，在解集内找到最大整数即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：如图，为所作．

由作图知，，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】过点作于，利用相似三角形的判定方法可得到与相似；
根据垂直的定义得到，根据三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了作图相似变换、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理和相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

19.【答案】三 

【解析】解：总人数是：人，
第四组的人数是：，

中位数位于第三组，
故答案为：三；
该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数是：人；
将成绩满分的人分别记作、、、，列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中小洁和小慧都被选中的有种结果，
所以小洁和小慧都被选中的概率为．
首先求得总人数，然后求得第四组的人数，即可作出统计图；
利用总人数乘以所占的比例即可求解；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

20.【答案】解：由题意得，海里，，
过作于，
，
海里，
，
海里，
答：此时海盗船离岛的距离约是海里；
由知海里，，，
海里，海里，
海里，
海警船在接到岛主报警后到达岛需要小时，海盗船到达岛需要小时，
，
海警船能赶在海盗船之前到达岛进行拦截． 

【解析】过作于，解直角三角形即可得到结论；
由知海里，，，求得海里，海里，得到海里，求出海警船在接到岛主报警后到达岛需要小时，海盗船到达岛需要小时，进行比较，即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形来求解．
 

21.【答案】解：如图中，取的中点，连接．

四边形是矩形，
，
由翻折可知，，，，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
．

如图中，过点作交于，交于则四边形是矩形，设，则

，，
，，
，
∽，
，
，，
在中，，
，
解得负值已经舍弃，
，
在中，，
，
∽，
，
，
，
． 

【解析】如图中，取的中点，连接证明∽，利用相似三角形的性质求解即可．
如图中，过点作交于，交于设，则证明∽，推出，推出，，在中，由，可得，求出，再证明∽，利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
 

22.【答案】证明：平分，
，
与相切，
，
是的直径，
，
，
∽，
，
；

解：作于点，

由于，的长是的两个实数根，
解得：，，
由可知：，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
菱形面积为：． 

【解析】利用角平分线得到，推导出，从而得到∽，利用相似三角形的性质即可求出答案；
依据求得，，由可知：，进而得出，，，解得，然后利用平行四边形的面积即可求出菱形的面积．
本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力．
 

23.【答案】解：把代入得：，解得，
，
函数图象的顶点的坐标为；
证明：由抛物线顶点坐标公式得的顶点为
，
，
，即，
，
二次函数的顶点在第三象限；
解：设平移后图象对应的二次函数表达式为，其顶点为，
当时，，
将代入得：，
，
在轴的负半轴，
，
，
过点作于，如图：

，
，
，
，
当时，此时，取最大值，最大值为，
答：面积的最大值是． 

【解析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，二次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是掌握二次函数的性质及数形结合思想的应用．
把代入可得，即得函数图象的顶点的坐标为；
由抛物线顶点坐标公式得的顶点为，根据，，，可知二次函数的顶点在第三象限；
设平移后图象对应的二次函数表达式为，其顶点为，将代入得，可得，过点作于，有，由二次函数性质得面积的最大值是．