2023年中考数学一模试题分项汇编 专题10圆的综合压轴题型（浙江专用）

这是一份2023年中考数学一模试题分项汇编 专题10圆的综合压轴题型（浙江专用），共89页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学一模试题分项汇编（浙江专用）
专题10 圆的综合压轴题型

一、单选题
1．如图，经过的顶点C，与边分别交于点M，N，与边相切．若，则线段长度的最小值是（   ）

A．3 B．2 C．2 D．
2．如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（    ）

A．10 B． C． D．
3．如图，是半圆O的直径，四边形和都是正方形，其中点 在上，点在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形的面积与正方形的面积之和是（    ）

A．50 B．75 C．100 D．125
4．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接AD．过点C作于E，连接BE，则BE的最小值是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，的直径AB，垂直平分OA，AB延长线上一点E，DE交圆O于F，且．弦DH交OC于G，满足，，AC长为（    ）

A． B． C．2 D．

二、填空题
6．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为_____．

7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，在AB上有一点O，以点O为圆心，OA长为半径的半圆与边BC相切于点D，交AC边于点E，则图中阴影部分的面积为____．

8．如图，在矩形中，，为上一点，，以为圆心，为半径的弧交于，交于，若为弧的中点，则_______，______．

9．如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A，B，C，D，E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A，D两点处发现点A，E，C和D，E，B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现．测得米，米，米，则所在圆的半径为_____________米，所在圆的半径为__________米．

10．如图，正方形的边长为4，正方形的边长为，将正方形绕点C旋转，和相交于点K，则的最大值是 ___________，连接，当点C正好是的内心时，的长是 ___________．

11．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝3cm，BD＝cm，AC⊥CD，⊙O是△ABD的外接圆，则AB的弦心距等于_____cm．

12．如图，中，，，点在边上，，.点是线段上一动点，当半径为6的圆与的一边相切时，的长为________.  

13．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在BC上，则AD＝；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是．其中正确结论的序号是_______．

14．图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的的值为______；记图1中小正方形的中心为点，，，图2中的对应点为点，，．以大正方形的中心为圆心作圆，则当点，，在圆内或圆上时，圆的最小面积为______．


三、解答题
15．如图，为矩形的对角线，点在上，连接，是的外接圆与的延长线的一个交点，延长交圆于点，点恰好是的中点，连接，分别交，于点，，连接．

(1)求证：．
(2)求证：四边形是菱形．
(3)若恰好是的中点时，求的值．
16．如图①，点是正方形的对角线上的一点，射线与的外接圆的另一个交点为，与射线相交于点．

(1)当点与点重合时，的值为；
(2)如图②，当是外接圆的直径时，求的值；
(3)若为等腰三角形，求的值．
17．如图1，在矩形中，，对角线，交于点D，E是延长线上一点，连结，，已知，为半圆O的直径，切半圆O于点F．

(1)求证：．
(2)求半圆O的直径．
(3)如图2，动点P在上点C出发向终点F匀速运动，同时，动点Q从M出发向终点N匀速运动，且它们恰好同时停止运动．
①当与的一边平行时，求所有满足条件的的长．
②作点F关于的对称点，当点落在半圆O上时，直接写出的值．
18．如图1，在菱形中，，，以为直径作半圆O交于点E，过点E作的切线交于点G，交的延长线于点F．当点P从点G运动至点F时，点Q恰好从点A运动至点B，设，．

(1)求证：．
(2)求y关于x的函数表达式．
(3)连接．
①当与的一边平行时，求x的值．
②如图2，记与交于点M，连结，若，求的面积．
19．如图1，中，边上的中线，延长交的外接圆于点，过点作交圆于点，延长交的延长线于点，连接．

(1)若，，求和的长；
(2)①求证：；
②设，，求关于的函数表达式；
(3)如图2，作交线段于，连接，当的面积是面积的6倍时，求的值．
20．如图，在正方形中，E是上一点，连接．过点A作，垂足为F，经过点C、D、F，与相交于点G．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若正方形的边长为5，，求的正切值和的半径．
21．如图，点，分别为矩形边，上的点，以为直径作交于点，且与相切，连结．

(1)若，求证：．
(2)若，．
①求的长．
②连结，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的长．
(3)连结，若的延长线经过点，且，求的值．
22．如图，在中，的平分线交于点E，以A为圆心，为半径作交于点F，直线交于G、H两点，的延长线交于点D，作，垂足为点K．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当且时，求证：．
23．如图1，为等腰三角形的外接圆，，点D在上，连结，点E为延长线上一点，连结交于点F，满足，连结．

(1)求证：；
(2)当，且时，求的值；
(3)如图2，连结交于点G，若，的半径为25，
①求的长；
②当时，直接写出与的面积之比．
24．如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结．

(1)求证：是等腰直角三角形．
(2)如图2，连结，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由．
(3)当Р是的中点时，．
①求的长．
②若点Q是外接圆的动点，且位于正方形的外部，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．
25．（1）如图1，的半径为，，点为上任意一点，则的最小值为 　．

（2）如图2，已知矩形，点为上方一点，连接，，作于点，点是的内心，求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，若矩形的边长，，，求此时的最小值．
26．如图，已知为的直径，点为的中点，点在上，连接、、、、与相交于点．

(1)求证：；
(2)如图2，过点C作的垂线，分别与，，相交于点F、G、H，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，的面积等于3，求的长．
27．如图1，中，，，，延长BC至D，使，E为AC边上一点，连结DE并延长交AB于点F．作的外接圆，EH为的直径，射线AC交于点G，连结GH．

(1)求证：．
(2)①如图2，当时，求GH的长及的值．
②如图3，随着E点在CA边上从下向上移动，的值是否发生变化，若不变，请你求出的值，若变化，求出的范围．
(3)若要使圆心O落在的内部（不包括边上），求CE的长度范围．
28．如图，点A在y轴正半轴上，OA＝1，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点，D，C两点的横坐标是方程的两个根，，连接BC．

(1)如图（1），连接BD．①求∠ABD的正切值；②求点B的坐标．
(2)如图（2），若点E是的中点，作EF⊥BC于点F，连接BE，ED，EC，求证：2CF＝BC＋CD．
29．婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．
（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号）
①矩形；②菱形；③正方形
（2）如图1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长．
（3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．
①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；
②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．

30．如图1，经过等边的顶点，（圆心在内），分别与，的延长线交于点，，连结，交于点.  

（1）求证：.
（2）当，时，求的长．
（3）设，.
①求关于的函数表达式；
②如图2，连结，，若的面积是面积的10倍，求的值.

参考答案：
1．D
【来源】浙江省杭州市余杭区2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题
【分析】作于点F，当CF为的直径时，此时最小，的长度也最小，连接，，过O作于E，根据圆周角定理和垂径定理得到，，，再根据等腰直角三角形的判定与性质求得直径，然后解直角三角形求得即可．
【详解】解：如图，作于点F，

∵即为定值，且垂线段最短，
∴当CF为的直径时，此时最小，的长度也最小，
连接，，则，
过O作于E，则，，
∵，，，
∴，则，
∴，
∴，
即的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，解答的关键是找到直径最小时，线段的长度也最小．
2．D
【来源】2023年浙江省宁波外国语学校九年级中考一模数学试卷
【分析】过点O作于点H，作于点I，连接，证明点P运动的轨迹是线段，作点A关于直线的对称点，当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点O作于点H，作于点I，连接，，

∵点O为正方形的中心，
∴，，
∴四边形为正方形，为正方形的对角线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与都是等腰直角三角形，
∴，
，

∴E、I、O、P四点共圆，
∴，
∵，
∴点P运动的轨迹是线段，
作点A关于直线的对称点，  
当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长，
过点作交延长线于点Q，
同理得四边形为正方形，且边长为4，
∴，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，得到点P运动的轨迹是线段是解题的关键．
3．C
【来源】浙江省杭州市滨江区杭州二中白马湖学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题
【分析】连接，设正方形的边长为a，正方形边长为b， ，根据正方形的性质，根据勾股定理得出得出把等式的左边分解因式后得出求出，再代入①，即可求出答案．
【详解】解：连接，设正方形的边长为a，正方形边长为b，，则，

∵四边形和都是正方形，
∴，
∵半圆O的半径为10，
∴，
由勾股定理得：

①②，得：
∴
∴
∴
∴
∵，
∴， 即，
把代入①，得，
即正方形的面积与正方形的面积之和是100，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识点，能求出是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．
4．C
【来源】江苏省苏州市振华中学校2020-2021学年下学期九年级中考模似数学试题
【分析】取的中点，连接，从而可得，先根据直角三角形的性质可得，从而得出在点的移动过程中，点在以为半径的圆上运动，再利用圆周角定理、勾股定理可得，然后根据圆的性质得出当点共线时，取得最小值，最小值为，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，取的中点，连接，则，

，
，
则在点的移动过程中，点在以为半径的圆上运动，
是圆的直径，
，
在中，，
在中，，
由圆的性质得：当点共线时，取得最小值，最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等知识点，正确得出点的运动轨迹是解题关键．
5．C
【来源】2023年浙江省宁波市镇海区蛟川书院九年级数学第一次模拟试题
【分析】连接，如图，先根据题意证明，得到，进而可证明，得出，由垂直平分OA可得，设，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和可求得，进而可求出，由变形可得，然后设未知数求出圆的半径即可求出答案．
【详解】解：连接，如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分OA，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∵，
∴，
在直角三角形中，∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，  
∴，
∴，
设圆的半径为r，则在直角三角形中，，
∴，
∴，
作于点M，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴．
故选：C
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了同圆半径相等、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质等知识，综合性较强，熟练掌握上述知识、正确添加辅助线、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
6．
【来源】【百强校】2015届重庆市巴蜀中学九年级第三次模拟考试数学试卷（带解析）
【分析】连接BD，BE，BO，EO，由的长为，可求出圆的半径，然后根据图中阴影部分的面积为：S△ABC-S扇形BOE，即可求解.
【详解】解：连接BD，BE，BO，EO，

∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=∠EBA=30°，
∴BE∥AD，
∵的长为，
∴，解得R=2.
∴AB=ADcos30°=2，
∴BC=AB=,


∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC-S扇形BOE=，
故答案为：.
【点睛】本题考查扇形的面积公式，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理的推论，添加辅助线，利用割补法求面积是关键.
7．
【来源】2021年河南省南阳市新野县中考数学三模试卷
【分析】先利用三角函数定义可知∠B＝30°，得∠CAB＝60°，证明△AOE是等边三角形，利用切线的性质得直角△BOD，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2OD＝4，最后根据面积差可得答案．
【详解】解：如图，

∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，
∴tan∠B＝＝＝，
∴∠B＝30°，∠CAB＝60°，
∴AB＝2AC＝6，
∵OA＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∵OA为半径的半圆与BC边相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴∠BDO＝90°，
∴OB＝2OD＝2OA＝4，
∴OA＝2，
∴等边三角形AOE中，OA边的高为，
∴S阴影＝S△ACB﹣S△AOE﹣S扇形OEF
＝﹣﹣
＝﹣﹣π
＝﹣π．
故答案为：﹣π．
【点睛】本题考查了切线的性质、扇形的面积计算，知道切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形的性质．
8．
【来源】2023年浙江省宁波市海曙区中考一模数学试题
【分析】连接，，过点作于点，设，根据过圆心且平分弦所对的弧则垂直平分弦可得出，结合矩形的性质可得出，所以，求出，根据勾股定理求出，即，由垂径定理得出，证明四边形是矩形，从而有，利用锐角三角函数求出，最后在中利用正切的定义即可得解．
【详解】连接，，过点作于点，设，
∵以为圆心，为半径的弧交于，交于，若为弧的中点，
∴，，，
∴，，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∴即，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，点为圆心，
∴，，
在四边形中，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
，，，
∴，
故答案为：；．
    

【点睛】本题考查垂径定理及推论，矩形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识点．掌握锐角三角函数的定义，垂径定理及推论是解题的关键．
9． 5 /
【来源】2023年浙江省温州市瑞安市初中学业水平第一次适应性测试数学试题
【分析】过点E作于点Q， 根据圆的对称性，可知∶ 所在圆的圆心、 所在圆的圆心都在上，设所在圆的圆心为O、 所在圆的圆心为，过作于点P，连接，，，则四边形是矩形，得出，，根据等腰三角形的性质可求，利用勾股定理可求，在中，利用勾股定理得出，然后求解即可；证明，利用相似三角形的性质求出，在和中，利用勾股定理可得出，求出，进而求出即可．
【详解】解∶过点E作于点Q，

根据圆的对称性，可知∶ 所在圆的圆心、 所在圆的圆心都在上，
设所在圆的圆心为O、 所在圆的圆心为，
过作于点P，连接，，，
则四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，即，
解得，
∵，，  
∴，
∴，
∴，即，
解得，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴，  
∴．
故答案为：5，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
10． /
【来源】第15讲切线长定理及三角形的内切圆（3大考点）-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（浙教版）
【分析】连接，，和，，交于点O，，交于点M，作于Q，作于R，证明，从而确定点K在以为直径的圆上运动；根据内心特征，确定内心点C到的距离，进一步得出结果．
【详解】解：如图，

连接，，和，，交于点O，，交于点M，作于Q，作于R，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点K在以为直径的圆O上运动，
∴当为圆O直径时，最大，此时点K于点C重合，
∴，
当点C为的内心时，  
，，分别平分，和，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴点B、C、F共线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关综合知识，添加合适的辅助线．
11．/
【来源】福建省福州市平潭县福建师范大学平潭附属中学2022～2023学年九年级上学期第一次阶段性质量检测数学试题
【分析】设AC、BD的交点为G，作圆的直径AN，连接BN，过点O作OF⊥AB于点F，过点C作CM⊥BD于点M，利用勾股定理计算DC，利用三角函数计算GM，MC，根据 ，计算BN，利用垂径定理，三角形中位线定理求得OF．
【详解】解：设AC、BD的交点为G，
∵平行四边形ABCD中，AC=3，BD=，AC⊥CD，
∴，，
，
∴，
过点C作CM⊥BD于点M
∴，
，
∴，
∴，
作直径，连接BN，过点O作OF⊥AB，

则：，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，垂径定理，三角形中位线定理，平行四边形的性质，三角函数的综合运用，熟练掌握圆的性质，灵活运用三角函数是解题的关键．
12．或
【来源】2019年浙江省宁波市中考数学试题
【分析】根据勾股定理得到，，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离=6，过P作PH⊥BC于H，则PH=6，当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离=6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BD+CD=18，
∴，
在Rt△ADC中，∠C=90°，AC=12，CD=5，
∴，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离=6，
过P作PH⊥BC于H，则PH=6，

∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴，
∴PD=6.5，
∴AP=6.5；
当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离=6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG=6，
∵AD=BD=13，
∴∠PAG=∠B，
∵∠AGP=∠C=90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴，
∴AP=3，
∵CD=5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3，
故答案为6.5或3．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．
13．①③⑤.
【来源】2014年初中毕业升学考试（浙江舟山卷）数学（带解析）
【分析】①由点E与点D关于AC对称可得CE＝CD，再根据DF⊥DE即可证到CE＝CF．
②根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．
③连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD＝OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO＝90°，从而得到EF与半圆相切．
④利用相似三角形的判定与性质可证到△DBF是等边三角形，只需求出BF就可求出DB，进而求出AD长．
⑤首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与△ABC的关系，就可求出线段EF扫过的面积．
【详解】解：①连接CD，如图1所示，
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°，
∴∠F=∠CDF，
∴CD=CF，
∴CE=CD=CF，
∴结论“CE=CF”正确；

②当CD⊥AB时，如图2所示，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，AC=4，BC=．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，∴CD=BC=．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点D在线段AB上运动时，CD的最小值为．
∵CE=CD=CF，∴EF=2CD．
∴线段EF的最小值为．
∴结论“线段EF的最小值为”错误；

③当AD=2时，连接OC，如图3所示，
∵OA=OC，∠CAB=60°，
∴△OAC是等边三角形，
∴CA=CO，∠ACO=60°，
∵AO=4，AD=2，
∴DO=2，∴AD=DO，
∴∠ACD=∠OCD=30°，
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA=∠DCA，
∴∠ECA=30°，
∴∠ECO=90°，
∴OC⊥EF，
∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF与半圆相切，
∴结论“EF与半圆相切”正确；

④当点F恰好落在上时，连接FB、AF，如图4所示，
∵点E与点D关于AC对称，
∴ED⊥AC，
∴∠AGD=90°，
∴∠AGD=∠ACB，
∴ED∥BC，
∴△FHC∽△FDE，
∴FH：FD=FC：FE，
∵FC=EF，
∴FH=FD，
∴FH=DH，
∵DE∥BC，
∴∠FHC=∠FDE=90°，
∴BF=BD，
∴∠FBH=∠DBH=30°，
∴∠FBD=60°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAB=30°，
∴FB=AB=4，
∴DB=4，
∴AD=AB﹣DB=4，
∴结论“AD=”错误；

⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称，
∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分，
∴S阴影=2S△ABC=2×AC•BC=AC•BC=4×=，
∴EF扫过的面积为，
∴结论“EF扫过的面积为”正确．
故答案为①③⑤．

【点睛】本题考查圆的综合题，涉及等边三角形的判定与性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质．根据题意画出图形，添加合适的辅助线是关键.
14．
【来源】浙江省温州市2021年中考数学真题
【分析】（1）先求出剪拼后大正方形的面积，得到其边长，再结合图2，求出图1中长方形的长边除去长为d部分的线段后，剩下的线段长刚好为大正方形的边长，最后用图1中的长方形的长减去图2中大正方形的边长即可完成求解；
（2）结合两图分别求出对应线段的长，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出O点到、、之间的距离即可确定最小圆的半径，即可完成求解．
【详解】解：∵图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，
∴每个小正方形边长为2，图1和图2中整个图形的面积为，
所以图2中正方形的边长,如下图3所示；
∴图1中，；
分别连接、、，并分别过点、、向大正方形的对边作垂线，得到如图所示辅助线，
综合两图可知，,,,O点到大正方形各边距离为，
∴，,
∴;
综合两图可知：,,,
∴,,
∴；
继续综合两图可知：,
∴,
∴,
∵，
∴距离O点最远，
∴最小圆的半径应为，
∴圆的面积为；
故答案为：；．

【点睛】本题考查了正方形和长方形的基础知识、线段之间的和差关系、完全平方公式、勾股定理、圆的面积公式等内容，解决本题的关键是理解题意、读懂图形、找出两个图形之间的关联、能灵活运用勾股定理等公式求解线段的长等；本题要求学生对图形具有一定的感知能力，有较强的计算能力等，该题蕴含了数形结合等思想方法．
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【来源】2023年浙江省丽水市缙云县中考一模数学试题
【分析】（1）利用矩形的性质得到是圆的直径，再利用垂径定理即可得到；
（2）利用垂径定理得到垂直平分，再利用平行线的判定及矩形的性质得到四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可解答；
（3）利用相似三角形的判定得到，，再利用相似三角形的性质得到即可解答．
【详解】（1）证明：在矩形中，，，
∴，是圆的直径，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，是圆的直径，
∴垂直平分，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴是菱形．
（3）连接，设．

∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵恰好是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点是的中点，是菱形，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，垂径定理，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．(1)
(2)
(3)

【来源】黄金卷7-【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（浙江温州专用）
【分析】（1）当与重合时，点、、共线，根据正方形的性质即可得出结论；
（2）连接、，根据证，得出，推出，即，根据即可得出结论；
（3）由为等腰三角形知，只能是，过作于点，则，设，则，证，根据线段比例关系得出，，推出的值即可．
【详解】（1）解：当与重合时，点、、共线，

∵正方形中，，
∴、相交于点，
∴，
则，
故答案为：；
（2）解∶连接、，

∵是外接圆直径，
∴，
∵即，
∴，
∵，，，，
∴（），
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由为等腰三角形知，只能是，
∴在的垂直平分线上，
过作于点，则，

连接、，作于点，
设，与相交于点，
设，则，
∵，
∴，且，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
由勾股定理得，
∵是上的点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查圆的综合知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)24
(3)①，或；②

【来源】2023年浙江省温州市龙港中考一模数学试题
【分析】（1）由矩形的性质可知，，结合，可知是的垂直平分线，可得，进而可证得；
（2）如图，连结，易知，，，，，再根据可求得，，再利用等面积法，可求得半径的长度；
（3）①根据题意可得，，，，由P，Q同时出发且同时到达终点，可知，设，，，，分情况1：，情况2：，情况3：，三种情况进行讨论即可；
②若落在半圆O上，由圆的对称性可知，PQ必经过点O，即点与点重合，此时，，可得，，即可求得．
【详解】（1）证明：在矩形中，，，
∵，
∴是的垂直平分线，即，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：如图，连结，
∵切半圆于点F，则，
∵，，
∴，
∴，
由，得，
∴，，
∴，即：，
∴半圆O的直径为24．

（3）①解：∵，，，，
∵P，Q同时出发且同时到达终点，
∴，
∴设，，，，
情况1：，如图，作于点R，

∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，解得，
∴．
情况2：，如图，此时，则，
∴，
∴．

情况3：，如图，此时，则，
∴，解得，
∴，
综上所述MQ的长为，或．

②如图，若落在半圆O上，由圆的对称性可知，PQ必经过点O，即点与点重合，
此时，，可得，
∴，

∴．

【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，切线的性质，解直角三角形，圆的对称性，连接圆心与切点构造直角三角形是解决问题的关键．
18．(1)见解析
(2)
(3)① 1或；②

【来源】2023年浙江省温州市龙湾中考一模数学试题
【分析】（1）由于为直径，可根据三角形的性质可得，在菱形中，．故．即可证明．即可得到．
（2）连接，为的切线，，，为等边三角形，可得的长，由（1）得，故，即．
又当点从点运动至点，点恰好从点运动至点，，
即，故可得．
（3）①当时，，，求出的长；
当时，，，求出的长．
②过点作的高线交于点，则有．再根据，可得，代入即可求出的值，故求出即可．
【详解】（1）解：如图所示：

∵为直径，
∴．
∵，

∴．
在菱形中，，
∴，
∴．
在和中

∴．
∴．
（2）连接，如图所示：

∵为的切线，
∴．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，．
由（1）得，
∴，即．
又当点从点运动至点，点恰好从点运动至点，
∴，
∴，
即：．
（3）①ⅰ）如图1所示，

当时，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∴．
ⅱ）如图2所示，

当时，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∴．
综上所述：的值为1或．
②过点作的高线交于点，

则有．
∵，
∴．
由，得，
∴为等边三角形，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，则．
∴．
【点睛】本题考查了圆与三角形、四边形及动点问题的综合题，熟练掌握三角形在圆中的性质，全等三角形的判定、相似三角形的判定、锐角三角函数解三角形是解决此题的关键．
19．(1)；
(2)①证明见解析；②
(3)

【来源】数学（宁波卷）-学易金卷：2023年中考第一次模拟考试卷
【分析】（1）利用等边三角形的判定与性质，和直角三角形的判定与性质以及圆周角定理得到点为圆心，则结论可求；
（2）①连接，利用平行弦所夹的弧相等，圆周角定理，等腰三角形的性质解答即可；
②过点作于点，通过证明和平行线分线段成比例定理得到，设，则，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得，代入即可得出结论；
（3）连接，设与交于点，在（2）的基础上，通过证明和，利用等高的三角形的面积比等于底的比，得出，利用平行线分线段成比例定理可以求得，则得到，关于的方程即可求得结论．
【详解】（1）解：，，
为等边三角形，
．
是的中点，
．
，
，
，
为直角三角形，，
点为圆心，即为直径，
；
，为在中点，
为的中位线，
；
（2）①证明：连接，如图，

，
，
．
，
，
，，
，
，
，
，
；
②解：过点作于点，如图，

，，
，
，
，
．
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
关于的函数表达式为：；
（3）解：连接，设与交于点，如图，

，
，
，，
，
在和中，
，
．
．
，
，
，
，
，
，，
，
即：，
由（2）知：，
，
，
在和中，
，
．
．
，
是的垂直平分线，
，，
，
．
，
的面积是面积的6倍，，
的面积是的3倍，
，
的面积是的3倍，
，
，
，
，
，，
，
，
，
解得：，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的有关性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系，勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线，熟练掌握圆的有关性质恰当的添加辅助线是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)，半径

【来源】2022-2023学年浙江省杭州市育才学校九年级下学期中考一模数学试题
【分析】（1）利用同角的余角相等证明，利用圆内接四边形的性质证明即可；
（2）由可得，由可得，即可得到；
（3）利用求出的正切值，再证明是直径，求出即可解决问题；
【详解】（1）∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵,
∴，
∴；
（3）如图，连接．
∵正方形的边长为5，，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴

∵，
∴是直径，
∴的半径为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
21．(1)见解析
(2)①；②当是以为腰的等腰三角形时，的长为或；
(3)

【来源】2023年浙江省温州市文成县中考一模数学试题
【分析】（1），，根据圆周角性质得到，利用直角三角形全等判定定理即可证明．
（2）①根据切线与矩形的性质证明，再根据求值．
②分别讨论时，得到，借助勾股定理求解，时，，设，根据相似比求解．
（3）证明得到，取的中点H，连结，设，借助求解．
【详解】（1）解：证明：在矩形中，
∵是直径
∴
在和中

∴
（2）解：①∵与相切
∴，∴
∵在矩形中，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
②（i）当时，则，

∴
在和中，

∴，
∴
由①知，
设，则，
在中，勾股定理可得，
解得，即
（ii）当时，则，
∴

∴，设，
由①知，
则，，
∴，解得或（舍），
∴
综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的长为或．
（3）解：在和中，

∴，
∴
∵，，
∴
在和中，


∴，
∴，
∴，
的延长线经过点
∴，
∴
如图所示，取的中点H，连结，设，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴

【点睛】此题考查了圆、圆周角的性质、三角形全等和相似的证明、三角函数三角形中位线定理，解题的关键是综合应用各性质．
22．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．

【来源】2023年浙江省舟山市中考数学一模试卷
【分析】（1）由角平分线可知，进而利用证明，可得，由题意可知，可知，再利用对顶角相等可证得，进而可知，由可得；
（2）由（1），根据平行线分线段成比例可知，，根据，可知，则，再证，可得，即可得证结论；
（3）由（1）（2）知，，，则可知，，由题意可知，，易证得，可得，由，可得，进而可知，即可得证结论．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，为直角三角形，
∴，，
在与中，，
∴，
∴，
又∵以为圆心，为半径作交于点，则，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵
∴；
（2）证明：由（1），根据平行线分线段成比例可知，
∵，
∴，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）由（1）（2）知，，，
则，，
由题意可知，，
∵，
∴，
在与中，，
∴，
∴，则，
∴，
又∵，
∴，
即：．
【点睛】本题属于几何综合，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，圆的基本性质，熟悉相关性质定理解决问题的关键．
23．(1)见详解
(2)
(3)

【来源】2023年浙江省宁波外国语学校九年级中考一模数学试卷
【分析】（1）过点A作于点H，交于点I，由题意易得为的直径，，然后根据等弧所对圆周角相等可知，进而问题可求证；
（2）由题意易得，，然后根据（1）中的结论可求出，进而根据三角形外角的性质及三角函数可进行求解；
（3）①过点A作于点M，并延长交于点N，连接，然后根据题意及垂径定理可列方程进行求解；②设与的交点为K，由题意易得的相关三角函数值及，然后可得，设，则有，然后可得的三角函数值，进而根据三角函数可得，最后根据三角形面积公式可进行求解．
【详解】（1）证明：过点A作于点H，交于点I，如图所示：

∵，
∴，
∴为的直径，且平分，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；  
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①过点A作于点M，并延长交于点N，连接，如图所示：

由（1）可知，
∵，的半径为25，
∴，，
设，则，
∴在中，，在中，，
即，
解得：，即，
∴，即（负值舍去），
∴；
②设与的交点为K，如图所示，

由①可知：，
∴在中，，
∴，
同理（2）可证，
由题意得：，设，
∴，
∵，  
∴，，
∴，
∴，，
∴，  
∴在中，，
∴，
∴，
∴，  
∴，
∴，
∵，
∴，  
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的综合问题、三角函数、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握圆的综合问题、三角函数、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)①；②或6

【来源】2023年浙江省温州市瓯海区中考第一次模拟考试数学试题
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，求出，结合，得到，即可证得是等腰直角三角形．
（2）延长交于点H，得到，利用证得，进而证明，推出，证得，即可得到结论．
（3）①由，求出，结合P是的中点求出的长．
②由，得到，存在或，分两种情况画图求解即可．
【详解】（1）解：如图1，在正方形中，，

∵点E在的外接圆上，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（2）如图2，延长交于点H．

∵，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）①由（2）知．
∵，
∴．
∵P是的中点，
∴，
②∵，
∴，
∴存在或（点P在的左侧）．
当时如图3，，

∴．
∵，
∴是圆的直径，
∴，
∴．
当时如图4，连结．

由第一种情况可知是圆的直径，
∴，
∴，
∴，∴．
综上所述，的长是或6．
【点睛】此题是图形综合题，考查了正方形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确理解题意，综合掌握各知识点是解题的关键．
25．（1）；（2）；（3）
【来源】2023年陕西省西安市第六十二中学九年级下学期数学中考复习第一次模拟测试卷
【分析】（1）当点在线段上时，有最小值，即可求解；
（2）根据角平分线性质和三角形内角和定理即可求解；
（3）先作出的外接圆，进而求出外接圆半径，进而判断出最小时点的位置，最后构造直角三
角形即可得出结论．
【详解】（1）当点在线段上时，有最小值为，
故答案为：；
（2），
，
，
点是的内心，
平分，平分，
，，
；
（3），，，
，
，
如图3，作的外接圆，圆心记作点，连接，，在优弧上取一点，连接，，

点在的外接圆上，
，
，
，
连接，与相交于点此时，是的最小值，
过点作于，，交的延长线于，
，，
四边形是矩形，
，

平分
，
四边形是正方形，
，
，
在中，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，三角形的内心，勾股定理等知识，构造出的外接圆是解本题的关键．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【来源】2022年山东省济南市中考数学模拟试题
【分析】（1）连接，由，推出，由，，推出，，推出；
（2）只要证明，即可推出；
（3）由，推出，由，推出，是等腰直角三角形，推出，在中，，作于N，在中，由，推出，设，，由，推出，推出，推出，，由，推出，过G作于Q，在中，，设，，，可得，得，再根据即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：

在中，∵C为的中点，
∴
∴，
∵由，，
∴，，
∴．
（2）证明：连接，如图所示：

∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
∴，
∴．
（3）解：作于M，于K，如图所示：

∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，作于N，
在中，∵，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过G作于Q，
在中，，设，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
27．(1)证明见解析
(2)①6，；②，不变，理由见解析
(3)

【来源】2022年浙江省温州市第二实验中学九年级第二次模拟考试数学试题
【分析】（1）先证明再证明从而可得结论；
（2）①当时，则 此时重合，重合，从而可得答案；
②过作于 延长交HG的延长线于 证明 可得结论；
（3）当O在BC上时，由（2）可得： 证明 可得 设 则 再建立方程求解即可，当O在AB上时， 可得 从而可得答案．
【详解】（1）解： ， ，




（2）①当时，则
为外接圆的直径，
此时重合，重合，




②值不变，理由如下：
过作于 延长交HG的延长线于
则
为的直径，



而
而同理可得




；

（3）如图，当O在BC上时，

由（2）可得：
∵
∴



设 则

解得： 经检验符合题意；

如图，当O在AB上时，

为的直径，


∴要使圆心O落在的内部（不包括边上），CE的长度范围为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，是动态几何体，准确的画出图形是解本题的关键．
28．(1)①；②(4，3)；
(2)证明见解析．

【来源】浙江省杭州市萧山区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
【分析】（1）①解出方程，即得出C点和D点坐标．由圆周角定理即易证，即求出即可．
②设该圆圆心为P，连接DP、CP，过点B作轴于点E．由题意可知点P在线段CD的垂直平分线上，由此即可求出P点的横坐标，再由P点为AB中点，即可求出B点横坐标，即得出的长，从而求出CE的长为1，即，再根据，，即证明，由此即可证明，得出，即求出B点纵坐标；
（2）延长CB至点G，使BG=CD=2，连接EG．根据圆的内接四边形的性质可知，即可推出．再根据题意可知，即可证明，得出．再根据等腰三角形的性质，即得出
．由此即可证明．
【详解】（1）①解方程：，
得：．
∴C(3，0)，D(1，0)
∴．
∵，
∴，即，
∴．
②如图，设该圆圆心为P，连接DP、CP，过点B作轴于点E．
∵DP=CP，
∴点P在线段CD的垂直平分线上，
∴．
∵P点为圆心，AB为直径，
∴P点为AB中点，，
∴．
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴在和中，，
∴，
∴，即，
∴B点坐标为(4，3)．

（2）如图，延长CB至点G，使BG=CD=2，连接EG．

根据题意可知，四边形BCDE为⊙P的内接四边形，
∴．
∵，
∴．
∵点E是的中点，
∴．
∴在和中，，
∴，
∴，即为等腰三角形．
∵，即，
∴．
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查解一元二次方程、圆周角定理、求角的正切值、线段垂直平分线的性质、中点坐标公式、三角形全等的判定和性质、圆的内接四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，综合性强，为困难题型．作出辅助线是解答本题的关键．
29．（1）③；（2）3；（3）①见解析；②
【来源】湖南省长沙市广益实验中学2021-2022学年九年级上学期第三次月考数学试题
【分析】（1）根本圆内接四边形对角互补和平行四边形对角相等可得∠ABC=∠ADC=90°，从而可证明四边形ABCD为矩形，再根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可判断；
（2）根据垂径定理和圆周角定理可得AD=DE，∠DEB=∠DEC=90°，设AD=DE=m，则DC=8-m，EC=10-6=4，在Rt△DEC中解直角三角形即可；
（3）①根据圆周角定理即可得出，从而可得∠CED=90°，继而证明结论；②作OM，ON分别垂直与AD，BC，证明△OAM≌△BON，设，则，，，在Rt△BON中，根据勾股定理和二次函数的性质即可得出半径的最小值．
【详解】解：（1）如下图，

∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，
∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，
∴AC⊥BD，
∴矩形ABCD为正方形，
故答案为：③；
（2）∵∠BAC=90°，AB=6，，
∴，,BD为直径，
∴∠BED=∠DEC=90°，
∵四边形ABED是“婆氏四边形”，
∴AE⊥BD，
∴AD=DE，AB=BE=6，
设AD=DE=m，则DC=8-m，EC=10-6=4，
在Rt△EDC中，根据勾股定理,
,即，解得，即DE=3；
（3）①设AC，BD相交于点E如图所示

∵，，∠BOC+∠AOD=180°，
∴，
∴∠CED=90°，
即AC⊥BD，
又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴四边形ABCD是“婆氏四边形”；
②如下图，作OM，ON分别垂直与AD，BC，
∴，，∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵OA=OB=OC=OD，
∴,，
∵∠BOC+∠AOD=180°，
∴，
∴，
在△OAM和△BON中
∵
∴△OAM≌△BON（AAS），
∴，
∵AD+BC=4
设，则，，，
在Rt△BON中，
，
当时，取得最小值，即⊙O半径的最小值为．

【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、正方形的判定定理、二次函数的性质等．（1）中能正确证明出四边形的一个角是90°是解题关键；（2）中能正确表示出Rt△EDC的三个边是解题关键；（3）中①正确利用圆周角定理是解题关键；②正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
30．（1）证明见解析；（2）；（3）①； ②或.
【来源】2019年浙江省宁波市中考数学试题
【分析】（1）根据等边三角形的性质和圆周角定理解答即可；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，根据等边三角形的性质和勾股定理解得即可；
（3）①过点E作EH⊥AD于点H，根据三角函数和函数解析式解得即可；
②过点O作OM⊥BC于点M，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，  
∴.
∵，，
∴.
∴.
（2）解：如图，过点作于点.  

∵为等边三角形，，
∴.
∴在中，.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴在中，.
（3）解：①如图，过点作于点.  

∵，
∴在中，.
∴，，
∴，
∵.
∴.
∴.
∴在中，.
.
②如图，过点作于点.

设.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∵.
∴，
∴的面积，
∴的面积.
∵的面积是的面积10倍，
∴，
∴.
解得，.
∴或.
【点睛】此题是圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质解答．