初中数学浙教版七年级下册3.3 多项式的乘法精品练习

专题3.3  多项式的乘法（知识解读）

【学习目标】

1. 掌握多项式乘单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算．

2. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混

合运算。

【知识点梳理】

知识点1：单项式乘多项式

单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．

考点2：多项式乘多项式

多项式与多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．

【典例分析】

【考点1：多项式乘单项式运算】

【典例1】（2022秋•闵行区校级期中）计算：（﹣2xy）•（x2+xy﹣y2）．

【解答】解：（﹣2xy）•（x2+xy﹣y2）

＝﹣2xy•x2﹣2xy•xy+2xy•y2

＝﹣3x3y﹣2x2y2+xy3．

【变式1-1】（2022春•沈河区期末）（﹣2x2y）•（3xyz﹣2y2z+1）．

【解答】解：（﹣2x2y）•（3xyz﹣2y2z+1）

＝﹣6x3y2z+4x2y3z﹣2x2y．

【变式1-2】（2022春•石景山区期末）计算：x2y（x+y3）﹣（3xy2）2．

【解答】解：原式＝x3y+x2y4﹣9x2y4

＝x3y﹣8x2y4．

【变式1-3】（2022春•槐荫区期末）计算：﹣3a（2a﹣4b+2）+6a．

【解答】解：原式＝﹣6a2+12ab﹣6a+6a

＝﹣6a2+12ab

【考点2：多项式乘多项式运算】

【典例2】（2022秋•大安市月考）化简：（2a+b）（a﹣2b）﹣3a（2a﹣b）．

【解答】解：原式＝2a2﹣4ab+ab﹣2b2﹣6a2+3ab

＝﹣4a2﹣2b2．

【变式2-1】（2022秋•杨浦区期中）计算：6ab（2a﹣0.5b）﹣ab（﹣a+b）．

【解答】解：原式＝12a2b﹣3ab2+a2b﹣ab2

＝13a2b﹣4ab2．

【变式2-2】（2022秋•长宁区校级期中）．

【解答】解：

＝

＝﹣2x3y+4x2y2﹣3x2y2+6x3y

＝4x3y+x2y2．

【变式2-3】（2022春•高唐县期中）化简下列整式：

（1）（x﹣xy）•（﹣12y）；

（2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）．

【解答】解：（1）（x﹣xy）•（﹣12y）＝﹣4xy+9xy2；

（2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）

＝6a3﹣27a2+9a﹣8a2+4a

＝6a3﹣35a2+13a．

【考点3：多项式乘法的有关应用】

【典例3】（2022秋•东方期末）如图，某中学校园内有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为（2a﹣b）米、宽为2b米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．

（1）求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）

（2）求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）

（3）当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积．

【解答】解：（1）长方形地块的面积为：

（3a+2b）（2a+b）

＝6a2+3ab+4ab+2b2

＝（6a2+7ab+2b2）平方米．

（2）小长方形地块的面积为：

2b（2a﹣b）＝（4ab﹣2b2）平方米．

（3）绿化部分的面积为：

6a2+7ab+2b2﹣（4ab﹣2b2）＝6a2+3ab+4b2，

当a＝3，b＝1时，

原式＝6×32+3×3×1+4×12

＝6×9+9+4

＝54+9+4

＝67（平方米）．

【变式3-1】（2022秋•韩城市期末）如图，某小区有一块长为（2a+4b）米，宽为（2a﹣b）米的长方形地块，角上有四个边长为（a﹣b）米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．

（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；

（2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化8b平方米，每小时收费200元，则该物业应该支付绿化队多少费用？（用含a、b的代数式表示）

【解答】解：（1）根据题意得：

（2a﹣b）（2a+4b）﹣4（a﹣b）2

＝4a2+8ab﹣2ab﹣4b2﹣4（a2﹣2ab+b2）

＝4a2+6ab﹣4b2﹣4a2+8ab﹣4b2

＝（14ab﹣8b2）平方米，

答：绿化的面积是（14ab﹣8b2）平方米；

（2）根据题意得：

（14ab﹣8b2）÷8b×200

＝（a﹣b）×200

＝（350a﹣200b）元，

答：该物业应该支付绿化队需要（350a﹣200b）元费用．

【变式3-2】（2022秋•陕州区期末）如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为（a+b）米的正方形．

（1）计算广场上需要硬化部分的面积；

（2）若a＝30，b＝10，求硬化部分的面积．

【解答】解：

（1）根据题意，广场上需要硬化部分的面积是

（2a+b）（3a+b）﹣（a+b）2

＝6a2+2ab+3ab+b2﹣（a+b）2

＝6a2+5ab+b2﹣（a2+2ab+b2）

＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2

＝5a2+3ab

答：广场上需要硬化部分的面积是（5a2+3ab）m2．

（2）把a＝30，b＝10代入

5a2+3ab＝5×302+3×30×10＝5400 m2

答：广场上需要硬化部分的面积是5400m2．

【变式3-3】（2022秋•双阳区校级月考）如图，甲长方形的两边长分别为m+1，m+5；乙长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）

（1）图中的甲长方形的面积S1＝　   　，乙长方形的面积S2　   ，比较：S1　　S2（填“＜”、“＝”或“＞”），并说明理由；

（2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．

【解答】解：（1）甲长方形的面积S1＝（m+1）（m+5）＝m2+6m+5，

乙长方形的面积S2＝（m+2）（m+4）＝m2+6m+8，

S1＜S2，

理由如下：

S1﹣S2

＝m2+6m+5﹣（m2+6m+8）

＝m2+6m+5﹣m2﹣6m﹣8

＝﹣3＜0，

即S1﹣S2＜0，

∴S1＜S2，

故答案为：m2+6m+5，m2+6m+8，＜．

（2）∵正方形的周长与图中的甲长方形周长相等，

∴正方形的周长为：2（m+1+m+5）＝4m+12，

∴正方形的边长为：m+3，

∴正方形的面积为：S＝（m+3）2＝m2+6m+9，

∴S﹣S1

＝m2+6m+9﹣（m2+6m+5）

＝m2+6m+9﹣m2﹣6m﹣5

＝4．

∴正方形面积S与图中的甲长方形面积S1的差是一个常数，这个常数是4

【典例4】（2021秋•石泉县期末）若（x+3p）（x2﹣x+q）的积中不含x的一次项与x的二次项．

（1）求p、q的值；

（2）求式子p2020q2021的值．

【解答】解：（1）（x+3p）（x2﹣x+q）

＝x3﹣x2+qx+3px2﹣3px+pq

＝x3+（3p﹣1）x2+（q﹣3p）x+pq，

∵不含x项与x2项，

∴3p﹣1＝0，q﹣3p＝0，

∴p＝，q＝3；

（2）当p＝，q＝3时，

原式＝（）2020×32021

＝（）2020×32020×3

＝（×3）2020×3

＝12020×3

＝1×3

＝3．

【变式4-1】（2022秋•长宁区校级期中）若关于x的多项式2x+a与x2﹣bx﹣2的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求a、b的值．

【解答】解：（2x+a）×（x2﹣bx﹣2）

＝2x3﹣2bx2﹣4x+ax2﹣abx﹣2a

＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（4+ab）x﹣2a．

∵乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，

∴a﹣2b＝0，﹣2a＝10，

∴a＝﹣5，b＝﹣2.5．

【变式4-2】（2021秋•阎良区期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x的二次项，常数项是﹣6，求m，n的值．

【解答】解：（x2+mx﹣3）（2x+n）

＝2x3+2mx2﹣6x+nx2+mnx﹣3n

＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n，

∵展开式中不含x的二次项，常数项是﹣6，

∴2m+n＝0，﹣3n＝﹣6，

解得m＝﹣1，n＝2．

【变式4-3】（2022春•温江区校级期中）已知（x2+mx+1）（x﹣n）的展开式中不含x项，x2项的系数为﹣2，求mn+m﹣n的值．

【解答】解：（x2+mx+1）（x﹣n）

＝x3﹣nx2+mx2﹣mnx+x﹣n

＝x3+（﹣n+m）x2+（﹣mn+1）x﹣n

∵展开式中不含x项，x2项的系数为﹣2，

∴﹣mn+1＝0，﹣n+m＝﹣2，

整理得：mn＝1，m﹣n＝﹣2，

∴mn+m﹣n

＝1﹣2

＝﹣1．