初中数学浙教版七年级下册5.5 分式方程同步测试题

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（培优特训）专项3.2 完全平方公式综合高分必刷
1．（•东城区校级期末）（a+b）n（n为非负整数）当n＝0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：
这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）n展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为（a+b）9展开式中所有项系数的和应该是（　　）

A．128 B．256 C．512 D．1024
【答案】C
【解答】解：当n＝0时展开式所有系数的和为1＝20．
当n＝1时展开式所有系数的和为2＝21．
当n＝2时展开式所有系数的和为22．
当n＝3时展开式所有系数的和为8＝23．
当n＝4时展开式所有系数的和为16＝24．
当n＝5时展开式所有系数的和为32＝25．
……
∴当n＝9时展开式所有系数的和为29＝512．
故选：C．
2．（2021•滨州三模）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）．

请根据规律，写出（x+1）2022的展开式中含x2021项的系数是 　 　．
【答案】2022
【解答】解：∵（a+b）1展开式中的第二项系数为1，
（a+b）2展开式中的第二项系数为2，
（a+b）3展开式中的第二项系数为3，
（a+b）4展开式中的第二项系数为4，
∴（a+b）n展开式中的第二项系数为n，
由图中规律可知：
含x2021的项是（x+1）2022的展开式中的第二项，
∴（x+1）2022的展开式中的第二项系数为2022，
故答案为：2022．
3．（2022秋•钦州期末）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：
（1）a2+b2；
（2）6ab．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，
∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，
∴2（a2+b2）＝8，
解得：a2+b2＝4；

（2）∵a2+b2＝4，
∴4+2ab＝5，
解得：ab＝，
∴6ab＝3．
4．（2022春•和平区校级月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．
例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）5展开式共有 　　项，系数和为 　　．
（2）求（2a﹣1）5的展开式；
（3）利用表中规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1（不用表中规律计算不给分）；
（4）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，则a1+a2+a3+…+a16+a17的值为 　 ．

【解答】解：（1）根据图表中的规律，
可得：（a+b）5展开式共有 6项，系数和为 1+5+10+10+5+1＝32，
故答案为：6，32；
（2）（2a﹣1）5
＝25a5+5×24a4（﹣1）+10×23a3（﹣1）2+10×22a2（﹣1）3+5×2a（﹣1）4+（﹣1）5
＝32a5﹣80a4+80a3﹣40a2+10a﹣1；
（3）根据图表中数据的规律可以发现：
25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝（2﹣1）5，
∴25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝1；
（4）∵（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，
∴当x＝1时，
（1+1）17＝a0+a1+a2+a3+…+a16+a17，
当x＝0时，
（0+1）17＝a0＝1，
∴217＝1+a1+a2+a3+…+a16+a17，
∴a1+a2+a3+…+a16+a17的值为217﹣1．
故答案为：217﹣1．
5．（2021秋•黄石期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝26，即x2+y2＝13；
①﹣②得：4xy＝24，即xy＝6．
6．（2021秋•兰考县期末）已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，求x2+y2与xy的值．
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝1①，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝49②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝50，即x2+y2＝25；
①﹣②得：4xy＝﹣48，即xy＝﹣12．
7．（2020秋•盐池县期末）回答下列问题
（1）填空：x2+＝（x+）2﹣　　＝（x﹣）2+　　
（2）若a+＝5，则a2+＝　　；
（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．
【解答】解：（1）2、2．
（2）23．
（3）∵a＝0时方程不成立，
∴a≠0，
∵a2﹣3a+1＝0
两边同除a得：a﹣3+＝0，
移项得：a+＝3，
∴a2+＝（a+）2﹣2＝7．
8．（2020•于都县模拟）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．

（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．
（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
【解答】解：（1）如图，
则（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
＝25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5．
＝（2﹣1）5，
＝1．

9.（2022秋•南昌县期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于 　 　；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积：方法①　 ；方法②　 ；
（3）观察图2，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．

【解答】解：（1）由拼图可知，图②中阴影部分的边长为m﹣n，
故答案为：m﹣n；
（2）阴影部分是边长为m﹣n的正方形，因此面积为（m﹣n）2，
阴影部分的面积可以看作从边长为m+n的正方形面积中减去4个长为m，宽n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（3）由（2）中两种方法所表示的图形的面积相等，可得，
（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（4）∵a+b＝8，ab＝5，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝64﹣20
＝44
10.（2022春•双流区校级期中）著x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）；
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝2，CF＝6，长方形EMFD的面积是192，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．

【解答】解：（1）设7﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（7﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝7﹣x+x﹣4＝3，
∴（7﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）设n﹣2021＝a，n﹣2022＝b，
则（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝a2+b2＝11，a﹣b＝（n﹣2021）﹣（n﹣2022）＝1，
（n﹣2021）（2022﹣n）＝﹣（n﹣2021）（n﹣2022）
＝﹣ab
＝（a﹣b）2﹣（a2+b2）]
＝
＝﹣5；
（3）根据题意可得，
MF＝x﹣2，FD＝x﹣6，（x﹣2）（x﹣6）＝192，
设x﹣2＝a，x﹣6＝b，
则（x﹣2）（x﹣6）＝ab＝192，
a﹣b＝（x﹣2）﹣（x﹣6）＝4，
S阴＝（x﹣2）2﹣（x﹣6）2
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝（a﹣b）
＝×4
＝28×4
＝112．
阴影部分的面积为112．
11．（2022春•新泰市期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；
（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b） 2，ab之间的等量关系；
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝24，运用你由（2）所得到的等量关系，求图中阴影部分面积．

【解答】解：（1）根据题意可得，
阴影部分的正方形的周长为4（a﹣b）；
（2）根据题意可得，
（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab；
（3）设AC＝a，BC＝b，
则a+b＝8，a²+b²＝24，
根据题意可得，
S阴＝ab＝[（a+b）²﹣（a²+b²）]＝×（82﹣24）＝10．
12．（2022秋•上蔡县校级月考）（1）试用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积，从中你有什么发现，请用等式表示出来；
（2）利用你发现的结论，解决下列问题：
①如图2，两个正方形的边长分别为a，b，且a+b＝ab＝9，求图2中阴影部分的面积．
②已知4a2+b2＝57，ab＝6，求2a+b的值；
③若（20﹣x）（x﹣30）＝10，则（20﹣x）2+（x﹣30）2的值是 　 　．

【解答】解：（1）根据题意可得，
方法一：S阴＝a2+b2，
方法二：S阴＝（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；
（2）①根据题意可得，
S阴＝a2+b2﹣（a+b）b﹣a2
＝（a2﹣ab+b2），
∵a+b＝ab＝9，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝92﹣2×9＝63，
∴S阴＝×（63﹣9）＝27；
②（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝57+4×6＝81，
∴2a+b＝±9；
③设20﹣x＝a，x﹣30＝b，
则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝﹣10；
∴（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．
故答案为：80．
13．（2022春•顺德区校级期中）如图所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．
（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：方法①：　 　.方法②：　 　.请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母a，b代数式的等式是：　 ．
（2）根据（1）中的等式，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，a2+b2＝20，求ab的值；②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，求（x﹣2021）2的值．

【解答】解：（1）方法①，通过平移两条路，草坪可看作边长为（a﹣b）米的正方形，因此面积为（a﹣b）2（平方米），方法②，从大正方形面积里减去两条路的面积，即（a2﹣ab﹣ab+b2）平方米，也就是（a2﹣2ab+b2）平方米，所以有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故答案为：（a﹣b）2，a2﹣2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
（2）①∵a﹣b＝5，
∴a2﹣2ab+b2＝25，
又∵a2+b2＝20，
∴ab＝﹣；
②设x﹣2020＝m，x﹣2022＝n，则m﹣n＝2，m2+n2＝（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，
∴m2﹣2mn+n2＝4，即12﹣2mn＝4，
∴mn＝4，
∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn
＝4+16
＝20，
∴（x﹣2021）2
＝（）2
＝
＝
＝5，
答：（x﹣2021）2的值为5．
14．（2022秋•高青县期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
（3）若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，利用得到的结论求a2+b2+c2的值．

【解答】解：（1）图2整体是边长为a+b+c的正方形，因此面积为（a+b+c）2，图2也可以看作9个部分的面积和，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
因此有（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）（a+b+c）2＝（a+b+c）（a+b+c）
＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
即：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
（3）把a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，代入（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，得
100＝a2+b2+c2+2×35，
∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，
答：a2+b2+c2的值为30．