上海师范大学附属外国语中学2023届高三热身数学试题（含解析）

上海师范大学附属外国语中学2023届高三热身数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知集合，则_________．

2．设是虚数单位，则___________________.

3．函数的定义域为__________.

4．已知，则的最大值为__________.

5．设服从二项分布，则__________.

6．若二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为_____．

7．若等比数列的前n项和为，，则首项的取值范围是________．

8．在棱长为2的正方体中，点在正方体的12条棱上（包括顶点）运动，则的取值范围是______．

9．已知函数的对称中心为，若函数的图象与函数的图象共有6个交点，分别为，，…，，则__________.

10．已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直，那么的最小值是___________.

11．设定义在R上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是___________.

12．如图，椭圆的焦点在x轴上，长轴长为，离心率为，左、右焦点分别为，，若椭圆上第一象限的一个点A满足：直线与直线的交点为B，直线与x轴的交点为C，且射线为∠ABC的角平分线，则的面积为________.

二、单选题

13．“”是“”的（    ）条件.

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要

14．为庆祝中国共产党成立100周年，安康市某学校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示．下列结论正确的是（    ）

A．甲成绩的极差比乙成绩的极差大

B．甲成绩的众数比乙成绩的中位数大

C．甲成绩的方差比乙成绩的方差大

D．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小

15．设a、b、c、d，若函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

16．已知数列的前项和满足，有结论：

① 若，则；

② 数列是常数列.

关于以上两个结论，正确的判断是（    ）

A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立

C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立

三、解答题

17．已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，.

(1)求证：直线平面；

(2)求点到平面的距离.

18．已知向量，其中，若函数的最小正周期为.

(1)求的单调增区间；

(2)在中，若，求的值.

19．某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）.

(1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率；

(2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望；

(3)若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值.

20．已知双曲线的焦距为4，直线l：与交于两个不同的点D､E，且时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.

(1)求双曲线的方程；

(2)若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；

(3)设A､B分别是的左､右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值.

21．已知函数.

(1)若，求函数的极值点；

(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若函数有三个不同的极值点、、，且，求实数a的取值范围.

参考答案：

1．

【分析】利用集合的并集运算求解.

【详解】因为集合，

所以.

故答案为：.

2．1

【分析】根据虚数单位的性质可求代数式的值.

【详解】，

故答案为：1.

3．

【分析】利用对数函数的定义列出不等式，求解不等式作答.

【详解】函数中，，即，解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

4．/

【分析】根据给定条件，利用均值不等式求解作答.

【详解】因为，则，当且仅当时取等号，

所以当时，取得最大值.

故答案为：

5．/

【分析】利用二项分布的期望公式计算作答.

【详解】因为服从二项分布，所以.

故答案为：

6．54

【分析】先利用赋值法求出n的值，然后利用展开式通项求常数项．

【详解】解：令x＝1，有4n＝256，

解得n＝4，所以展开式通项为：，

令4﹣2k＝0得，k＝2．

故常数项为：．

故答案为：54．

【点睛】本题考查了赋值法求二项式展开式的系数和、二项式展开式的通项公式，属于基础题.

7．

【分析】由题意得等比数列公比的取值范围，根据，结合等比数列前n项和为，得，从而得，求解出范围.

【详解】设等比数列的公比为，则，

因为，当时，，

所以，即，

当时，，

当时，，

所以的取值范围是.

故答案为：

【点睛】求解等比数列极限相关问题，注意若等比数列有极限，则该数列为无穷递缩等比数列.

8．

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的表达式，进而根据线性规划求得的取值范围.

【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系，，，

设（且只在正方体的条棱上运动），则，

，

因为，设，

根据线性规划，作出可行域如图，

当时，取得最小值，即取最小值；

当时，取得最大值，即取最大值.

故答案为：

9．6

【分析】根据给定条件，结合函数图象的对称性，确定6个交点的关系即可求解作答.

【详解】显然函数的图象关于点成中心对称，

依题意，函数的图象与函数的图象的交点关于点成中心对称，

于是，所以.

故答案为：6

10．

【分析】求出，根据导数的几何意义得到，根据余弦函数的最值可得且，或且，分两种情况求出，然后求出其最小值即可.

【详解】因为，

所以，

依题意可得，

所以,

所以且，

或且，

当且时，

，，，，

所以，，，

所以，，，

所以当或时，取得最小值.

当且时，

，，，，

所以，，，

所以，，，

所以当或时，取得最小值.

综上所述：的最小值是.

故答案为：.

11．/

【分析】由题意，根据给定的函数解析式，结合等式关系，拓展其他区间的函数解析式，利用二次函数的性质，可得答案.

【详解】，且当时，恒成立，

，易知当时，则恒成立，

当，即时，恒成立，

当，即时，，不满足恒成立，

解不等式，，在上的解集为，

综上所述，当时，恒成立，实数的最小值为.

故答案为：.

12．

【分析】利用三角形中的角平分线的性质、联立直线与椭圆方程以及三角形的面积公式进行求解.

【详解】设椭圆的方程为，

则，，解得，，

故椭圆的方程为；

在和中由正弦定理得

，

，又射线为∠ABC的角平分线，

可得，则在直角中，

故，所以直线：，

点为直线与椭圆的交点，联立方程，

解得（舍负），故.

故答案为：.

13．B

【分析】根据两不等式所表示的集合之间关系结合必要非充分条件的判定即可得到答案.

【详解】根据，

则“”无法推出“”， “”可以推出“”，

故“”是“”的必要非充分条件，

故选：B.

14．D

【分析】对于A，分别求出极差判断，对于B，求出甲的众数和乙成绩的中位数判断，对于C，根据数据的离散程度判断，对于D，分别求出平均数判断即可.

【详解】甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，故A错误；

甲成绩的众数为85分，乙成绩的中位数为87分，故B错误；

由茎叶图的数据的分布规律，可判定甲成绩的数据更集中，乙成绩的数据更分散，所以甲成绩的方差比乙成绩的方差小，故C错误；

甲成绩的平均数为分，乙成绩的平均数为分，故D正确．

故选：D

15．D

【分析】由函数的单调性和极值点，判断导函数的图象特征，即可判断选项.

【详解】，由图象可知，函数有两个极值点，并且函数是先增后减再增，所以极大值点大于极小值点，所以导函数的图象如图所示，

由导函数的图象可知，，，并且极值点的和，

得.

故选：D

16．B

【分析】利用已知数列与的关系，转化为，，再利用分组求和判断①，以及讨论后，判断②.

【详解】由，得时，，

两式相减得：，

，故①成立，

由以上可知，当时， ，

当时，，即，即，

只有当时，，此时数列是常数列，

当时，，此时数列不是常数列，故②不成立，

故选：B

17．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于点，连接，进而根据即可证明；

（2）根据题意，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【详解】（1）证明：连接交于点，连接，

因为底面为正方形，

所以为的中点，

所以，在中，为的中点，为的中点，

所以；

又因为面，面，

所以平面.

（2）解：因为平面，为正方形，平面，

所以，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，，，，，

所以，，

设平面的法向量为，

所以，，即，

令，则，，即，

，

设点P到平面MAC的距离为d，

所以，

所以，点到平面的距离为.

18．(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由辅助角公式将函数化简，再由函数周期即可求得，再根据正弦型函数的单调区间即可得到结果；

（2）根据题意，由（1）中函数的解析式可得，再由正弦定理可得，再结合平面向量数量积的定义代入计算，即可得到结果.

【详解】（1）

的最小正周期为.

故，

令，解得，

故函数的单调增区间为

（2）设中角所对的边分别是.

，即，解得.

，

，

.

19．(1)

(2)分布答案见解析，

(3)

【分析】（1）由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解；

（2）根据题意，得到随机变量的可能值为，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解；

（3）分别求得购进350千克和400千克时利润的期望值，列出不等式，求得，再由且，得到，即可求解.

【详解】（1）解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为.

（2）解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，

随机变量的可能值为，

可得，

所以随机变量的分布为：

所以的数学期望.

（3）解：购进350千克时利润的期望值：，

购进400千克时利润的期望值：，

由，解得，

因为且，因此，

所以的最小值是.

20．(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）列方程求得a、b，即可得到双曲线的方程；

（2）把坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，转化为，解不等式可得实数m的取值范围；

（3）求得P、Q两点的坐标，得到，即可证明线段PQ在x轴上的射影长为定值.

【详解】（1）当直线l：与C的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，

又双曲线的渐近线为，则

又焦距为4，则，解得，，

则所求双曲线的方程为.

（2）设，，则，

由，得，

则，

，，，

又坐标原点O在以线段DE为直径的圆内，

则，即，即，

即，则，

即，则或，

即实数m的取值范围.

（3），

设，则，

直线BD的斜率为， 又，

则直线PQ的方程为，即，

直线AD的斜率为，直线AD的方程为，

由，得，

即点Q的横坐标为，则.

故线段PQ在x轴上的射影长为定值.

21．(1)1

(2)

(3)

【分析】（1）首先求函数的导数，并判断函数的单调性，即可求函数的极值点.

（2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.

（3）首先根据有个不同的极值点求得的一个范围，然后化简不等式，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.

【详解】（1）当时，，，

当时，，时，，

所以函数在区间单调递增，在区间单调递减，

所以函数在处取得极大值，函数的极值点为1；

（2）函数的定义域为，不等式恒成立，

即在上恒成立，

记，则，

得到在区间上单调递减，

在上单调递增，

则，即在区间上恒成立，

分离变量知：在上恒成立，则，

，

由前面可知，当时，恒成立，即，

所以在区间上单调递减，

在区间上单调递增，

所以，所以．

（3），

设曲线图象上任意一点，

所以曲线在点处的切线方程为，

将代入得，故切点为，

过的切线方程为，

所以直线和曲线相切，并且切点坐标为，

所以当且仅当时，方程有两个不相等的实根，，并且，

从而当时，有三个极值点，，，并且，，，

取对数知：，，即，，

则

．

构造，

在时恒成立，

则在区间上单调递增，且，

从而的解为，

综上所述．

【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑利用分离常数法，然后构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.当一次求导无法求得单调区间时，可考虑二次求导等方法来进行求解.