2023年湖北省武汉市江汉区中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年湖北省武汉市江汉区中考三模数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖北省武汉市江汉区中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．实数23的相反数是（    ）
A．23 B． C． D．
2．有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中同时抽取两张．下列事件为随机事件的是（    ）
A．两张卡片的数字之和等于2． B．两张卡片的数字之和大于2．
C．两张卡片的数字之和等于7． D．两张卡片的数字之和大于7．
3．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．计算的结果是（    ）
A． B． C． D．
5．如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”，图②“堑堵”的左视图是（    ）

A． B． C． D．
6．若点和在的图象上，若，则的取值范围是（    ）
A．或 B．
C．或 D．
7．已知方程的两根分别为，，则的值是（    ）
A．1 B． C． D．
8．，两地相距，甲、乙两车沿同一条路从地到地．，分别表示甲、乙两车离开地的距离与时间之间的关系，当乙车出发时，两车相距是（    ）

A． B． C． D．
9．如图，在中，以为圆心，为半径的切于点，是圆上一动点，作直线交于另一点，当时，的度数是（    ）
  
A． B． C． D．
10．将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（    ）
  
A． B．15 C． D．25

二、填空题
11．写出一个比5小的正无理数是______．
12．《全国防沙治沙规划（2021-2030年）》提出到2030年，规划完成沙化土地治理任务186000000亿亩．数186000000用科学记数法表示是______．
13．某中学开展校数设计评比，七、八年级各设计了1个作品，九年级设计了2个作品．从这四个作品中随机选取两个，选中的2个作品来自不同年级的概率是______．
14．如图，无人机在离地面的点处，测得操控者的俯角为30°，测得教学楼顶部点的俯角为45°．已知操控者和教学楼之间的水平距离为80m，教学楼的高度是______m．
  

三、解答题
15．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为．下列结论：①；②；③若方程有两个根，，且，则；④方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确的结论有______．（填序号）


四、填空题
16．如图，点在直线上，，．为射线上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，以为斜边作等腰．若点在直线上，则的长是______．
  

五、解答题
17．解不等式组，请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
  
(4)原不等式组的解集为 ______．
18．如图，在△ABC中， 点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，，．

(1)求证：；
(2)若，△EFC的面积为20， 求△ABC的面积．
19．某区举行了一次以“爱祖国爱家乡”为主题的知识竞赛活动，共有1600名中学生参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表．
分组
分数段
频数
频率


40
0.08


80
0.16


100
0.2



0.32


120

  

  根据上面提供的信息，解答下列问题：
(1)______，______；
(2)样本的中位数落在分数段______上；补全频数分布直方图；
(3)若竞赛成绩在80分以上（含80分）为优秀，请估计该区参加竞赛成绩为优秀的学生人数．
20．如图，是等腰的外接圆，，为上一点，为的内心．

(1)求证：；
(2)过点作，垂足为，若，求的值．
21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，两个点是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图中，点是格点，先画线段的中点，再在上画点，使；
  
(2)在图中，点在格线上，过点作的平行线；
  
(3)在图中，点在格线上，在上画点，使．
  
22．某家禽养殖场，用总长为的围栏靠墙（墙长为）围成如图所示的三块矩形区域，矩形与矩形面积相等，矩形面积等于矩形面积的二分之一，设长为，矩形区域的面积为．
  
(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？
(3)现需要在矩形和矩形区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出的取值范围．
23．[基础巩固]（1）如图，在中，，，分别为，，上的点，，交于点．若，求证：．

[尝试应用]（2）如图，在等边中，，，分别为，，上的点，，分别交，于，两点．若，，求的值．

[拓展提高]（3）如图，在中，，与交于点，为上一点，交于点，交于点．若，平分，，直接写出的长．

24．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点在抛物线上，若，求点的坐标；
  
(3)如图，直线与抛物线交于，两点，在抛物线上存在定点，使得任意实数，都有，求出点的坐标．
  

参考答案：
1．B
【分析】根据相反数的定义即可求解．
【详解】23的相反数是．
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记概念是解题关键．
2．C
【分析】将两张卡片数字之和所有结果列出有3、4、5、6、7五种情况，再结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念对选项依次判断即可．
【详解】解：A、两张卡片的数字之和等于2是不可能事件，故A不符合题意；
B、两张卡片的数字之和大于2是必然事件，故B不符合题意；
C、两张卡片的数字之和等于7是随机事件，故C符合题意；
D、两张卡片的数字之和大于7是不可能事件，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行分析即可．
【详解】解：选项B、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项A的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．D
【分析】根据积的乘方的运算性质进行计算即可求出结果．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题主要考查积的乘方．积的乘方：分别把积中每一个因式都乘方，再把它们所得的积相乘，熟练掌握性质是解题的关键．
5．A
【分析】根据几何体的左视图是从左面所看到的图形进行判断即可得出答案．
【详解】解：图②“堑堵”的左视图如图所示：

故选：A．
【点睛】本题主要考查几何体的左视图，理解左视图的概念是解答的关键．
6．A
【分析】根据反比例函数的性质和增减性，结合点的横纵坐标的大小关系，得到关于的不等式组，解之即可.
【详解】∵，

∴图象在第一、三象限，且在每一个象限，随的增大而减小，
∵，
∴（1）如图，
  
有，解得：，
（2）如图，不符合题意，
  
（3）如图，
  
有，解得：，
∴综上所述：的取值范围是或，
故选：．
【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键正确掌握反比例函数的性质和增减性．
7．D
【分析】先对进行化简，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到，即可得到答案．
【详解】解：，
方程的两根分别为，
根据根与系数关系，
．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解化简等知识，运用好根与系数的关系是解决本题的关键．
8．A
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以甲、乙两车沿同一条路行驶的速度，从而可以解答本题．
【详解】解：甲的速度是，
乙的速度是，
当乙车出发时，两车相距：
故选：A
【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
9．B
【分析】连接，过点作于点，当点在优弧上时，得出，可得是等腰直角三角形，根据，得出，即可求得的度数，当点在上时，同理可得，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，当点在优弧上时，
  
∵为半径的圆切于点
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，切线的性质，已知特殊角的三角函数值求角度，掌握以上知识是解题的关键．
10．A
【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：当时，如图，

∴，
设，
∴，解得：，
∴，故C选项不符合题意；
∴，
如图，当时，

∴，
设FC=m，FD=n，
∴，解得：，
∴，故选项B不符合题意；
，故选项D不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
11．（答案不唯一）
【分析】根据正无理数的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查正无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
12．
【分析】根据科学记数法的表示形式进行解答即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式为（，a为整数）的形式，n的绝对值与小数点移动的位数相同是解题的关键．
13．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中选中的2个作品来自不同年级的结果有10种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把七、八年级设计的作品分别记为A、B，九年级设计的2个作品分别记为C、D，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中选中的2个作品来自不同年级的结果有10种，
∴选中的2个作品来自不同年级的概率为．
【点睛】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
14．
【分析】过点作于点，作于点，由，得到的长，再由四边形是矩形以及，得出答案．
【详解】解：过点作于点，作于点，
  
由题可知：，，
在中，，
，
(米)，
(米)，
，
四边形是矩形，
(米)
在，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，三角函数的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是根据题意构造直角三角形．
15．①③
【分析】利用顶点坐标得出抛物线解析式，即可对①进行判断；把代入即可对②进行判断；根据抛物线与直线有两
交点，交点的横坐标分别是，即可对③进行判断；当时，方程共有4个根，即方程，有两个根，方程有两
根，利用根与系数的关系即可对④进行判断．
【详解】解抛物线的顶点坐标为，
，，
，
抛物线的解析式为，
抛物线的开口向上，
，
，
，所以①正确；
，而，
，所以②错误；
方程有两个跟，
抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别是，
，所以③正确；
（，为常数），当时，方程共有4个根，
即方程有两个根，方程有两个根，
所有根之和为，所以④错误．
故答案为①③．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，包括开口方向，顶点坐标，函数与方程的关系，交点坐标等，其中熟练理解二次函数系数间的关系是解题的关键．
16．5或
【分析】本题按照题意合理画图，尽可能想到各种情况，然后根据等腰直角三角形的性质以及以此构造全等三角形，结合正切函数的概念，即可求解．
【详解】分两种情况：
第一种情况：如图，延长交于，
      
∵是等腰直角三角形，
∴．
又，
∴．由已知，且点C、点A、点在同一条直线上，
∴A与是同一点（或重合）．
又∵，且为直角三角形．
∴，又由得，，
解得： ．
第二种情况：如下图，分别自C、D作的垂线，垂足为点O、点F，过D作延长线的垂线，与的延长线交于点N．设与交于R．
  
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴．
同理可证，，则．
由得四边形是矩形，
∴．
由、为直角三角形，可得．
设，则．
由于为等腰直角三角形，且，设，
则．
在直角与直角中，由勾股定理得：
，
即：，
消去x，得，
即．
考虑到a为正值，两边开方得，，
∴．
∴，
故答案为：5或．
【点睛】本题考查旋转的相关知识点，涉及等腰直角三角形性质、正切函数的计算等，利用90°旋转的特点构造全等三角形是解题的关键．
17．(1)
(2)
(3)详见解析
(4)

【分析】按照要求进行求解作答即可．
【详解】（1）解：，
解得，
故答案为：；
（2）解：，
移项合并得，，
系数化为1得，，
故答案为：；
（3）解：不等式①和②的解集在数轴上表示如下：
  
（4）解：由题意知，原不等式组的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集．解题的关键在于正确的运算．
18．(1)见解析
(2)

【分析】(1)由平行线的性质得出，，即可证得结论；
(2)由平行线的性质得出，易证△EFC∽△BAC，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
【详解】（1）证明：，
，

（2）解：





【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19．(1)160，0.24
(2)
(3)估计该市参赛成绩为优秀的学生人数约有8960人

【分析】（1）先通过A分数段算出样本容量，再根据题意得出答案；
（2）通过对中位数的理解，找出答案并画图像；
（3）用样本估计总体，得出答案．
【详解】（1）解：样本容量，，，
故答案是 160，0.24，
（2）解：中位数应为第250和251名学生成绩的平均值，第250和251名学生均在D分数段，故中位数在D分数段．
图像如下：
  
（3）解：（人）．
答：估计该市参赛成绩为优秀的学生人数约有8960人
【点睛】本题考查了数据的收集与整理，中位数，用样本估计总体，其中样本容量的确定是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)4

【分析】（1）由圆周角定理及等腰三角形性质可知，，由为的内心，可知，进而可得；
（2）过点分别作，的垂线，垂足分别为，，在上截取，使，连接，．根据等腰直角三角形的性质易证可得，，进而求得，由是的内心，可知，，都是切点，根据切线长定理可知，，．由可求得结果．
【详解】（1）证明：∵是直径，
∴．
∵为的内心，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴．
∴．
∴；
（2）解：过点分别作，的垂线，垂足分别为，，在上截取，使，连接，．

∵是等腰直角三角形，
∴，，
又，
∴．
∴，．
∴．
∴，
∵是的内心，，，都是切点，
∴，，．
∴．
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线长定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的内心，熟练掌握相关性质及定理是解决问题的关键．
21．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析

【分析】（1）根据网格特点先作线段的中点，然后作的垂线，交于点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出；
（2）连接，利用正方形网格确定中点，然后连接点A与中点，延长，利用网格及矩形的对角线即可确定点F；
（3）根据网格的特点将线段绕点A逆时针旋转，然后利用网格使得两个相似三角形的比为，连接点C与交点交于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：解：如图所示，点即为所求；
  
（2）如图所示：即为所求；
  
（3）如图所示：点G即为所求；
  
【点睛】本题考查了正切的定义，无刻度直尺作图，直角三角形斜边上的中线等于斜边的，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，数形结合是解题的关键．
22．(1)
(2)当时，有最大值，（元）
(3)

【分析】（1）根据题意可得，则，最后根据矩形面积公式，即可进行解答；
（2）将（1）中得到的表达式化为顶点式，即可进行解答；
（3）先分别求出矩形和矩形的面积，再求出总费用w，结合w关于x的函数图象，即可得出x的取值范围．
【详解】（1）解：题意得，，
．
∴．
∴．
（2）解：
∵，开口向下，对称轴且，
∴当时，有最大值，（元）
（3）解：矩形，
矩形面积，
∴，
整理得：，
设，
如图，画出w关于x的函数图象．
  
由图可知，当或时，，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出表达式，熟练掌握二次函数相关知识点，并灵活运用．
23．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据证明，同理可证明得到，于是根据即可证得答案；
（2）根据条件证明，设，于是证明，根据得到，的关系式进而得到答案；
（3）延长交于，连接，过点作于，根据直角三角形的性质求出，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】解（1）∵，
，，
∴
∴．
同理，．
∴
∵，
∴
（2）∵，，
∴,
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴
由（1）知，，
∴
∴，解得，,
∴；
（3）延长交于，连接，过点作于，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在直角中，，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质是解题的关键．
24．(1)
(2)，
(3)

【分析】（1）把A、C两点坐标代入，用待定系数法求解；
（2）设直线交轴点，则，进而求出点D的坐标，然后分情况讨论即可；
（3）过点作直线轴，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，则，例用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，
∴，，
解得，，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线交轴点，如图所示，
  
则，
∵，
∴，
∴或，
当时，设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立与，得，，解得，，，
当时，，
∴；
当时，同理可得直线的解析式为，
联立与，得，，解得，，，
当时，，
∴；
综上，符合条件的点的坐标为， ；
（3）解：由（1）得：抛物线的解析式为，
设，，，
将直线与抛物线联立，得，
则，是方程的两根，
∴， ，
∵，过点作直线轴，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，则，
            
∴，
∴，
化简，得，
∴，
∴，
∴，
∵对于任意的都存在定点使等式成立，
∴，
当时，，
∴；
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及到待定系数法求解析式、锐角三角函数、相似三角形的判定及性质等，综合性较强，灵活运用所学知识和掌握解题技巧是关键．