2023年福建省厦门市湖里区湖里中学中考模拟数学试题（含解析）

2023年福建省厦门市湖里区湖里中学中考模拟数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．-2的绝对值是（   ）

A．2 B． C． D．

2．2023年2月10日，神舟十五号航天员乘组圆满完成了首次出舱任务，据了解，这艘飞船的时速为每小时28000千米，28000千米用科学记数法表示应为（    ）

A．千米 B．千米

C．千米 D．千米

3．一个几何体如图所示，它的左视图是（    ）

A． B． C． D．

4．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

5．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”，它的含义是指（　　）

A．每100克内含钙150毫克 B．每100克内含钙高于150毫克

C．每100克内含钙不低于150毫克 D．每100克内含钙不超过150毫克

6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8，则EF的长度为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

7．某食堂销售三种午餐盒饭的有关数据如表所示，该食堂销售午餐盒饭的平均价格是（　　）

A．10.2元 B．10元 C．9.8元 D．9.5元

8．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（   ）

A． B． C． D．

9．如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

二、解答题

10．已知抛物线的解析式为．若抛物线经过，，三个点中的其中两个点，平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，若，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的（    ）

A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为

三、填空题

11．分解因式：a2-4a+4=___

12．请写出一个无理数________，使得它的倒数比1小．（答案不唯一）

13．一组数据6，6，6，6，6的方差为________．

14．已知，是方程的两个实数根，则________．

15．如图，在中，．点在上，且，，若，则________．

16．如图，点P（3a，a）是反比例函数（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的表达式为______．

四、解答题

17．解方程组

18．如图，，分别是平行四边形的边，上的点，已知．求证：．

19．先化简，再求值：，其中．

20．为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按，，，分为四个等级，分别用A、B、C、D表示；下图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

(1)求参与问卷调查的学生人数 ，并将条形统计图补充完整；

(2)全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；

(3)某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况，请用画树状图或列表法求这2人均属D等级的概率．

21．安全小知识：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上．（参考数据：，，，，，，，，）

(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；

(2)当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？

22．如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点．

(1)求作：这个圆的圆心O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；

(2)在（1）的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC＝4，PA＝3，请补全图形，并求⊙O的半径．

23．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．

(1)求4月份再生纸的产量；

(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；

(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？

24．【探究发现】

（1）如图①，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），则与之间满足的数量关系是________；

【类比应用】

（2）如图②，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由；

【拓展延伸】

（3）如图③，在四边形中，平分，，，过点作，交的延长线于点．若，，求的长．

25．已知抛物线经过两点．

（1）求b的值；

（2）当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；

（3）若方程的两实根满足，且，求p的最大值．

参考答案：

1．A

【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．

【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，

故选：A．

2．C

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数绝对值时，是负数．

【详解】解：将28000用科学记数法表示为．

故选：C．

【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

3．B

【分析】根据左视图的定义即可求解．

【详解】由图可知左视图是

故选B．

【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知左视图的定义．

4．D

【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及除法运算依次判断即可．

【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意；

B、，选项计算错误，不符合题意；

C、，选项计算错误，不符合题意；

D、，选项计算正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】题目主要考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．

5．C

【详解】根据≥的含义，“每100克内含钙≥150毫克”，就是“每100克内含钙不低于150毫克”，

故选：C．

6．A

【分析】根据矩形的性质可得AC＝BD＝8，BO＝DO＝BD＝4，再根据三角形中位线定理可得EF＝BO＝2．

【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD＝8，BO＝DO＝BD，

∴BO＝DO＝BD＝4，

∵点E、F是AB，AO的中点，

∴EF是△AOB的中位线，

∴EF＝BO＝2，

故选：A．

【点睛】本题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，难度不大，关键熟练掌握知识点，并灵活运用．

7．C

【分析】由加权平均数公式计算即可．

【详解】解：午餐盒饭的平均价格为：（元）

故选：C．

【点睛】本题考查了求加权平均数，掌握计算公式是关键．

8．A

【分析】设总路程为1，野鸭每天飞，大雁每天飞，当相遇的时候，根据野鸭的路程+大雁的路程=总路程即可得出答案．

【详解】解：设经过x天相遇，

根据题意得：x+x=1，

∴（+）x=1，

故选：A．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路程+大雁的路程=总路程列出方程是解题的关键．

9．B

【分析】先求出正多边形的内角，再根据正多边形的性质，求得是直角三角形，再根据三角比求出GE的长度，再在中，解直角三角形求得CG的长即可．

【详解】解：如图：连接CE,GF

∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝4

∴AF=EF=AB=4，每个内角：

∵点G是AE的中点

∴，则，

∴，

∵

∴（同理）

∴

∴

故选B．

【点睛】本题考查的是正六边形的性质、解直角三角形的性质，解题的关键构造直角三将．

10．C

【分析】分二次函数的图象经过点A，B或B、C或点A，C三种情况讨论求解即可．

【详解】解：∵

∴抛物线的解析式为，

由题意得，二次函数的图象经过点A，B或B、C或点A，C，

①若经过点A和点B，

∴，解得，

∴，

∵平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，

∴设平移后函数表达式为，

当时，，

∴当时，y有最小值；

②∵，，

∴抛物线也不同时经过点B，点C，

③经过点A、点C，如图，

∴

解得，

∴，

当时，，

则点是的顶点，

此时二次函数的顶点在上，且与y轴交点，此时纵坐标为；

而经过平移，顶点始终在直线上，

故平移后函数表达式为，

当时，，

当时，y有最大值，为：，

故选：C．

【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．

11．（a-2）2．

【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．

【详解】解：a2-4a+4=（a-2）2．

故答案为：（a-2）2．

12．（答案不唯一）

【分析】根据无理数的估算可求解．

【详解】解：∵，

∴是的倒数，

∴这个数可以为．

故答案为：（答案不唯一）．

【点睛】本题考查无理数的估算，熟知估算的方法是解答的关键．

13．0

【分析】先计算出这组数据的平均数，再根据方差的定义列式计算即可．

【详解】解：这组数据的平均数为，

∴这组数据的方差为，

故答案为：0．

【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义与计算公式．

14．

【分析】由根与系数的关系可得出、，将其代入中，即可求出结论．

【详解】解：∵m，n是方程的两实数根，

∴、，

∴

故答案为：．

【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于−、两根之积等于是解题的关键．

15．2

【分析】过点D作于点F，首先根据等腰三角形三线合一性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，求出，然后利用求解即可．

【详解】如图所示，过点D作于点F，

∵，

∴是等腰三角形，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∵，

∴，，

解得．

故答案为：2．

【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角函数的运用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

16．y=

【详解】设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：

πr2=10π

解得：r=.

∵点P(3a，a)是反比例函y= (k>0)与O的一个交点，

∴3a2=k.

∴a2==4.

∴k=3×4=12，

则反比例函数的解析式是：y=.

故答案是：y=.

点睛：本题主要考查了反比例函数图象的对称性，正确根据对称性求得圆的半径是解题的关键.

17．

【详解】解：

由①得③

把③代入②得

把代入③得

∴原方程组的解为

18．见解析

【分析】根据四边形是平行四边形得到，，进而证明即可得到答案．

【详解】证明：∵四边形是平行四边形，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握性质以及判定是解题的关键．

19．，

【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算化简，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a，最后代入计算．

【详解】原式，

，

把代入化简后的式子，；

【点睛】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．

20．(1)100，图形见解析

(2)900

(3)

【分析】（1）利用抽查的学生总数=A等级的人数除以对应的百分比计算，求出总人数，即可求D等级的人数，即可求解；

（2）用全校的学生人数乘以每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生所占的百分比，即可求解；

（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，画出树状图，即可求解．

【详解】（1）解：根据题意得：；

∴D等级的人数为100-40-15-10=35（人），

补全条形统计图如下：

（2）解：学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数为

（人）；

（3）解：设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：

一共有12中等可能结果，其中这2人均属D等级的有2种，

∴这2人均属D等级的概率为．

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及树状图法和列表法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

21．(1)3.8米

(2)，安全

【分析】（1）利用正弦函数的增减性可知当时，AO取最大值，解直角三角形即可；

（2）利用解直角三角形解题即可．

【详解】（1）∵

当时，AO取最大值，

在中，，

∴，

所以梯子顶端A与地面的距离的最大值3.8米．

（2）在中，，

，，

∴，

∵，∴人能安全使用这架梯子．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用三角函数进行计算是解题的关键．

22．(1)见解析；

(2)见解析，的半径为

【分析】（1）过点B作BP的垂线，作∠APB的平分线，二线的交点就是圆心；

（2）根据切线的性质，利用勾股定理，建立一元一次方程求解即可．

【详解】（1）如图所示，点O即为所求

（2）如图，∵PA是圆的切线，AO是半径，PB是圆的切线，

∴∠CAP=90°，PA=PB=3，∠CBO=90°，

∵AC=4，

∴PC==5，BC=5-3=2，

设圆的半径为x，则OC=4-x，

∴，

解得x=，

故圆的半径为．

【点睛】本题考查了垂线的画法，角的平分线的画法，切线的性质，切线长定理，勾股定理，一元一次方程的解法，熟练掌握切线的性质，切线长定理和勾股定理是解题的关键．

23．(1)4月份再生纸的产量为500吨

(2)的值20

(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元

【分析】（1）设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；

（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；

（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；

【详解】（1）解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，

由题意得：，

解得：，

∴，

答：4月份再生纸的产量为500吨；

（2）解：由题意得：，

解得：或（不合题意，舍去）

∴，

∴的值20；

（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，

∴

答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．

24．（1）；（2）上述结论仍然成立；证明见解析；（3）12

【分析】（1）根据正方形的性质得到，，，利用同角的余角相等，推出，由此证明，得到；

（2）在上截取，连接，证得是等边三角形，推出，，再根据同角的余角相等推出，进而证明，由此得到；

（3）连接，在上截取，使，连接，可证四点共圆，是等边三角形，得到，由，得出是等边三角形，即可证明，得到，求出，在中，求出，得到，即可求出求的长．

【详解】解：（1）∵四边形是正方形，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

故答案为：；

（2）上述结论仍然成立；

在上截取，连接，

∵四边形是菱形，，

∴，

∴是等边三角形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

（3）连接，在上截取，使，连接，如图，

∵，平分，

∴，

∵，

∴，

∴四点共圆，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

在和，

，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及正方形的性质，菱形的性质，四点共圆，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

25．（1）；（2）或；（3）当时，p最大值为1

【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线求解即可；

（2）分两种情况讨论①当公共点是顶点时，②当公共点不是顶点时，解答即可；

（3）根据根与系数的关系得出x的取值范围，再根据二次函数的增减性求出p的最大值．

【详解】解：（1）∵抛物线经过两点，

抛物线的对称轴为直线．

．

．

（2）由（1）得，抛物线的解析式为，

对称轴为直线，且当时，

抛物线与x轴有且只有一个公共点，

①当公共点是顶点时，

，解得．

②当公共点不是顶点时，

当时，，且当时，．

解得．

综上所述，c的取值范围是或．

（3）解法一：由（1）知，设．

方程的两实根为，

抛物线与x轴交点的横坐标为，

，即．

．

，

．

．

．

当时，p随的增大而增大，

当时，p的最大值为1.

解法二：由（1）知．

方程的两实根为，

，即，①

，即②

①－②，得，

．

，

．

．

即．

当时，p随的增大而减少，

当时，p最大值为1.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，不等式的性质等知识，解题的关键是能用分类讨论的思想解决问题．